🧪 Examen final (apuesta Pablo)

Duración estimada: 55 minutos.

Instrucciones

• Responde marcando la opción correcta (a, b, c, d). Puede haber más de una correcta: marca todas las que correspondan.
• En las preguntas de cálculo se pide elegir la(s) opción(es) correcta(s); debajo de cada pregunta se incluye la solución desarrollada para estudiar.

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Pregunta 1

¿Son independientes \(u_1=(1,1,0)\), \(u_2=(1,0,1)\), \(u_3=(0,1,1)\)?

Sí, forman base de \(\mathbb{R}^3\).

No, porque \(u_3=u_1+u_2\).

No, porque suman \((2,2,2)\).

Son dependientes en \(\mathbb{R}^2\).

Explicación: Matriz con columnas \(u_i\) tiene determinante \(-2\neq 0\).

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Pregunta 2

Independencia en \(\mathbb{R}^2\): \(v_1=(1,2)\), \(v_2=(2,4)\).

Independientes.

Dependientes, \(v_2=2v_1\).

Generan todo \(\mathbb{R}^2\).

Forman base ortonormal.

Explicación: Uno es múltiplo del otro, rango 1.

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Pregunta 3

Cambio de base: \(B=\{(1,0),(0,1)\}\), \(B'=\{(2,0),(0,1)\}\). Coordenadas de \(x=(4,3)\) en \(B'\):

\((2,3)\)

\((4,3)\)

\((1,3)\)

\((2,1.5)\)

Explicación: \((4,3)=2(2,0)+3(0,1)\).

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Pregunta 4

Sean \(B=\{(1,1),(1,-1)\}\) y \(B'\) canónica. Matriz de cambio de base de \(B\) a \(B'\):

\(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)

Explicación: Columnas son los vectores de \(B\) escritos en la base canónica.

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Pregunta 5

Aplicación \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(3x-y,\,x+2y)\). Elige lo correcto:

Es lineal con matriz \(\begin{pmatrix}3&-1\\1&2\end{pmatrix}\).

No es lineal porque cambia el origen.

Solo es lineal para \(y=0\).

Requiere traslación para ser lineal.

Explicación: Es transformación dada por matriz fija; preserva suma y homogeneidad.

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Pregunta 6

¿Es lineal \(S(x,y)=(x^2,y)\)?

Sí, porque es componente a componente.

No, falla homogeneidad.

Sí, con matriz \(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\).

Solo en el eje \(y\).

Explicación: \(S(2,0)=(4,0)\neq 2S(1,0)\), viola linealidad.

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Pregunta 7

Diagonalización fácil: \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\). Elige lo correcto:

Diagonalizable con autovalores \(1,-1\).

No diagonalizable.

Solo diagonalizable con complejos.

Autovalores ambos 1.

Explicación: Polinomio \(-\lambda^2+1=0\), autovectores \((1,1)\) y \((1,-1)\).

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Pregunta 8

Diagonalizar \(C=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}\):

\(D=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}\), \(P=I\)

\(D=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(P=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)

No es diagonalizable.

Requiere \(P\) con autovectores complejos.

Explicación: Ya es diagonal; cualquier base de autovectores sirve.

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Pregunta 9

Combinatoria: número de subconjuntos de un conjunto de 5 elementos:

\(2^5=32\)

\(\binom{5}{2}=10\)

\(5!=120\)

\(2^4=16\)

Explicación: Cada elemento puede estar o no; \(2^5\) subconjuntos.

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Pregunta 10

Combinatoria: formas de elegir presidente y vicepresidente distintos de un grupo de 6 personas:

\(6\cdot 5=30\)

\(\binom{6}{2}=15\)

\(6!=720\)

\(5!=120\)

Explicación: Permutaciones de 2 elementos: \(P(6,2)=6\cdot 5\).

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Soluciones desarrolladas

Solución pregunta 1 — Independencia 3 vectores

Determinante de columnas \(|1\,1\,0;1\,0\,1;0\,1\,1|=-2\neq 0\); independientes.

Solución pregunta 2 — Dependencia en R2

Matriz con columnas \(v_1=(1,2)\) y \(v_2=(2,4)\):

\[M=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\]

Rango 1 porque la segunda columna es \(2\times\) la primera. También se ve que \(v_2=2v_1\). Sólo hay un vector independiente \(\Rightarrow\) dependientes.

Solución pregunta 3 — Coordenadas en B'

Buscamos \(\alpha,\beta\) tal que \((4,3)=\alpha(2,0)+\beta(0,1)\). Del sistema: \(2\alpha=4 \Rightarrow \alpha=2\); \(\beta=3\). Coordenadas en \(B'\): \((2,3)\).

Solución pregunta 4 — Matriz de paso

De base \(B=\{(1,1),(1,-1)\}\) a base canónica: la matriz de paso \(P_{B\to \text{can}}\) se forma con las coordenadas de los vectores de \(B\) como columnas:

\[P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\]

Cualquier vector con coords en \(B\), digamos \((a,b)_B\), pasa a canónica como \(P\,(a,b)^T\).

Solución pregunta 5 — Linealidad de T

\(T(x,y)=(3x-y,\,x+2y)\) es lineal si:

1. Preserva el origen: \(T(0,0)=(0,0)\) ✓

2. Aditividad: \(T(u+v)=T(u)+T(v)\)

Sean \(u=(x_1,y_1)\), \(v=(x_2,y_2)\):

\[T(u+v)=(3(x_1+x_2)-(y_1+y_2),\,(x_1+x_2)+2(y_1+y_2))\]

\[= (3x_1-y_1,\,x_1+2y_1) + (3x_2-y_2,\,x_2+2y_2)=T(u)+T(v)\]

3. Homogeneidad: \(T(\alpha u)=\alpha T(u)\)

\[T(\alpha x_1,\alpha y_1)=(3\alpha x_1-\alpha y_1,\,\alpha x_1+2\alpha y_1)=\alpha(3x_1-y_1,\,x_1+2y_1)=\alpha T(u)\]

Cumple las tres, así que es aplicación lineal con matriz \(\begin{pmatrix}3&-1\\1&2\end{pmatrix}\).

Solución pregunta 6 — No linealidad de S

\(S(2,0)=(4,0)\neq 2S(1,0)\); viola homogeneidad.

Solución pregunta 7 — Diagonalizar A

Sea \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\). Buscamos \(P^{-1}AP=D\).

Paso 1: Polinomio característico

\[\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda&1\\1&-\lambda\end{pmatrix}=\lambda^2-1=0\]

Paso 2: Autovalores

\[\lambda_1=1, \quad \lambda_2=-1\]

Paso 3: Autovector para \(\lambda_1=1\)

\[A-I=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}\]

Ecuación \(-x+y=0 \implies y=x\). Tomamos \(v_1=(1,1)\).

Paso 4: Autovector para \(\lambda_2=-1\)

\[A+I=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\]

Ecuación \(x+y=0 \implies y=-x\). Tomamos \(v_2=(1,-1)\).

Paso 5: Matriz de paso y diagonal $\(P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)$

Paso 6: Verificación breve

Con \(\det P=-2\neq 0\), \(P\) es invertible y cumple \(P^{-1}AP=D\).

Conclusión: \(A\) es diagonalizable con esos autovalores y autovectores.

Solución pregunta 8 — Diagonal trivial

Sea \(C=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}\). Es diagonal; cualquier base de autovectores sirve.

Paso 1: Autovalor

Polinomio: \((2-\lambda)^2=0 \implies \lambda=2\) (doble).

Paso 2: Espacio propio

\((C-2I)v=0 \Rightarrow \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=0\).

Todo vector no nulo es autovector; tomamos \(v_1=(1,0)\), \(v_2=(0,1)\).

Paso 3: Matrices \(P\) y \(D\)

\[P=I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}\]

Conclusión: \(C\) ya está diagonal; \(P^{-1}CP=D\) es inmediato.

Solución pregunta 9 — Subconjuntos

Potencia de conjunto: cada uno de los 5 elementos puede estar o no. Es combinación con repetición binaria (inclusión/exclusión), equivalente a \(2^5=32\) subconjuntos.

Solución pregunta 10 — Presidente/vice

Elegir presidente y vicepresidente (distintos) es permutación sin repetición de 2 personas entre 6: importa el orden (presi vs vice) y no se repite persona.

\[P(6,2)=6\cdot 5=30\]