Examen UD2 — Espacios vectoriales

Duración estimada: 45 minutos. Lee con atención y marca la(s) respuesta(s) correcta(s). Algunas preguntas pueden tener más de una respuesta válida.

Instrucciones

• Responde marcando la opción correcta (a, b, c, d). Puede haber más de una correcta: marca todas las que correspondan.
• En las preguntas de cálculo se pide elegir la(s) opción(es) correcta(s); debajo de cada pregunta se incluye la solución desarrollada para estudiar.

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Pregunta 1

Sea \(W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+2y-z=0\}\). ¿Cuál es una base de \(W\)?

\(\{(1,0,0),(0,1,0)\}\)

\(\{(-2,1,0),(1,0,1)\}\)

\(\{(1,2,-1)\}\)

\(\{(1,0,0),(0,0,1)\}\)

Explicación breve: De \(x=-2y+z\) se parametriza con dos parámetros.

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Pregunta 2

En \(\mathbb{R}^3\), sean \(v_1=(1,1,0)\), \(v_2=(2,2,0)\), \(v_3=(0,1,1)\). ¿Cuál es \(\dim\,\langle v_1,v_2,v_3\rangle\)?

1

2

3

0

Explicación breve: \(v_2=2v_1\) y \(v_3\) no es múltiplo de \(v_1\).

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Pregunta 3

En \(P_2\) (polinomios reales de grado \(\le 2\)), sea \(U=\{p(x)\in P_2\mid p(1)=0\}\). ¿Cuál(es) afirmación(es) son verdaderas?

\(U\) es un subespacio de \(P_2\)

\(\dim(U)=2\)

\(\dim(U)=1\)

\(\{(x-1),\,x(x-1)\}\) es una base de \(U\)

Enviar

Explicación breve: \(p(1)=0\) equivale a que \((x-1)\) divide a \(p\); en \(P_2\) queda un factor lineal.

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Pregunta 4

Sea \(S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=|x|\}\). ¿Qué ocurre con \(S\)?

Es un subespacio de \(\mathbb{R}^2\)

No es subespacio porque no es cerrado para la suma

No es subespacio porque no contiene al vector \(0\)

Es subespacio pero no tiene base

Explicación breve: \((1,1)\) y \((-1,1)\) están en \(S\), pero su suma \((0,2)\) no lo está.

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Pregunta 5

El conjunto \(V=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}\,\middle|\,a,b\in\mathbb{R}\right\}\), con la suma y producto por escalar usuales, es un subespacio de \(M_{2\times 2}\). ¿Cuál es una base de \(V\)?

\(\left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right\}\)

\(\left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right\}\)

\(\left\{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\right\}\)

\(\left\{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\right\}\)

Explicación breve: Cualquier elemento es \(aI + bE_{12}\).

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Pregunta 6

Sea el sistema homogéneo en \(\mathbb{R}^3\):

\[ \begin{cases} x+y+z=0\\ 2x+2y+2z=0\\ x+z=0 \end{cases} \]

¿Cuál es una base del espacio solución?

\(\{(0,1,0)\}\)

\(\{(1,0,-1)\}\)

\(\{(1,-1,0)\}\)

\(\{(1,1,-2)\}\)

Explicación breve: De \(x+z=0\) sale \(z=-x\) y luego \(y=0\).

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Pregunta 7

Sea \(B=\{(1,1),(1,-1)\}\) una base de \(\mathbb{R}^2\). ¿Cuáles son las coordenadas de \(v=(2,0)\) en la base \(B\)?

\(\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\)

Explicación breve: Resolver \(a(1,1)+b(1,-1)=(2,0)\).

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Pregunta 8

Sean \(U\) y \(W\) subespacios de \(\mathbb{R}^3\) con \(\dim(U)=2\), \(\dim(W)=2\) y \(\dim(U\cap W)=1\). ¿Cuál es \(\dim(U+W)\)?

1

2

3

4

Explicación breve: Fórmula \(\dim(U+W)=\dim U + \dim W - \dim(U\cap W)\).

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Pregunta 9

En \(\mathbb{R}^3\), sean \(v_1=(1,0,1)\) y \(v_2=(0,1,1)\). Considera \(v_3=(1,1,2)\). ¿Cuál(es) afirmación(es) es/son verdadera(s)?

\(v_3\in\langle v_1,v_2\rangle\)

\(\{v_1,v_2\}\) es linealmente independiente

\(\{v_1,v_2,v_3\}\) es linealmente independiente

\(v_3\) no se puede escribir como combinación lineal de \(v_1\) y \(v_2\)

Enviar

Explicación breve: \(v_1+v_2=(1,1,2)=v_3\).

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Pregunta 10

En \(\mathbb{R}^2\), sea \(B=\{(1,0),(1,1)\}\). Si \([v]_B=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\), ¿cuál es \(v\) en la base canónica?

\((1,-1)\)

\((1,1)\)

\((2,-1)\)

\((0,-1)\)

Explicación breve: \(v=2(1,0)+(-1)(1,1)\).

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Pregunta 11

En \(\mathbb{R}^4\), sean \(w_1=(1,0,1,0)\), \(w_2=(0,1,0,1)\), \(w_3=(1,1,1,1)\), \(w_4=(2,1,2,1)\). ¿Cuál es \(\dim\langle w_1,w_2,w_3,w_4\rangle\)?

1

2

3

4

Explicación breve: \(w_3=w_1+w_2\) y \(w_4=2w_1+w_2\).

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Pregunta 12

Sea \(E\) un espacio vectorial de dimensión 4. ¿Cuál(es) afirmación(es) es/son siempre verdadera(s)?

Cualquier conjunto de 5 vectores de \(E\) es linealmente dependiente

Cualquier conjunto de 4 vectores linealmente independientes es una base de \(E\)

Todo conjunto de 3 vectores de \(E\) genera \(E\)

Existen conjuntos de 4 vectores en \(E\) que no sean base

Enviar

Explicación breve: En dimensión 4, 5 vectores ⇒ dependencia; 4 L.I. ⇒ base; y también existen 4-vectores dependientes.

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Soluciones desarrolladas

Solución pregunta 1 — Base de un subespacio en \u211d^3

\(W\) está definido por una ecuación lineal homogénea, luego es un subespacio.

De \(x+2y-z=0\) se tiene \(x=-2y+z\). Tomando \(y=s\) y \(z=t\):

\[(x,y,z)=(-2s+t,\,s,\,t)=s(-2,1,0)+t(1,0,1).\]

Por tanto, una base es \(\{(-2,1,0),(1,0,1)\}\).

Solución pregunta 2 — Dimensión del subespacio generado

Como \(v_2=(2,2,0)=2(1,1,0)=2v_1\), los vectores \(v_1\) y \(v_2\) no aportan dos direcciones distintas.

Además, \(v_3=(0,1,1)\) no es múltiplo de \(v_1\) (por ejemplo, la primera coordenada sería 0 y no lo es en \(v_1\)), así que \(\{v_1,v_3\}\) es L.I.

Luego \(\dim\langle v_1,v_2,v_3\rangle=\dim\langle v_1,v_3\rangle=2\).

Solución pregunta 3 — Subespacio en P2 con condición p(1)=0

La aplicación evaluación \(\varphi:P_2\to\mathbb{R}\) dada por \(\varphi(p)=p(1)\) es lineal, y

\[U=\ker(\varphi).\]

Por tanto \(U\) es subespacio.

En \(P_2\) la condición \(p(1)=0\) equivale a que \((x-1)\) divide a \(p\). Entonces

\[p(x)=(x-1)(ax+b)=a\,x(x-1)+b\,(x-1).\]

Luego \(U=\langle x(x-1),\,(x-1)\rangle\) y \(\dim(U)=2\).

Solución pregunta 4 — Conjunto no subespacio

Se comprueba que no es cerrado para la suma:

\[(1,1)\in S,\quad (-1,1)\in S,\]

pero

\[(1,1)+(-1,1)=(0,2)\notin S,\]

porque \(2\ne |0|\).

Solución pregunta 5 — Base en un subespacio de matrices

Cualquier elemento de \(V\) es

\[\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}.\]

Los dos generadores son L.I., así que forman una base de \(V\).

Solución pregunta 6 — Base del espacio solución

Del sistema:

\[\begin{cases} x+y+z=0\\ 2x+2y+2z=0\\ x+z=0 \end{cases}\]

La segunda ecuación es redundante (es \(2\cdot\) la primera).

De \(x+z=0\) se obtiene \(z=-x\). Sustituyendo en \(x+y+z=0\):

\[x+y-x=0\Rightarrow y=0.\]

Entonces \((x,y,z)=(t,0,-t)=t(1,0,-1)\).

Solución pregunta 7 — Coordenadas en una base

Buscamos \(a,b\) tales que

\[a(1,1)+b(1,-1)=(2,0).\]

Por componentes:

\[\begin{cases}a+b=2\\a-b=0\end{cases}\]

Sumando: \(2a=2\Rightarrow a=1\) y entonces \(b=1\).

Por tanto \([v]_B=(1,1)^T\).

Solución pregunta 8 — Dimensión de suma de subespacios

Se aplica la fórmula:

\[\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)=2+2-1=3.\]

Solución pregunta 9 — Pertenencia al subespacio generado

Se comprueba que

\[v_1+v_2=(1,0,1)+(0,1,1)=(1,1,2)=v_3,\]

luego \(v_3\in\langle v_1,v_2\rangle\).

Además, \(v_1\) y \(v_2\) son L.I. porque si \(\alpha v_1+\beta v_2=0\), mirando la primera coordenada se obtiene \(\alpha=0\) y mirando la segunda \(\beta=0\).

Solución pregunta 10 — Reconstruir un vector desde sus coordenadas

Por definición de coordenadas en la base \(B=\{(1,0),(1,1)\}\):

\[v=2(1,0)+(-1)(1,1)=(2,0)-(1,1)=(1,-1).\]

Solución pregunta 11 — Dimensión del subespacio generado en \u211d^4

Observa que

\[w_3=(1,1,1,1)=(1,0,1,0)+(0,1,0,1)=w_1+w_2,\]

y

\[w_4=(2,1,2,1)=2(1,0,1,0)+(0,1,0,1)=2w_1+w_2.\]

Así, todos están en \(\langle w_1,w_2\rangle\).

Además \(w_1\) y \(w_2\) son L.I. (tienen soportes en coordenadas distintas), luego

\[\dim\langle w_1,w_2,w_3,w_4\rangle=2.\]

Solución pregunta 12 — Propiedades generales en dimensión 4

En un espacio de dimensión 4:

• Cualquier conjunto de 5 vectores es dependiente (no pueden existir 5 L.I.).
• Un conjunto de 4 vectores L.I. necesariamente es base.
• Existen conjuntos de 4 vectores que no son base (por ejemplo, repitiendo un vector o tomando un conjunto dependiente).

La afirmación “todo conjunto de 3 vectores genera \(E\)” no es siempre cierta.