# Ejercicios de clase — Resumen de ejercicios resueltos

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UNIDAD DE INDUCCIÓN: INTRODUCCIÓN A VECTORES

Tema: Operaciones Básicas y Propiedades

Concepto clave

Un vector \(\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n\) es una lista ordenada de \(n\) números reales. La suma y el producto por un escalar se realizan componente a componente.

Ejemplo I.1: Suma y Producto por Escalar

Enunciado

Calcular operaciones básicas.

Solución paso a paso

• \((0, 1) + (2, 3) = (0 + 2, 1 + 3) = (2, 4)\).
• \((-1, 3, 4) + (1, -2, -3.5) = (-1 + 1, 3 + (-2), 4 + (-3.5)) = (0, 1, 0.5)\).
• \(4 \cdot (3, -1, 2) = (4 \cdot 3, -1 \cdot 4, 2 \cdot 4) = (12, -4, 8)\).

Ejercicio I.2: Resta de Vectores (Combinación Lineal)

Enunciado

Expresar la resta \(\mathbf{v} - \mathbf{w}\) en función únicamente de la suma y el producto por un escalar.

Explicación teórica

La resta \(\mathbf{v} - \mathbf{w}\) es equivalente a sumar \(\mathbf{v}\) con el opuesto de \(\mathbf{w}\). El vector opuesto \(-\mathbf{w}\) se obtiene multiplicando \(\mathbf{w}\) por el escalar \(-1\).

Solución paso a paso

1. Definir la resta componente a componente: \(\mathbf{v} - \mathbf{w} = (v_1 - w_1, v_2 - w_2, \dots, v_n - w_n)\).
2. Reescribir la resta como suma de opuestos: \(\mathbf{v} - \mathbf{w} = (v_1 + (-w_1), v_2 + (-w_2), \dots, v_n + (-w_n))\).
3. Expresar como suma y producto por escalar: \(\mathbf{v} - \mathbf{w} = \mathbf{v} + (-1) \cdot \mathbf{w}\).

Ejemplo I.3: Producto Escalar

Enunciado

Sean \(\mathbf{v} = (2, -1, 0)\) y \(\mathbf{w} = (-3, -2, 1) \in \mathbb{R}^3\). Calcule \(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}\).

Explicación teórica

El producto escalar \(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}\) es la suma de los productos de sus componentes correspondientes: \(\sum_{i=1}^{n} v_i w_i\).

Solución paso a paso

\[\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = (2)(-3) + (-1)(-2) + (0)(1) = -6 + 2 + 0 = -4\]

Alternativa (Ortogonalidad): Si el resultado hubiera sido \(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0\), diríamos que los vectores son ortogonales.

UNIDAD DIDÁCTICA 2: ESPACIOS VECTORIALES Y BASES

Tema 1: Espacios Vectoriales, Bases y Dependencia Lineal

Ejercicio 1.1: Comprobación de Espacio Vectorial (Polinomios)

Enunciado

Compruebe que \(P_2\) (polinomios de grado \(\le 2\)) con la suma y producto por escalar usuales es un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\). Indique una base canónica y su dimensión.

Explicación teórica

Para ser un espacio vectorial, el conjunto debe cumplir las 8 propiedades del producto externo y las 4 propiedades de grupo abeliano para la suma.

Solución paso a paso

1. Propiedades de Espacio Vectorial: Se verifican las propiedades de la suma y del producto por escalar.
2. Base Canónica: La base estándar para polinomios de grado a lo sumo 2 es \(B = \{1, x, x^2\}\).
3. Dimensión: \(\dim(P_2) = 3\).

Ejemplo 1.3/1.4: Dependencia e Independencia Lineal en \(\mathbb{R}^n\)

Enunciado

Considere el conjunto \(S = \{(1,0,1), (1,1,0), (1,1,1), (1,2,1)\}\) en \(\mathbb{R}^3\) y determine si es L.D. o L.I.. Considere el subconjunto \(S' = \{(1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)\}\).

Explicación teórica

Un conjunto de vectores es L.D. si la ecuación \(\mathbf{0} = a_1 \mathbf{v}_1 + \dots + a_n \mathbf{v}_n\) tiene soluciones no triviales (con algún \(a_i \neq 0\)). Esto equivale a que un vector sea combinación lineal de los demás.

Solución paso a paso

1. Plantear el sistema homogéneo:

\[(0, 0, 0) = x(1, 0, 1) + y(1, 1, 0) + z(1, 1, 1) + t(1, 2, 1)\]

1. Matriz asociada (columnas = vectores):

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]

1. Determinar el rango y la solución: La matriz \(A\) es \(3 \times 4\) y su rango es 3.
2. Conclusión (Alternativa 1: L.D.): Como el rango (3) es menor que el número de incógnitas (4), el sistema es compatible indeterminado y tiene soluciones no nulas. Por lo tanto, los vectores son linealmente dependientes (L.D.).

Solución (subconjunto \(S'\))

1. Matriz asociada (columnas = vectores):

\[A' = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

1. Determinante: Si el determinante es no nulo la única solución del homogéneo es la trivial (\(x=y=z=0\)).
2. Conclusión: Los vectores son linealmente independientes (L.I.).

Ejemplo 2.6: Base y Dimensión de un Subespacio Generado

Enunciado

Sea \(S = \{(1, 3, 4, 1), (2, 6, 8, 2), (2, 5, 7, 2)\} \subset \mathbb{R}^4\). Calcule una base del subespacio generado \(U = L(S)\).

Explicación teórica

La base de \(\text{span}(S)\) se obtiene eligiendo el máximo número de vectores L.I. dentro de \(S\), o transformando la matriz de filas/columnas en su forma de Hermite (eliminando vectores nulos resultantes).

Solución paso a paso

1. Construir la matriz A con los vectores como filas o columnas:

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 2 & 6 & 8 & 2 \\ 2 & 5 & 7 & 2 \end{pmatrix}\]

1. Reducir A a su forma escalonada (Forma de Hermite): (El proceso de escalonamiento no se muestra, solo el resultado).
2. Base y Dimensión: La base obtenida mediante la forma de Hermite es \(B_U = \{(1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 0)\}\).
3. Dimensión: \(\dim(U) = 2\).

Tema 2: Coordenadas y Cambio de Base

Ejemplo 2.1: Cálculo de Coordenadas de un Vector

Enunciado

En \(\mathbb{R}^3\), sea la base \(B' = \{\mathbf{u}_1 = (1,1,1), \mathbf{u}_2 = (0,1,1), \mathbf{u}_3 = (0,0,1)\}\). Exprese el vector \(\mathbf{x} = (2, 3, 1)\) en coordenadas respecto a \(B'\).

Explicación teórica

Las coordenadas de un vector \(\mathbf{x}\) en una base \(B'\) son los escalares únicos \((x_1, x_2, x_3)\) tales que \(\mathbf{x} = x_1 \mathbf{u}_1 + x_2 \mathbf{u}_2 + x_3 \mathbf{u}_3\).

Solución paso a paso

1. Plantear la ecuación:

\[(2, 3, 1) = x_1 (1, 1, 1) + x_2 (0, 1, 1) + x_3 (0, 0, 1)\]

1. Resolver el sistema:
2. Componente 1: \(2 = x_1\).
3. Componente 2: \(3 = x_1 + x_2 \implies 3 = 2 + x_2 \implies x_2 = 1\).
4. Componente 3: \(1 = x_1 + x_2 + x_3 \implies 1 = 2 + 1 + x_3 \implies x_3 = -2\).
5. Verificación: Se comprueba que \(\mathbf{x} = 2\mathbf{u}_1 + 1\mathbf{u}_2 - 2\mathbf{u}_3\).
6. Coordenadas: \([\mathbf{x}]_{B'} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\).

Ejemplo 2.3: Cambio de Base

Enunciado

En \(\mathbb{R}^3\), se dan las bases \(B_1 = \{(1,0,1), (−1,1,1), (1,−1,0)\}\) y \(B_2 = \{(2,1,1), (1,1,1), (1,−1,1)\}\). Calcule la matriz de paso \(P\) de \(B_2\) a \(B_1\). Transforme las coordenadas de \(\mathbf{v} = (1, 1, 1)\) de la base canónica a \(B_1\) y a \(B_2\).

Explicación teórica

Si \(P\) es la matriz de cambio de base de \(B_2\) a \(B_1\), y \(X, Y\) son las coordenadas de un vector en \(B_1\) y \(B_2\) respectivamente, entonces \(X = P Y\). \(P\) se construye con las coordenadas de los vectores de \(B_2\) expresados en \(B_1\).

Solución paso a paso

1. Matriz de cambio \(B_1 \to C\): La matriz \(P_{B1 \to C}\) está formada por los vectores de \(B_1\) como columnas: \(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\).
2. Matriz de cambio \(C \to B_1\): Se calcula \(P_{C \to B1} = P_{B1 \to C}^{-1}\).
3. Coordenadas de \(\mathbf{v}=(1, 1, 1)\) en \(B_1\):

\[[\mathbf{v}]_{B1} = P_{C \to B1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

1. Coordenadas en \(B_2\) (observación sobre la fuente): El cálculo matricial debe realizarse con cuidado para evitar confusiones entre coordenadas y vectores en la base canónica.
2. Matriz de paso \(P_{B2 \to B1}\):.

\[P_{B2 \to B1} = P_{C \to B1} P_{B2 \to C}\]

Tema 3: Subespacios y Operaciones

Ejemplo 2.4/3.1: Verificación de Subespacios

Enunciado

Determine si \(U = \{(a, 0, 0) | a \in \mathbb{R}\}\) en \(\mathbb{R}^3\) es un subespacio vectorial.

Explicación teórica

Un subconjunto \(U \subseteq V\) es un subespacio si es cerrado bajo la suma y cerrado bajo el producto escalar, o de forma equivalente, si es cerrado para combinaciones lineales.

Solución paso a paso

1. Cerrado bajo la suma: Sean \(\mathbf{u}_1 = (a, 0, 0)\) y \(\mathbf{u}_2 = (b, 0, 0) \in U\).
   \(\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2 = (a+b, 0, 0) \in U\) (Se cumple).
2. Cerrado bajo el producto escalar: Sea \(\mathbf{u} = (a, 0, 0) \in U\) y \(k \in \mathbb{R}\).
   \(k \mathbf{u} = (ka, 0, 0) \in U\) (Se cumple).

Conclusión

\(U\) es un subespacio vectorial.

Alternativa (No Subespacio): Si tuviéramos \(W = \{(x, y, z) : x + y + z = 1\}\), este NO sería un subespacio, ya que no contiene al vector nulo \((0, 0, 0)\), o fallaría la cerradura bajo suma (e.g., \((1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0)\), que cumple \(x+y+z=2 \neq 1\)).

Ejemplo 3.2: Paramétricas a Cartesianas

Enunciado

Dado \(U \subset \mathbb{R}^4\) por \(B_U = \{(1, 0, 1, 0), (2, 2, 1, 0), (1, 1, 0, 1)\}\) con ecuaciones paramétricas \(X=AP\). Obtenga las ecuaciones cartesianas de \(U\).

Explicación teórica

Un vector \(\mathbf{x}\) pertenece a \(U\) si la matriz formada por \([\mathbf{x}, \mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_r]\) no tiene rango máximo (\(r+1\)), lo que se traduce en que el determinante de las submatrices de orden \(r+1\) debe ser nulo. \(\text{Nº Ecuaciones} = \dim(V) - \dim(U)\).

Solución paso a paso

1. Matriz ampliada: Se construye la matriz con el vector \(\mathbf{x}=(x_1, x_2, x_3, x_4)\) y los vectores de la base.
2. Restricción de Rango: Se fuerza que el determinante de la matriz ampliada \(4 \times 4\) sea cero (asumiendo que los vectores de la base \(3 \times 4\) son L.I.).
3. Resultado: Después de operar el determinante, se obtiene el sistema de ecuaciones cartesianas. En este ejemplo, se obtiene una única ecuación independiente:

\[-x_1 + x_2 - x_3 + 2x_4 = 0\]

Ejemplo 3.3: Cartesianas a partir de la Dimensión

Enunciado

En \(\mathbb{R}^3\), \(U = \text{span}\{(1,1,0), (1,-1,0)\}\). Obtenga las ecuaciones cartesianas.

Explicación teórica

\(\dim(V)=3\). Se comprueba que \(\dim(U)=2\) (los generadores son L.I.). El número de ecuaciones cartesianas independientes es \(\dim(V) - \dim(U) = 3 - 2 = 1\).

Solución paso a paso

1. Identificar el subespacio: \(U\) está contenido en el plano \(xy\), donde la coordenada \(z\) es siempre cero.
2. Ecuación cartesiana: La única ecuación lineal que describe esto es \(z = 0\).

Ejemplo 3.6/3.7: Suma e Intersección de Subespacios (Fórmula de las Dimensiones)

Enunciado

En \(\mathbb{R}^3\), sean \(U = \text{span}\{(1, 0, −1), (0, 1, −1)\}\) y \(W = \text{span}\{(1, 1, 0), (0, 0, 1)\}\). Calcule \(\dim(U)\), \(\dim(W)\), \(\dim(U \cap W)\) y \(\dim(U + W)\).

Explicación teórica

Para calcular la dimensión del espacio suma, se utiliza la Fórmula de las Dimensiones: \(\dim(U) + \dim(W) = \dim(U \cap W) + \dim(U + W)\).

Solución paso a paso

1. Dimensiones de U y W: \(\dim(U)=2\) y \(\dim(W)=2\) (Sus bases son L.I.).
2. Base de \(U + W\) (Método directo): El conjunto de generadores de \(U+W\) es \(\{(1, 0, −1), (0, 1, −1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)\}\). Se reduce a la base canónica de \(\mathbb{R}^3\), por lo tanto, \(\dim(U + W) = 3\).
3. Dimensión de \(U \cap W\) (Método directo): Se utilizan las bases de \(U\) y \(W\) y se comprueba que el rango de la matriz que junta las 4 bases es 3, por lo que uno es C.L. del resto. El cálculo implica que \(\dim(U \cap W) = 1\).
4. Verificación con la Fórmula de las Dimensiones (Ej. 3.7):

\[\dim(U + W) = \dim(U) + \dim(W) - \dim(U \cap W) = 2 + 2 - 1 = 3\]

1. Conclusión: \(\dim(U) = 2\), \(\dim(W) = 2\), \(\dim(U \cap W) = 1\), \(\dim(U + W) = 3\).

Ejemplo 3.9: Espacio Cociente

Enunciado

En \(\mathbb{R}^3\), sea \(U\) el subespacio generado por la ecuación \(z = 0\). Describa una base de \(\mathbb{R}^3/U\).

Explicación teórica

El espacio cociente \(V/U\) tiene la misma dimensión que el subespacio complementario \(W\) (tal que \(V = U \oplus W\)). Si \(B_W = \{\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_r\}\) es una base de \(W\), entonces \(\{\mathbf{w}_1 + U, \dots, \mathbf{w}_r + U\}\) es una base de \(V/U\).

Solución paso a paso

1. Identificar U: \(U\) es el plano \(xy\) (donde \(z=0\)). \(\dim(U)=2\).
2. Identificar el Espacio Complementario W: Necesitamos un subespacio \(W\) tal que \(U \oplus W = \mathbb{R}^3\). \(W\) debe tener \(\dim(W) = 3 - 2 = 1\). \(W\) puede ser la recta generada por el eje \(z\). Un vector base es \(\mathbf{v} = (0, 0, 1)\).
3. Base del Espacio Cociente: La base de \(\mathbb{R}^3/U\) es el conjunto de la clase de equivalencia del vector base de \(W\): \(B_{\text{cociente}} = \{\mathbf{v} + U\} = \{(0, 0, 1) + U\}\).

UNIDAD DIDÁCTICA 3: APLICACIONES LINEALES

Tema 1: Definiciones Básicas, Núcleo e Imagen

Ejemplo 1.4: Verificación de No Linealidad (Caso Alternativo)

Enunciado

Demuestre que \(f: \mathbb{K}^2 \to \mathbb{K}^2\) definida por \(f(x, y) = (x + 1, y)\) no es una aplicación lineal.

Explicación teórica

Una propiedad básica de las aplicaciones lineales es que deben mapear el vector nulo del dominio al vector nulo del codominio: \(f(\mathbf{0}) = \mathbf{0}\).

Solución paso a paso

1. Evaluar el vector nulo: \(\mathbf{0} = (0, 0)\).
2. Calcular la imagen del nulo: \(f(0, 0) = (0 + 1, 0) = (1, 0)\).
3. Conclusión: Como \((1, 0) \neq (0, 0)\), \(f\) no es lineal.

Ejemplo 1.5: Cálculo de Núcleo e Imagen

Enunciado

Calcule \(\text{Ker}(f)\) e \(\text{Im}(f)\) de \(f: \mathbb{K}^3 \to \mathbb{K}^3\) definida por \(f(x, y, z) = (x + z, y, x + 2y + z)\).

Explicación teórica

El núcleo es la solución del sistema homogéneo \(f(\mathbf{x}) = \mathbf{0}\). La imagen está generada por las imágenes de los vectores de la base del dominio.

Solución paso a paso

1. Cálculo del Núcleo: Plantear el sistema \(f(x, y, z) = (0, 0, 0)\):

\[\begin{cases} x + z = 0 \\ y = 0 \\ x + 2y + z = 0 \end{cases}\]

1. Resolución del Sistema: De la segunda ecuación, \(y=0\). Sustituyendo en la tercera, \(x+z=0\). Sea \(z=\lambda\), entonces \(x=-\lambda\).
2. Base del Núcleo: Los vectores son de la forma \((-\lambda, 0, \lambda) = \lambda (-1, 0, 1)\).

\[\text{Base}(\text{Ker}(f)) = \{(-1, 0, 1)\}$$. $\dim(\text{Ker}(f)) = 1\]

1. Cálculo de la Imagen (usando base canónica \(\mathbf{e}_i\)):
2. \(f(1, 0, 0) = (1, 0, 1)\)
3. \(f(0, 1, 0) = (0, 1, 2)\)
4. \(f(0, 0, 1) = (1, 0, 1)\)
5. Base de la Imagen: El conjunto de generadores es \(\{(1, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 0, 1)\}\). Los vectores son L.D. Se elige el máximo L.I. (e.g., eliminando el vector repetido).

$\(\text{Base}(\text{Im}(f)) = \{(1, 0, 1), (0, 1, 2)\}\)$. \(\dim(\text{Im}(f)) = 2\)

1. Verificación Rango-Nulidad: \(\dim(\mathbb{K}^3) = 3\). \(1 (\text{Nulidad}) + 2 (\text{Rango}) = 3\).

Ejemplo 1.6: Monomorfismo/Isomorfismo (Determinante \(\neq 0\))

Enunciado

Analizar si \(f: \mathbb{K}^3 \to \mathbb{K}^3\) definida por \(f(x, y, z) = (2x + y + 4z, x + y + 2z, x + y + 3z)\) es un monomorfismo o un isomorfismo.

Explicación teórica

\(f\) es monomorfismo (inyectiva) si \(\text{Ker}(f) = \mathbf{0}\). Si es inyectiva y \(\dim(V) = \dim(V')\), es un isomorfismo.

Solución paso a paso

1. Núcleo (Inyectividad): Se plantea el sistema homogéneo para \(\text{Ker}(f)\).
2. Análisis de la Matriz: La matriz asociada tiene determinante no nulo.
3. Conclusión de Inyectividad: El sistema homogéneo solo tiene la solución trivial, por lo tanto, \(\text{Ker}(f) = \mathbf{0}\). \(f\) es un monomorfismo.
4. Análisis de Isomorfismo (Sobreyectividad): Dado que \(f\) es inyectiva y mapea \(\mathbb{K}^3 \to \mathbb{K}^3\), la imagen de una base (que son vectores L.I.) es una base. Por lo tanto, \(\dim(\text{Im}(f)) = 3\), lo que implica \(\text{Im}(f) = \mathbb{K}^3\).
5. Conclusión Final: \(f\) es inyectiva y sobreyectiva, es un isomorfismo (o automorfismo, al ser \(V=V'\)).

Ejemplo 1.8: No Automorfismo (Alternativa: Determinante = 0)

Enunciado

\(f: \mathbb{K}^4 \to \mathbb{K}^4\) dada por un sistema. Determine si es un automorfismo.

Explicación teórica

Un endomorfismo es un automorfismo si es un isomorfismo, lo cual requiere que la matriz asociada sea cuadrada y tenga \(\det(A) \neq 0\).

Solución paso a paso

1. Sistema para \(\text{Ker}(f)\):

\[\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ 2x_1 - x_3 - x_4 = 0 \\ x_1 - x_2 - x_3 = 0 \\ x_1 + x_2 - x_4 = 0 \end{cases}\]

1. Análisis de la Matriz: Se afirma que la matriz asociada tiene determinante nulo.
2. Conclusión: Si \(\det(A) = 0\), el sistema homogéneo tiene soluciones no triviales, lo que significa que \(\text{Ker}(f) \neq \mathbf{0}\). Por lo tanto, \(f\) no es inyectiva y no es un automorfismo.

Ejemplo 1.7: Operaciones con Aplicaciones Lineales

Enunciado

Dadas \(f, g: \mathbb{K}^2 \to \mathbb{K}^2\) con \(f(x, y) = (y, -x)\) y \(g(x, y) = (x, -y)\). Calcule \(f + g\), \(f \circ g\) y \(g \circ f\).

Explicación teórica

La suma \((f+g)(\mathbf{v}) = f(\mathbf{v}) + g(\mathbf{v})\). La composición \((f \circ g)(\mathbf{v}) = f(g(\mathbf{v}))\).

Solución paso a paso

1. Suma:

\[(f + g)(x, y) = (y, -x) + (x, -y) = (x + y, -x - y)\]

1. Composición \(f \circ g\):

\[f \circ g(x, y) = f(g(x, y)) = f(x, -y) = (-y, -x)\]

1. Composición \(g \circ f\) (Alternativa):

\[g \circ f(x, y) = g(f(x, y)) = g(y, -x) = (y, x)\]

1. Observación: \(f \circ g = (-y, -x)\) y \(g \circ f = (y, x)\). Se observa que \(f \circ g = -g \circ f\). La composición no es conmutativa.

Tema 2: Matrices y Aplicaciones Lineales

Ejemplo 2.2: Construcción de la Matriz Asociada (Imágenes de la Base)

Enunciado

Calcule \(f: \mathbb{K}^2 \to \mathbb{K}^3\) si \(f(1, 0) = (1, 2, 3)\) y \(f(0, 1) = (2, 1, 0)\). Obtenga la ecuación matricial respecto a las bases canónicas.

Explicación teórica

La matriz asociada \(A\) tiene como columnas las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base de partida, expresadas en la base de llegada.

Solución paso a paso

1. Imágenes de la base canónica: \(f(1, 0)\) y \(f(0, 1)\) ya están dadas en coordenadas de la base canónica de \(\mathbb{K}^3\).
2. Construir la Matriz A: Las imágenes son las columnas de \(A\):

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\]

1. Ecuación Matricial:

\[\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\]

1. Expresión Analítica: Multiplicando, \(f(x_1, x_2) = (x_1 + 2x_2, 2x_1 + x_2, 3x_1)\).

Ejercicio 3: Núcleo e Imagen a partir de la Matriz (Rango-Nulidad)

Enunciado

Dada \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\) asociada a \(f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) respecto a bases canónicas. Calcule bases y dimensiones del núcleo y la imagen.

Explicación teórica

\(\dim(\text{Im}(f)) = \text{rg}(A)\). \(\dim(\text{Ker}(f)) = \dim(V) - \text{rg}(A)\).

Solución paso a paso

1. Cálculo del Rango de A (Dimensión de la Imagen):

\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{F_2 \to F_2 - 2F_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}\]

\(\text{rg}(A) = 2\). Por lo tanto, \(\dim(\text{Im}(f)) = 2\). \(\text{Im}(f) = \mathbb{R}^2\). 2. Dimensión del Núcleo (Nulidad):

\[\dim(\text{Ker}(f)) = \dim(\mathbb{R}^3) - \text{rg}(A) = 3 - 2 = 1\]

1. Base del Núcleo: Resolver el sistema homogéneo \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\):

\[\begin{cases} x+y+z = 0 \\ -y-2z = 0 \implies y = -2z \end{cases}\]

Sustituyendo \(y\): \(x + (-2z) + z = 0 \implies x - z = 0 \implies x = z\). Vectores del núcleo: \((z, -2z, z) = z(1, -2, 1)\).

\[\text{Base}(\text{Ker}(f)) = \{(1, -2, 1)\}\]

Ejercicio 4: Cambio de Base en un Endomorfismo

Enunciado

Endomorfismo \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\). \(A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\) en base canónica \(B\). Nueva base \(B' = \{(1, -1), (1, -2)\}\). Calcule \(A' = M(f)_{B', B'}\).

Explicación teórica

Para endomorfismos, la matriz asociada en la nueva base \(A'\) se calcula mediante la relación de semejanza: \(A' = P^{-1} A P\), donde \(P\) es la matriz de cambio de \(B'\) a \(B\).

Solución paso a paso

1. Matriz de Paso \(P\) (\(B' \to B\)): Como \(B\) es la canónica, las columnas de \(P\) son los vectores de \(B'\):

\[P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}\]

1. Matriz Inversa \(P^{-1}\): \(\det(P) = (1)(-2) - (1)(-1) = -2 + 1 = -1\).

\[P^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\]

1. Cálculo de \(A' = P^{-1} A P\):

2. Paso 3.1: Calcular \(P^{-1} A\)

   \[P^{-1} A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(1)+1(2) & 2(-1)+1(4) \\ -1(1)-1(2) & -1(-1)-1(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}\]

3. Paso 3.2: Calcular \((P^{-1} A) P\)

   \[A' = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4(1)+2(-1) & 4(1)+2(-2) \\ -3(1)-3(-1) & -3(1)-3(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\]

4. Resultado: \(A' = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\).

Tema 3: Espacio Dual

Ejercicio 5: Cálculo de la Base Dual (De Base a Formas)

Enunciado

En \(\mathbb{R}^2\), dada la base \(B = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} = \{(1, 2), (3, 4)\}\). Determine las formas lineales de su base dual \(B^* = \{f_1, f_2\}\).

Explicación teórica

Las formas duales \(f_i(x, y) = a_i x + b_i y\) deben cumplir \(f_i(\mathbf{v}_j) = \delta_{ij}\) (1 si \(i=j\), 0 si \(i \neq j\)).

Solución paso a paso

1. Cálculo de \(f_1(x, y) = a_1x + b_1y\) (\(f_1(\mathbf{v}_1)=1, f_1(\mathbf{v}_2)=0\)):

\[\begin{cases} 1a_1 + 2b_1 = 1 \\ 3a_1 + 4b_1 = 0 \end{cases}\]

Multiplicando la primera por \(-2\) y sumando: \((-2a_1 - 4b_1) + (3a_1 + 4b_1) = -2 + 0 \implies a_1 = -2\). Sustituyendo \(a_1\): \(3(-2) + 4b_1 = 0 \implies 4b_1 = 6 \implies b_1 = 3/2\).

\[f_1(x, y) = -2x + \frac{3}{2}y\]

1. Cálculo de \(f_2(x, y) = a_2x + b_2y\) (\(f_2(\mathbf{v}_1)=0, f_2(\mathbf{v}_2)=1\)):

\[\begin{cases} 1a_2 + 2b_2 = 0 \\ 3a_2 + 4b_2 = 1 \end{cases}\]

De la primera, \(a_2 = -2b_2\). Sustituyendo: \(3(-2b_2) + 4b_2 = 1 \implies -2b_2 = 1 \implies b_2 = -1/2\). Sustituyendo \(b_2\): \(a_2 = -2(-1/2) = 1\).

\[f_2(x, y) = x - \frac{1}{2}y\]

Ejemplo 3.2: Determinación de la Base a partir de su Dual (Alternativa Inversa)

Enunciado

En \(\mathbb{K}^3\), se da la base dual \(B^*_1 = \{f_1(x_3), f_2(x_2-x_3), f_3(x_1-x_2)\}\). Calcule la base \(B_1\).

Explicación teórica

La matriz de los coeficientes de las formas duales (\(P^{-1}\)) es la inversa de la matriz de cambio de base \(P\) (de \(B_1\) a la canónica \(B\)). Las columnas de \(P\) son los vectores de \(B_1\).

Solución paso a paso

1. Construir \(P^{-1}\) (Matriz de Coeficientes Duales):

\[P^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\]

1. Calcular \(P = (P^{-1})^{-1}\):
2. \(\det(P^{-1}) = 0 - 0 + 1(0 - 1) = -1\).
3. \(P = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}_{\text{adjunta}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) (Nota: El cálculo de la adjunta/inversa en la fuente es implícito, pero se proporciona la matriz final \(P\)).
4. Determinar la Base \(B_1\):

\[B_1 = \{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)\}\]

Ejercicio 4: Cálculo del Anulador de un Subespacio

Enunciado

En \(\mathbb{R}^3\), \(W = \text{span}\{(1, 0, 1), (0, 1, 1)\}\). Calcule el subespacio anulador \(W^0\).

Explicación teórica

\(W^0\) contiene las formas lineales \(f(\mathbf{x}) = ax_1 + bx_2 + cx_3\) que anulan a todos los generadores de \(W\). Se resuelve un sistema de ecuaciones para \(a, b, c\). Además, \(\dim(W) + \dim(W^0) = \dim(V)\).

Solución paso a paso

1. Imponer condiciones de anulación:

\[\begin{cases} f(1, 0, 1) = a(1) + b(0) + c(1) = 0 \implies a + c = 0 \\ f(0, 1, 1) = a(0) + b(1) + c(1) = 0 \implies b + c = 0 \end{cases}\]

1. Resolver el sistema para los coeficientes: \(a = -c\) y \(b = -c\).
2. Base del Anulador: Los coeficientes son de la forma \((-c, -c, c) = c(-1, -1, 1)\).

\[W^0 = \text{span}\{-x_1 - x_2 + x_3\}\]

1. Verificación Dimensional: \(\dim(V) = 3\). \(\dim(W) = 2\) (vectores L.I.). \(\dim(W^0) = 1\). Se cumple \(2 + 1 = 3\).

Ejemplo 3.4: Intersección mediante el Anulador

Enunciado

En \(\mathbb{K}^3\), \(U: x + y + z = 0\) y \(W: x - y - z = 0\). Calcule \(U \cap W\) mediante el anulador.

Explicación teórica

El anulador de la intersección es la suma de los anuladores: \(a_V(U \cap W) = a_V(U) + a_V(W)\). Se usa la propiedad \(a_V(a_V(H)) = H\).

Solución paso a paso

1. Anuladores de U y W: \(a_V(U) = \langle (1, 1, 1) \rangle\), \(a_V(W) = \langle (1, -1, -1) \rangle\) (coeficientes de las ecuaciones).
2. Suma de Anuladores \(H = a_V(U) + a_V(W)\): \(H = \text{span}\{(1, 1, 1), (1, -1, -1)\}\).
3. Anulador de H: Buscamos \(\mathbf{x}=(x, y, z)\) que sea anulado por las formas de \(H\):

\[\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - y - z = 0 \end{cases}\]

Sumando las ecuaciones: \(2x = 0 \implies x = 0\). Sustituyendo \(x=0\): \(y + z = 0 \implies z = -y\). 4. Intersección: \(U \cap W\) son los vectores \((0, y, -y) = y(0, 1, -1)\).

\[U \cap W = \text{span}\{(0, 1, -1)\}\]

Ejemplo 3.5: Interpolación de Lagrange

Enunciado

Calcule el polinomio \(q(x)\) de grado \(\le 3\) tal que \(q(-1) = -6\), \(q(0) = 2\), \(q(1) = -2\), \(q(2) = 6\).

Explicación teórica

El polinomio es la combinación lineal \(p(x) = \sum_{j=0}^n b_j p_j(x)\), donde \(p_j(x)\) son los polinomios de interpolación de Lagrange duales a las formas de evaluación \(E_{a_j}(q) = q(a_j)\).

Solución paso a paso

1. Fórmula general de \(p_j(x)\): \(p_j(x) = \prod_{i \neq j} \frac{(x - a_i)}{(a_j - a_i)}\).
2. Cálculo de \(p_0(x)\):

\[p_0(x) = \frac{(x-0)(x-1)(x-2)}{(-1-0)(-1-1)(-1-2)} = -\frac{1}{6}(x^3 - 3x^2 + 2x)\]

1. Cálculo de \(p_1(x)\):

\[p_1(x) = \frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{(0+1)(0-1)(0-2)} = \frac{1}{2}(x^3 - 2x^2 - x + 2)\]

1. Cálculo de \(p_2(x)\):

\[p_2(x) = \frac{(x+1)(x-0)(x-2)}{(1+1)(1-0)(1-2)} = -\frac{1}{2}(x^3 - x^2 - 2x)\]

1. Cálculo de \(p_3(x)\):

\[p_3(x) = \frac{(x+1)(x-0)(x-1)}{(2+1)(2-0)(2-1)} = \frac{1}{6}(x^3 - x)\]

1. Polinomio Final \(q(x)\):

\[q(x) = (-6) p_0(x) + (2) p_1(x) + (-2) p_2(x) + (6) p_3(x)\]

UNIDAD DIDÁCTICA 4: DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS

Tema 1: Autovalores, Autovectores y Polinomio Característico

Ejemplo 1.2: Cálculo de un Subespacio Propio

Enunciado

Dado el endomorfismo con matriz \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\). Calcule el subespacio propio \(V_2\) asociado al autovalor \(\lambda = 2\).

Explicación teórica

El subespacio propio \(V_\lambda\) es el núcleo de la aplicación \(f - \lambda Id\), o \(\text{Ker}(A - \lambda I)\). Sus ecuaciones cartesianas son \((A - \lambda I) X = 0\).

Solución paso a paso

1. Calcular \(A - 2I\):

\[A - 2I = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

1. Sistema de Ecuaciones \((A - 2I) X = 0\):

\[\begin{cases} -x + y + z = 0 \\ z = 0 \\ z = 0 \end{cases}\]

1. Resolución y Base: De \(z=0\), la primera ecuación es \(-x + y = 0 \implies x = y\). Los vectores son de la forma \((x, x, 0) = x(1, 1, 0)\).

\[\text{Base}(V_2) = \{(1, 1, 0)\}\]

Ejemplo 1.4: Polinomio Característico (Alternativa: No Diagonalizable en \(\mathbb{R}\))

Enunciado

Calcule el polinomio característico de \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\).

Explicación teórica

El polinomio característico \(p_A(x) = \det(A - xI)\). Los autovalores son las raíces de este polinomio. Si las raíces no son reales, no es diagonalizable en \(\mathbb{R}\).

Solución paso a paso

1. Calcular \(A - xI\):

\[A - xI = \begin{pmatrix} -x & 1 \\ -1 & -x \end{pmatrix}\]

1. Calcular el Determinante:

\[p(x) = \det(A - xI) = (-x)(-x) - (1)(-1) = x^2 + 1\]

1. Raíces/Autovalores: \(x^2 + 1 = 0 \implies x = \pm \sqrt{-1} = \pm i\).
2. Conclusión: Como las raíces son complejas, la matriz no es diagonalizable en \(\mathbb{R}\).

Ejemplo 1.6: Multiplicidades (Alternativa: No Diagonalizable por Multiplicidad Geométrica)

Enunciado

\(A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\). Calcule las multiplicidades algebraica y geométrica de su autovalor.

Explicación teórica

La multiplicidad algebraica (\(a\)) es la multiplicidad de la raíz en \(p(x)\). La multiplicidad geométrica (\(d\)) es \(\dim(V_\lambda) = n - \text{rg}(A - \lambda I)\). Para ser diagonalizable, debe cumplirse \(d = a\).

Solución paso a paso

1. Polinomio Característico:

\[p(x) = \det(A - xI) = \det \begin{pmatrix} 2-x & 2 & 3 \\ 0 & 2-x & 2 \\ 0 & 0 & 2-x \end{pmatrix} = (2-x)^3\]

1. Multiplicidad Algebraica (\(a\)): \(\lambda = 2\) es una raíz con exponente 3. \(a_2 = 3\).
2. Cálculo de Rango de \(A - 2I\):

\[A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

\[\text{rg}(A - 2I) = 2\]

1. Multiplicidad Geométrica (\(d\)):

\[d_2 = n - \text{rg}(A - 2I) = 3 - 2 = 1\]

1. Conclusión: Como \(d_2 = 1 < a_2 = 3\), la matriz no es diagonalizable.

Tema 2: Diagonalización y Forma de Jordan

Ejemplo 2.1: Proceso Completo de Diagonalización

Enunciado

Diagonalice \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\) y encuentre la matriz de paso \(P\) tal que \(D = P^{-1} A P\).

Explicación teórica

El proceso de diagonalización requiere verificar que \(a_i = d_i\) para todos los autovalores. Si es diagonalizable, \(D\) se forma con los autovalores y \(P\) con las bases de los subespacios propios \(V_{\lambda}\). (Nota: Como \(A\) es simétrica, el Teorema Espectral garantiza que es diagonalizable).

Solución paso a paso

1. Polinomio Característico:

\[p(x) = -x^3 + 9x^2 - 24x + 20 = -(x-2)^2(x-5)\]

1. Autovalores y Multiplicidades Algebraicas (\(a\)):
   • \(\lambda_1 = 2\), \(a_1 = 2\).
   • \(\lambda_2 = 5\), \(a_2 = 1\).
2. Multiplicidades Geométricas (\(d\)):
   • Para \(\lambda_1 = 2\): \(A - 2I = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\).
     \(\text{rg}(A - 2I) = 1\).
     \(d_1 = 3 - 1 = 2\).
     (\(d_1 = a_1\)).
   • Para \(\lambda_2 = 5\): \(A - 5I = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}\).
     \(\text{rg}(A - 5I) = 2\).
     \(d_2 = 3 - 2 = 1\).
     (\(d_2 = a_2\)).
3. Matriz Diagonal D: \(D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}\).
4. Bases de Subespacios Propios (\(V_\lambda\)):
   • \(V_2\): Se resuelve \(x+y+z=0\).
     \(\text{Base}(V_2) = \{(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)\}\),.
   • \(V_5\): Se resuelve \(x=y=z\).
     \(\text{Base}(V_5) = \{(1, 1, 1)\}\).
5. Matriz de Paso P: Se ordenan los vectores según el orden en \(D\):

\[P = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\]

1. Verificación (Opcional): Se comprueba que \(P^{-1} A P = D\).

Ejemplo 3.5/3.6: Aplicación de la Forma Canónica de Jordan (Sucesiones Recurrentes)

Enunciado

Calcule la expresión general para la sucesión matricial \(X_n = A X_{n-1}\) con \(X_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) y \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\). (Esto resuelve la sucesión de Fibonacci).

Explicación teórica

\(X_n = A^n X_0\). Si \(A\) es diagonalizable, \(A^n = P D^n P^{-1}\), lo que simplifica el cálculo.

Solución paso a paso

1. Polinomio Característico: \(p(x) = x^2 - x - 1\).
2. Autovalores:

\[\lambda_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \quad \lambda_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\]

1. Matrices D, P, P⁻¹: (Proporcionadas en la fuente, ya que \(A\) es diagonalizable).
2. Cálculo de \(A^n = P D^n P^{-1}\):

\[A^n = \frac{1}{2^{n+2}\sqrt{5}} \begin{pmatrix} \dots & \dots \\ -4(1-\sqrt{5})^n + 4(1+\sqrt{5})^n & \dots \end{pmatrix}\]

(Se muestra la matriz completa en la fuente).

1. Cálculo de \(X_n = A^n X_0\): \(X_n = A^n \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). La segunda entrada de \(X_n\) corresponde a \(F_{n+1}\) (término \(n+1\) de Fibonacci).
2. Fórmula de Binet (Resultado Final):

\[F_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} - \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\]

Ejemplo 3.1/3.3/3.4: Forma Canónica de Jordan

Enunciado

\(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\) (\(\lambda=2\) con \(a=4\)). Calcule la Forma Canónica de Jordan \(J\) y la matriz de paso \(P\).

Explicación teórica

Para matrices no diagonalizables (o para cualquier matriz), se calcula \(J\) y \(P\) utilizando la cadena de subespacios propios generalizados \(E_i(\lambda) = \text{Ker}(A - \lambda I)^i\). La dimensión se estabiliza en la multiplicidad algebraica \(a\).

Solución paso a paso

1. Dimensiones de Subespacios Generalizados:
2. \(A - 2I = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\).
   \(\text{rg}(A - 2I) = 2\). \(\dim(E_1(2)) = 4 - 2 = 2\).
3. \((A - 2I)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\).
   \(\text{rg}((A - 2I)^2) = 0\). \(\dim(E_2(2)) = 4 - 0 = 4\).
4. La cadena se estabiliza en \(E_2(2) = \mathbb{R}^4\).
5. Diagrama de Jordan: \(\dim(E_2) - \dim(E_1) = 4 - 2 = 2\) vectores en el nivel 2. \(\dim(E_1) - \dim(E_0) = 2\) vectores en el nivel 1. Hay 2 líneas de longitud 2,.
6. Forma Canónica de Jordan \(J\): El diagrama produce dos bloques de Jordan de orden 2.

\[J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\]

1. Cálculo de la Matriz de Paso \(P\): (Los vectores se calculan de derecha a izquierda, \(v_2, v_4\) en \(E_2\) y sus imágenes \(v_1, v_3\) en \(E_1\),).

\[P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

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UNIDAD DIDÁCTICA 5: TEORÍA DE GRAFOS

Tema 1: Definiciones y conteos

Ejercicio 5.1: Aristas en grafos completos

Enunciado

¿Cuántas aristas tiene \(K_8\)? ¿Y \(K_{8,3}\)?

Explicación teórica

n \(K_n\) cada par de vértices distintos determina una arista; en \(K_{n,m}\) todas las aristas van entre las dos partes.

Solución paso a paso

• En \(K_n\) el número de aristas es \(\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}\). Para \(n=8\):

  \[|E(K_8)|=\binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2}=28.\]

• En \(K_{n,m}\) hay \(n\cdot m\) aristas. Para \(n=8,m=3\):

  \[|E(K_{8,3})|=8\cdot 3=24.\]

Tema 2: Grados y lema del saludo

Ejercicio 5.2: Uso del lema del saludo

Enunciado

Un grafo no dirigido tiene suma de grados igual a 18. ¿Cuántas aristas tiene?

Explicación teórica

El lema del saludo dice \(\sum_{v\in V}\delta(v)=2|E|\); con la suma conocida despejamos \(|E|\).

Solución paso a paso

\[2|E|=18\Rightarrow |E|=9.\]

Ejercicio 5.3: Compatibilidad de grados

Enunciado

¿Puede existir un grafo no dirigido cuyos grados sean \(\{3,3,3,2,1,1\}\)? Justifica.

Explicación teórica

La suma de los grados debe ser par (igual a \(2|E|\)). Además, el número de vértices de grado impar debe ser par.

Solución paso a paso

• Suma de grados: \(3+3+3+2+1+1=13\), que es impar.
• Esto contradice \(\sum\delta(v)=2|E|\) (un número par). Por tanto no existe tal grafo.

Tema 3: Dígrafos (entradas y salidas)

Ejercicio 5.4: Fuente y sumidero

Enunciado

Sea el dígrafo con aristas \(E=\{a\to b,\ a\to c,\ a\to d,\ b\to c,\ d\to c,\ e\to a,\ e\to d\}\). Calcula \(\delta^+(v)\) y \(\delta^-(v)\) para cada vértice e identifica fuentes y sumideros.

Explicación teórica

Contamos arcos que salen (grado de salida) y que entran (grado de entrada) para cada vértice.

Solución paso a paso

• Salidas: \(\delta^+(a)=3,\ \delta^+(b)=1,\ \delta^+(c)=0,\ \delta^+(d)=1,\ \delta^+(e)=2\).
• Entradas: \(\delta^-(a)=1,\ \delta^-(b)=1,\ \delta^-(c)=3,\ \delta^-(d)=2,\ \delta^-(e)=0\).
• Conclusión: \(e\) es fuente (\(\delta^-=0\)) y \(c\) es sumidero (\(\delta^+=0\)).

Tema 4: Eulerianos y Hamiltonianos

Ejercicio 5.5: Puentes de Königsberg (Euler)

Enunciado

Modeliza el problema de los puentes de Königsberg como un grafo y decide si existe un recorrido que atraviese cada puente exactamente una vez.

Explicación teórica

Representa las regiones como vértices y los puentes como aristas; aplica el teorema de Euler (paridad de los grados).

Solución paso a paso

• Al modelar el problema clásico aparecen 4 vértices con grados impares.
• Como hay más de dos vértices de grado impar, no existe camino euleriano que atraviese todos los puentes una sola vez.

Ejercicio 5.6: Aplicar Dirac (Hamilton)

Enunciado

Sea \(G\) simple con \(n=6\) vértices y grado mínimo \(\delta(G)=3\). ¿Se puede afirmar que \(G\) es hamiltoniano?

Explicación teórica

Por el teorema de Dirac, si \(\delta(G)\ge n/2\) con \(n\ge3\), entonces \(G\) es hamiltoniano (condición suficiente).

Solución paso a paso

• Cálculo: \(n/2=3\), y \(\delta(G)=3\ge 3\).
• Conclusión: Se cumple la condición de Dirac, por tanto \(G\) es hamiltoniano.

Tema 5: Árboles y recorridos

Ejercicio 5.7: Propiedad de los árboles

Enunciado

Si un grafo es un árbol con \(n=15\) vértices, ¿cuántas aristas tiene? Si se quita una arista, ¿qué ocurre con la conectividad?

Explicación teórica

Un árbol con \(n\) vértices tiene \(n-1\) aristas; cualquier arista de un árbol es un puente.

Solución paso a paso

• Número de aristas: \(|E|=n-1=14\).
• Al quitar una arista se desconecta el grafo, quedando exactamente 2 componentes conexas.

Tema 6: Redes y algoritmos

Ejercicio 5.8: Relajación en Dijkstra

Enunciado

En una red con origen \(a\) las distancias actuales son \(D(a)=0\), \(D(b)=2\), \(D(c)=4\). Existe arista \(b\to c\) de peso 1. ¿Se actualiza \(D(c)\) al relajar desde \(b\)?

Explicación teórica

La relajación actualiza \(D(c)\) a \(\min(D(c),D(b)+w(b,c))\).

Solución paso a paso

\[D'(c)=\min(4,\ 2+1)=3,\]

Sí: se actualiza a \(D(c)=3\).

Ejercicio 5.9: Aristas de un MST

Enunciado

¿Cuántas aristas tiene cualquier MST de un grafo conexo con \(n\) vértices?

Explicación teórica

Un MST es un árbol de expansión; todo árbol con \(n\) vértices tiene \(n-1\) aristas.

Solución paso a paso

El MST tiene exactamente \(n-1\) aristas.

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Examenes

Simulacro 1

Tarea 1 (2,5 ptos) — Autovalores y diagonalización

Enunciado

Considera la matriz dependiente del parámetro \(a\):

\[C=\begin{pmatrix}a & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.\]

a) Encuentra los autovalores de \(C\).

b) Determina para qué valores de \(a\) la matriz \(C\) es diagonalizable.

Explicación teórica

Para una matriz triangular los autovalores son las entradas de la diagonal. Una matriz es diagonalizable si para cada autovalor la multiplicidad geométrica (dimensión del subespacio propio) coincide con su multiplicidad algebraica. Si los autovalores son distintos, la matriz es diagonalizable.

Solución paso a paso

1. Polinomio característico:

\[p_C(\lambda)=\det(C-\lambda I)=(a-\lambda)(2-\lambda).\]

1. Autovalores: \(\lambda_1=a\) y \(\lambda_2=2\).

2. Cálculo de autovectores (caso general \(a\neq 2\)):

   • Para \(\lambda=a\):
   \[(C-aI)v=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 2-a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=0\;\Rightarrow\;y=0.\]

   Un autovector correspondiente es \(v^{(1)}=(1,0)^T\).

   • Para \(\lambda=2\):
   \[(C-2I)v=\begin{pmatrix}a-2 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=0\;\Rightarrow\;(a-2)x+y=0\Rightarrow y=-(a-2)x.\]

   Un autovector correspondiente es por ejemplo \(v^{(2)}=(1,\;-(a-2))^T\).

   Como \(v^{(1)}\) y \(v^{(2)}\) son linealmente independientes cuando \(a\neq 2\), hay dos autovectores independientes y la matriz es diagonalizable.

3. Caso \(a=2\) (autovalor doble):

   Si \(a=2\) entonces \(C=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\) y

   \[(C-2I)=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}.\]

   La ecuación \((C-2I)(x,y)^T=0\) obliga a \(y=0\), por lo que los autovectores son proporcionales a \((1,0)^T\) (dimensión geométrica \(1\)). La multiplicidad algebraica es 2 > 1 = multiplicidad geométrica, luego no es diagonalizable.

Conclusión: \(C\) es diagonalizable si y sólo si \(a\neq 2\).

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Tarea 2 (2,5 ptos) — Intersección de planos; imagen y núcleo

Enunciado

Sean los planos

\[\pi_1:\;x+y+z=1,\qquad \pi_2:\;2x-y+3z=2.\]

a) Encuentra \(\pi_1\cap\pi_2\).

b) Considera la aplicación lineal \(F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) definida por

\[F(x,y,z)=(x+y+z,\;2x-y+3z).\]

Determina \(\mathrm{Im}(F)\) y \(\ker(F)\).

Explicación teórica

La intersección de dos planos en \(\mathbb{R}^3\) (si no son paralelos coincidentes) es una recta paramétrica. La imagen de \(F\) está dada por el espacio generado por las filas (o por las imágenes de la base canónica). El núcleo es la solución del sistema homogéneo formado por las ecuaciones de los planos cuando el término constante es 0.

Solución paso a paso

a) Intersección (recta paramétrica): tomamos \(z=t\).

De \(x+y+z=1\) obtenemos \(x+y=1-t\).

De \(2x-y+3z=2\) obtenemos \(2x-y=2-3t\).

Sumando ambas ecuaciones para eliminar \(y\):

\[(x+y)+(2x-y)=3x=3-4t\Rightarrow x=1-\tfrac{4}{3}t.\]

Sustituyendo en \(x+y=1-t\):

\[y=1-t-x=1-t-(1-\tfrac{4}{3}t)=\tfrac{1}{3}t.\]

Con el cambio de parámetro \(t=3u\) (para evitar fracciones) obtenemos

\[x=1-4u,\\ y=u,\\ z=3u.\]

Por tanto

\[\pi_1\cap\pi_2=\{(1,0,0)+u(-4,1,3):\;u\in\mathbb{R}\},\]

es decir una recta que pasa por \((1,0,0)\) con dirección \((-4,1,3)\).

b) Imagen de \(F\) (fila por fila / reducción): la matriz asociada es

\[A=\begin{pmatrix}1&1&1\\[4pt]2&-1&3\end{pmatrix}.\]

Aplicamos operaciones fila para reducir:

\[\begin{pmatrix}1&1&1\\[4pt]2&-1&3\end{pmatrix}\xrightarrow{F_2-2F_1}\begin{pmatrix}1&1&1\\[4pt]0&-3&1\end{pmatrix}.\]

Hay dos filas no nulas ⇒ \(\mathrm{rg}(A)=2\), por tanto \(\mathrm{Im}(F)\) es un subespacio de dimensión 2 en \(\mathbb{R}^2\), es decir \(\mathrm{Im}(F)=\mathbb{R}^2\).

Núcleo de \(F\) (resolución explícita): resolvemos

\[\begin{cases}x+y+z=0\\[4pt]2x-y+3z=0\end{cases}.\]

Restando la primera ecuación multiplicada por 2 de la segunda: \((2x-y+3z)-2(x+y+z)= (2x-y+3z)-(2x+2y+2z)= -3y+z=0\). Así \(z=3y\).

Sustituyendo en \(x+y+z=0\): \(x+y+3y=0\Rightarrow x=-4y\). Tomando \(y=1\) obtenemos el vector \((-4,1,3)\). Entonces

\[\ker(F)=\mathrm{span}\{(-4,1,3)\},\qquad \dim\ker(F)=1.\]

Verificación rango-nulidad: \(2+1=3\).

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Tarea 3 (1 pto) — Dependencia lineal de tres vectores

Enunciado

En un sistema de navegación, los vectores de posición de tres puntos en el espacio son

\[v_1=(1,2,-1),\quad v_2=(2,-1,3),\quad v_3=(3,0,2).\]

Determina si los vectores son linealmente independientes. Si son linealmente dependientes, encuentra una relación de dependencia entre ellos.

Explicación teórica

Tres vectores de \(\mathbb{R}^3\) son linealmente independientes si la matriz que tiene esos vectores como columnas (o filas) tiene determinante no nulo. Si el determinante es cero, existe una combinación lineal no trivial que los anula.

Solución paso a paso

Consideramos la matriz con los vectores como columnas:

\[M=\begin{pmatrix}1&2&3\\[4pt]2&-1&0\\[4pt]-1&3&2\end{pmatrix}.\]

Una forma clara de verificar independencia es resolver

\[c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3=0\;\Longrightarrow\;M\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\\[4pt]c_3\end{pmatrix}=0\]

y comprobar que la única solución es la trivial. Hacemos eliminación por filas (o calculamos el determinante). Aquí mostramos la eliminación:

\[\begin{pmatrix}1&2&3\\[4pt]2&-1&0\\[4pt]-1&3&2\end{pmatrix}\xrightarrow{F_2-2F_1}\begin{pmatrix}1&2&3\\[4pt]0&-5&-6\\[4pt]-1&3&2\end{pmatrix}\]

\[\xrightarrow{F_3+F_1}\begin{pmatrix}1&2&3\\[4pt]0&-5&-6\\[4pt]0&5&5\end{pmatrix}\xrightarrow{F_3+F_2}\begin{pmatrix}1&2&3\\[4pt]0&-5&-6\\[4pt]0&0&-1\end{pmatrix}.\]

De la última fila: \(-c_3=0\Rightarrow c_3=0\). De la segunda: \(-5c_2-6c_3=0\Rightarrow c_2=0\). De la primera: \(c_1+2c_2+3c_3=0\Rightarrow c_1=0\). Sólo la solución trivial ⇒ los vectores son linealmente independientes.

Alternativamente, calculando el determinante por cofactores se obtiene \(\det(M)=5\neq0\), lo que da la misma conclusión: son linealmente independientes.

Entregable 1

Ejercicio 1. Operaciones con vectores

Enunciado

Sean los vectores en \(\mathbb{R}^3\):

\[\mathbf{u}=(2,-1,3),\qquad \mathbf{v}=(1,4,-2).\]

a) Calcula \(2\mathbf{u}-3\mathbf{v}\).

b) Calcula el producto escalar \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\).

c) Determina el ángulo entre \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\).

d) Indica si los vectores son ortogonales.

Explicación teórica

El producto escalar en \(\mathbb{R}^n\) se define por \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum u_i v_i\). La norma viene dada por \(\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}\). El coseno del ángulo entre dos vectores es

\[\cos\theta=\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.\]

Solución paso a paso

a) \(2\mathbf{u}=(4,-2,6)\) y \(3\mathbf{v}=(3,12,-6)\), por tanto

\[2\mathbf{u}-3\mathbf{v}=(4-3,\,-2-12,\,6-(-6))=(1,-14,12).\]

b) Producto escalar:

\[\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=2\cdot1+(-1)\cdot4+3\cdot(-2)=2-4-6=-8.\]

c) Normas: \(\|\mathbf{u}\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{14}\), \(\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^2+4^2+(-2)^2}=\sqrt{21}\). Entonces

\[\cos\theta=\dfrac{-8}{\sqrt{14\cdot21}}=\dfrac{-8}{\sqrt{294}}.\]

Por tanto \(\theta=\arccos\left(-8/\sqrt{294}\right)\) (valor negativo del coseno indica ángulo obtuso).

d) No son ortogonales porque \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\neq0\).

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Ejercicio 2. Dependencia lineal

Enunciado

Considera los vectores en \(\mathbb{R}^3\):

\[\mathbf{a}=(1,2,3),\quad \mathbf{b}=(2,4,6),\quad \mathbf{c}=(0,1,1).\]

a) Determina si \(\{\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\}\) es linealmente dependiente o independiente.

b) En caso de dependencia, expresa uno de los vectores como combinación lineal de los otros.

Explicación teórica

Si un vector del conjunto es combinación lineal de los demás, el conjunto es linealmente dependiente. En particular, si uno es múltiplo escalar de otro, existe dependencia.

Solución paso a paso

Observamos que \(\mathbf{b}=2\mathbf{a}\), por lo tanto \(\mathbf{b}\) es combinación lineal de \(\mathbf{a}\) y el conjunto es linealmente dependiente.

Una relación de dependencia explícita es

\[2\mathbf{a}-\mathbf{b}=\mathbf{0}.\]

Como respuesta alternativa, se puede ver que los tres no son todos L.I. porque basta la dependencia entre \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\).

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Ejercicio 3. Coordenadas en distintas bases

Enunciado

Sea la base canónica \(B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}\) y la base

\[B' = \{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\}.\]

El vector \(\mathbf{x}=(2,1,3)\) está dado en coordenadas canónicas.

a) Calcula las coordenadas de \(\mathbf{x}\) respecto a \(B'\).

b) Verifica reconstruyendo \(\mathbf{x}\) a partir de \(B'\).

Explicación teórica

Buscamos escalares \(\alpha,\beta,\gamma\) tales que

\[\alpha(1,1,0)+\beta(0,1,1)+\gamma(1,0,1)=(2,1,3).\]

Esto conduce a un sistema lineal sencillo para las coordenadas en \(B'\).

Solución paso a paso

Planteamos las ecuaciones por componentes:

\[\begin{cases}\alpha+\gamma=2\\[4pt]\alpha+\beta=1\\[4pt]\beta+\gamma=3\end{cases}\]

De la segunda \(\beta=1-\alpha\). Sustituyendo en la tercera: \(1-\alpha+\gamma=3\Rightarrow\gamma=2+\alpha\). Sustituyendo en la primera: \(\alpha+(2+\alpha)=2\Rightarrow2\alpha+2=2\Rightarrow\alpha=0\). Luego \(\beta=1\), \(\gamma=2\).

Por tanto las coordenadas de \(\mathbf{x}\) en \(B'\) son \([\mathbf{x}]_{B'}=(0,1,2)^T\).

Verificación:

\[0(1,1,0)+1(0,1,1)+2(1,0,1)=(2,1,3),\]

que coincide con \(\mathbf{x}\).

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Ejercicio 4. Cambio de base

Enunciado

En \(\mathbb{R}^2\) se consideran las bases

\[B_1=\{(1,0),(0,1)\},\qquad B_2=\{(1,1),(1,-1)\}.\]

a) Calcula la matriz de cambio de base de \(B_2\) a \(B_1\).

b) Calcula la matriz inversa (de \(B_1\) a \(B_2\)).

c) Si \([\mathbf{v}]_{B_2}=(3,1)^T\), encuentra \([\mathbf{v}]_{B_1}\) (coordenadas canónicas).

Explicación teórica

La matriz de cambio de base de \(B_2\) a la base canónica \(B_1\) tiene como columnas los vectores de \(B_2\) expresados en la base canónica. La inversa transforma coordenadas canónicas a coordenadas en \(B_2\).

Solución paso a paso

a) Matriz de paso \(P\) (columnas = vectores de \(B_2\)):

\[P=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&-1\end{pmatrix}.\]

b) Determinante \(\det(P)=1\cdot(-1)-1\cdot1=-2\). Entonces

\[P^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1&-1\\[4pt]-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/2&1/2\\[4pt]1/2&-1/2\end{pmatrix}.\]

c) Si \([\mathbf{v}]_{B_2}=(3,1)^T\), las coordenadas en la base canónica son

\[[\mathbf{v}]_{B_1}=P\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\end{pmatrix}.\]

Es decir, \(\mathbf{v}=(4,2)\) en coordenadas canónicas.

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Ejercicio 5. Coordenadas paramétricas y cartesianas

Enunciado

Sea el subespacio \(U\subset\mathbb{R}^3\) generado por

\[\mathbf{u}_1=(1,2,1),\qquad \mathbf{u}_2=(0,1,1).\]

a) Escribe las ecuaciones paramétricas de \(U\).

b) Obtén las ecuaciones cartesianas que definen el mismo subespacio.

Explicación teórica

Un subespacio generado por dos vectores en \(\mathbb{R}^3\) es un plano (dimensión 2) que puede describirse por parámetros (combinación lineal) o por una ecuación lineal que satisfacen sus puntos (forma cartesiana).

Solución paso a paso

a) Punto genérico del subespacio:

\[\mathbf{x}=s\mathbf{u}_1+t\mathbf{u}_2=s(1,2,1)+t(0,1,1)=(s,2s+t,s+t).\]

Es decir, las ecuaciones paramétricas son

\[x=s,\quad y=2s+t,\quad z=s+t\; (s,t\in\mathbb{R}).\]

b) Eliminamos los parámetros: de \(x=s\) y \(z=s+t\) obtenemos \(t=z-x\). Sustituyendo en \(y=2s+t\):

\[y=2x+(z-x)=x+z.\]

Por tanto la ecuación cartesiana del plano es

\[y-x-z=0.\]

Verificación: los generadores satisfacen la ecuación (por ejemplo \((1,2,1)\) cumple \(2-1-1=0\)).

Entregable 2

Intersección de subespacios — Ejercicio resuelto

Enunciado

En esta tarea trabajamos la intersección de espacios vectoriales. Dados

\[S=\operatorname{span}\{(1,-1,1),(0,3,-4)\}\subset\mathbb{R}^3,\qquad T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\;x+y-2z=0\},\]

calcula un sistema generador de \(S\cap T\).

Explicación teórica

Un vector \(v\in S\cap T\) se escribe como combinación lineal de los generadores de \(S\) y además debe satisfacer la ecuación que define \(T\). Así planteamos

\[v=s(1,-1,1)+t(0,3,-4)\]

y imponemos la condición lineal de \(T\): \(x+y-2z=0\). Resolver ese sistema nos da las relaciones entre \(s\) y \(t\), y por tanto un generador del espacio intersección.

Solución paso a paso

1. Vector general en \(S\):

   \[v=(x,y,z)=s(1,-1,1)+t(0,3,-4)=(s,\,-s+3t,\;s-4t).\]

2. Imponer la condición de \(T\): \(x+y-2z=0\). Sustituimos las componentes:

   \[s+(-s+3t)-2(s-4t)=0\Longrightarrow -2s+11t=0.\]

3. Resolver la relación: \(11t=2s\Rightarrow t=\tfrac{2}{11}s\). Sustituimos en la expresión de \(v\):

   \[v=s\bigl(1,\;-1+3\cdot\tfrac{2}{11},\;1-4\cdot\tfrac{2}{11}\bigr)=s\Bigl(1,\;-\tfrac{5}{11},\;\tfrac{3}{11}\Bigr).\]

4. Factorizando para tener coordenadas enteras:

   \[v=\frac{s}{11}(11,\,-5,\;3).\]

Por tanto

\[S\cap T=\operatorname{span}\{(11,-5,3)\}.\]

1. Verificación rápida: \((11,-5,3)\) pertenece a \(S\) porque existen \(s,t\) (en concreto \(s=11\), \(t=2\)) tales que

\[11(1,-1,1)+2(0,3,-4)=(11,-11+6,11-8)=(11,-5,3).\]

Y pertenece a \(T\) pues \(11+(-5)-2\cdot3=11-5-6=0\).

Conclusión: un sistema generador de \(S\cap T\) es \(\{(11,-5,3)\}\) (o cualquier múltiplo no nulo de ese vector).