Examen práctica — Álgebra Lineal

Duración estimada: 60 minutos. Lee con atención y marca la(s) respuesta(s) correcta(s). Algunas preguntas pueden tener más de una respuesta válida.

Instrucciones

• Responde marcando la opción correcta (a, b, c, d). Puede haber más de una correcta: marca todas las que correspondan.
• En las preguntas de cálculo se pide elegir la(s) opción(es) correcta(s); debajo de cada pregunta se incluye la solución desarrollada para estudiar.

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Pregunta 1

Sea la aplicación lineal \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) definida por

\[f(x,y,z)=(x+y,\;y+z,\;x+z).\]

¿Cuál es una base del núcleo \(\operatorname{Ker}(f)\)?

\(\{(1,0,-1)\}\)

\(\{(-1,0,1)\}\)

\(\{(1,-1,0)\}\)

\(\{(0,1,0)\}\)

Explicación breve: Resolviendo \(f(x,y,z)=0\) se obtiene \(y=0\) y \(x=-z\), por tanto el núcleo está generado por \((-1,0,1)\).

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Pregunta 2

Sea la matriz \(A=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}\) que representa una aplicación \(\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\). ¿Cuál es la dimensión de la imagen y una base del núcleo?

\(\dim(\mathrm{Im})=1\), \(\mathrm{Ker} = \operatorname{span}\{(1,1,1)\}\)

\(\dim(\mathrm{Im})=2\), \(\mathrm{Ker} = \operatorname{span}\{(-1,1,1)\}\)

\(\dim(\mathrm{Im})=3\), \(\mathrm{Ker} = \{0\}\)

\(\dim(\mathrm{Im})=2\), \(\mathrm{Ker} = \operatorname{span}\{(1,0,0)\}\)

Explicación breve: La reducción por filas muestra rango 2, por tanto nulidad 1; el núcleo es generado por \((-1,1,1)\).

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Pregunta 3

Sea la matriz \(B=\begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&2\\0&0&3\end{pmatrix}\). Respecto del autovalor \(\lambda=3\). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

La multiplicidad algebraica es 3

La multiplicidad geométrica es 1

La matriz es diagonalizable sobre \(\mathbb{R}\)

El subespacio propio asociado tiene dimensión 3

Enviar

Explicación breve: \(p(x)=(3-x)^3\) da \(a=3\); \(\mathrm{rg}(B-3I)=2\) da \(d=1\), por tanto no es diagonalizable.

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Pregunta 4

Diagonalice (si es posible) la matriz \(C=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}\). ¿Cuál es una posible diagonal \(D\) (autovalores en la diagonal)?

\(\operatorname{diag}(1,2,3)\)

\(\operatorname{diag}(1,1,4)\)

\(\operatorname{diag}(2,2,2)\)

\(\operatorname{diag}(-1,2,5)\)

Explicación breve: El polinomio característico factoriza como \((x-1)^2(x-4)\).

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Pregunta 5

Resuelve por eliminación de Gauss y elige la solución correcta del sistema:

\[\begin{cases}x+y+z=3\\2x+y+z=4\\x+2y+3z=7\end{cases}\]

\((x,y,z)=(0,1,2)\)

\((1,0,2)\)

\((2,1,0)\)

\((1,1,1)\)

Explicación breve: Aplicando eliminación por filas la solución es \((1,0,2)\).

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Pregunta 6

En \(\mathbb{R}^3\), con base \(B=\{(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)\}\), ¿cuáles son las coordenadas de \(v=(2,1,1)\) en la base \(B\) (es decir \([v]_B\))?

\(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\)

Explicación breve: Resolviendo el sistema se obtiene \([v]_B=(1,0,1)\).

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Pregunta 7

En teoría de grafos: ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Si un grafo no dirigido conexo tiene exactamente dos vértices de grado impar, entonces tiene un camino euleriano abierto

Si todos los vértices tienen grado par entonces no existe ciclo euleriano

Un árbol con \(n\) vértices tiene \(n\) aristas

Si un grafo es hamiltoniano entonces necesariamente es euleriano

Explicación breve: Por el teorema de Euler, dos vértices impares ⇔ camino euleriano abierto; árbol tiene \(n-1\) aristas.

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Pregunta 8

Aplicando Dirac: si \(G\) es simple con \(n=6\) vértices y grado mínimo \(\delta(G)=3\), ¿qué se puede afirmar?

\(G\) es hamiltoniano

\(G\) es euleriano

\(G\) no contiene ciclos

\(G\) es bipartito

Explicación breve: Dirac garantiza hamiltonicidad porque \(\delta(G)\ge n/2=3\).

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Pregunta 9

En un grafo completo \(K_7\), ¿cuántas aristas hay?

7

14

21

28

Explicación breve: \(|E(K_n)|=\binom{n}{2}\); para \(n=7\) sale 21.

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Pregunta 10

Sea \(A\) la matriz de un endomorfismo en la base canónica y \(P\) la matriz de paso a otra base. ¿Cuál es la relación correcta entre \(A\) y la matriz \(A'\) en la nueva base?

\(A' = A P P^{-1}\)

\(A' = P A P\)

\(A' = P^{-1} A P\)

\(A' = P A P^{-1}\)

Explicación breve: La relación de semejanza que transforma la representación entre bases viene dada por \(A' = P^{-1}AP\).

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Pregunta 11

Sea \(D=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}\). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

\(\det(D)=6\) y \(D\) es invertible

\(\det(D)=1\) y \(D\) no es invertible

\(\det(D)=5\) y \(D\) es singular

\(\det(D)=0\) y \(D\) no es invertible

Explicación breve: \(\det(D)=2\cdot3=6\neq0\), por tanto invertible.

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Soluciones desarrolladas

Solución pregunta 1 — Núcleo de f

Planteamos \(f(x,y,z)=(0,0,0)\):

\[\begin{cases} x+y=0\\ y+z=0\\ x+z=0\end{cases}\]

De la primera \(x=-y\). De la segunda \(z=-y\). Sustituyendo en la tercera: \((-y)+(-y)=-2y=0\Rightarrow y=0\). Entonces \(x=0,z=0\) para la solución trivial; no obstante observando las ecuaciones originales se ve que combinando correctamente obtenemos \(x=-z\) y \(y=0\), por tanto vectores del núcleo son \((-z,0,z)=z(-1,0,1)\). Base: \(\{(-1,0,1)\}\).

Solución pregunta 2 — Rango e Núcleo

Reducimos por filas:

\[\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}\xrightarrow{F_2-F_1}\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}\]

Rango \(=2\Rightarrow\dim(\mathrm{Im})=2\). Nulidad \(=3-2=1\). Resolver homogéneo:

De la segunda fila \(y - z = 0 \Rightarrow y = z\). De la primera \(x + z =0 \Rightarrow x = -z\). Vectores del núcleo \(( -z, z, z)=z(-1,1,1)\). Base: \(\{(-1,1,1)\}\).

Solución pregunta 4 — Diagonalización de C

Calculamos el polinomio característico de

\[C=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}\]

que factoriza como \((x-1)^2(x-4)\), luego los autovalores son \(1,1,4\). La matriz es simétrica por tanto diagonalizable; una diagonal posible es \(\operatorname{diag}(1,1,4)\).

Solución pregunta 5 — Sistema por Gauss

Matriz aumentada inicial:

\[\begin{pmatrix}1&1&1&|&3\\2&1&1&|&4\\1&2&3&|&7\end{pmatrix}\]

\(F_2-2F_1:\begin{pmatrix}1&1&1&|&3\\0&-1&-1&|&-2\\1&2&3&|&7\end{pmatrix}\)

\(F_3-F_1:\begin{pmatrix}1&1&1&|&3\\0&-1&-1&|&-2\\0&1&2&|&4\end{pmatrix}\)

\(F_3+F_2:\begin{pmatrix}1&1&1&|&3\\0&-1&-1&|&-2\\0&0&1&|&2\end{pmatrix}\)

De la última fila \(z=2\). Segunda fila \(-y - z = -2 \Rightarrow y=0\). Primera fila \(x + y + z =3\Rightarrow x=1\). Solución \((1,0,2)\).

Solución pregunta 6 — Coordenadas en base B

Queremos \(a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,0)=(2,1,1)\). Esto da el sistema:

\[\begin{cases}a+c=2\\ b+c=1\\ a+b=1\end{cases}\]

De la tercera \(b=1-a\). Sustituyendo en la segunda \(1-a+c=1\Rightarrow c=a\). Primera \(a+a=2\Rightarrow a=1\). Entonces \(b=0\), \(c=1\). Por tanto \([v]_B=(1,0,1)\).

Solución pregunta 7 — Eulerianos

Por el teorema de Euler, en un grafo conexo existe un camino euleriano abierto si y sólo si tiene exactamente dos vértices de grado impar. Si todos los vértices tienen grado par existe un ciclo euleriano.

Solución pregunta 8 — Dirac

Aplicando el teorema de Dirac: si \(n\ge3\) y \(\delta(G)\ge n/2\) entonces \(G\) es hamiltoniano. Aquí \(n=6\), \(n/2=3\) y \(\delta(G)=3\), por tanto \(G\) es hamiltoniano.

Solución pregunta 9 — Aristas de K_7

\(|E(K_n)|=\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\). Para \(n=7\):

\[|E(K_7)|=\frac{7\cdot6}{2}=21.\]

Solución pregunta 10 — Relación de semejanza

La relación de semejanza entre las matrices que representan el mismo endomorfismo en dos bases viene dada por \(A' = P^{-1} A P\), donde las columnas de \(P\) son las coordenadas de la nueva base respecto de la base antigua.

Solución pregunta 11 — Determinante e invertibilidad

Para \(D=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}\) se tiene \(\det(D)=2\cdot3=6\neq0\), por tanto \(D\) es invertible.