Examen UD3 — Aplicaciones lineales

Duración estimada: 40 minutos. Lee con atención y marca la(s) respuesta(s) correcta(s). Algunas preguntas pueden tener más de una respuesta válida.

Instrucciones

• Responde marcando la opción correcta (a, b, c, d). Puede haber más de una correcta: marca todas las que correspondan.
• En las preguntas de cálculo se pide elegir la(s) opción(es) correcta(s); debajo de cada pregunta se incluye la solución desarrollada para estudiar.

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Pregunta 1

Sea \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) definida por

\[f(x,y,z)=(x+y,\;y+z).\]

¿Cuál es una base de \(\operatorname{Ker}(f)\)?

\(\{(1,0,0)\}\)

\(\{(1,-1,1)\}\)

\(\{(1,1,1)\}\)

\(\{(0,1,0)\}\)

Explicación breve: Resolver \(x+y=0\) y \(y+z=0\) da \((x,y,z)=t(1,-1,1)\).

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Pregunta 2

Sea \(A=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&4&0\end{pmatrix}\) la matriz de \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) (bases canónicas). ¿Cuál(es) afirmación(es) son verdaderas?

\(\dim(\mathrm{Im}(f))=1\)

\(\dim(\ker(f))=2\)

\(\dim(\mathrm{Im}(f))=2\)

\(\ker(f)=\{0\}\)

Enviar

Explicación breve: El rango de \(A\) es 1 (filas proporcionales), luego nulidad \(=3-1=2\).

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Pregunta 3

Sea \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) lineal. ¿Cuál(es) afirmación(es) es/son siempre cierta(s)?

\(f\) es inyectiva \(\Leftrightarrow \ker(f)=\{0\}\)

Si \(f\) es inyectiva entonces \(f\) es sobreyectiva

Si \(f\) es sobreyectiva entonces \(\ker(f)\) tiene dimensión 1

Si \(\ker(f)\) tiene dimensión 1 entonces \(f\) no puede ser sobreyectiva

Enviar

Explicación breve: En dimensión finita con mismo dominio/codominio (\(\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\)), inyectiva ⇔ sobreyectiva.

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Pregunta 4

Sea \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) dada por \(f(x,y)=(y,-x)\). ¿Cuál es la matriz de \(f\) en la base canónica?

\(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)

Explicación breve: Columnas \(f(e_1)=f(1,0)=(0,-1)\) y \(f(e_2)=f(0,1)=(1,0)\).

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Pregunta 5

Sea \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) con matriz

\[A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&0\end{pmatrix}.\]

¿Cuál(es) afirmación(es) son correctas?

\(\dim(\mathrm{Im}(f))=2\)

\(\dim(\ker(f))=1\)

\(\ker(f)=\{0\}\)

\(f\) es un isomorfismo

Enviar

Explicación breve: Rango 2 (dos pivotes), nulidad 1; no es invertible porque hay un 0 en la diagonal.

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Pregunta 6

En \(\mathbb{R}^3\), sea la base \(B=\{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\}\). ¿Cuáles son las coordenadas de \(v=(1,2,3)\) en la base \(B\)?

\(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\)

Explicación breve: Resolver \(a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(1,1,1)=(1,2,3)\) da \(c=3\), \(b=-1\), \(a=-1\).

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Pregunta 7

Sea \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) dada por \(f(x,y)=(x+y,y)\) y \(g(x,y)=(x, -y)\). ¿Cuál es \(g\circ f\)?

\((g\circ f)(x,y)=(x+y,y)\)

\((g\circ f)(x,y)=(x+y,-y)\)

\((g\circ f)(x,y)=(x,-y)\)

\((g\circ f)(x,y)=(x-y,-y)\)

Explicación breve: Primero \(f(x,y)=(x+y,y)\) y luego \(g(u,v)=(u,-v)\).

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Pregunta 8

Sea \(A\) la matriz de un endomorfismo en la base canónica y sea \(P\) la matriz cuyas columnas son los vectores de la nueva base expresados en la base canónica. ¿Cuál es la relación correcta entre \(A\) y la matriz \(A'\) en la nueva base?

\(A' = P A P^{-1}\)

\(A' = P^{-1} A P\)

\(A' = A P P^{-1}\)

\(A' = P^{-1} A P^{-1}\)

Explicación breve: La representación cambia por semejanza: \(A' = P^{-1}AP\).

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Pregunta 9

Sea \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) lineal con \(\dim(\ker(f))=2\). ¿Cuál(es) afirmación(es) son correctas?

\(\dim(\mathrm{Im}(f))=1\)

\(\dim(\mathrm{Im}(f))=2\)

\(f\) es inyectiva

\(f\) no puede ser isomorfismo

Enviar

Explicación breve: Rango-nulidad: \(\dim(\mathrm{Im})=3-2=1\); no es invertible.

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Pregunta 10

Sea \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) dada por \(f(x,y)=(2x,2y)\). ¿Cuál(es) afirmación(es) son verdaderas?

\(f\) es lineal

\(f\) es un isomorfismo

\(\ker(f)\) tiene dimensión 1

\(f\) no es sobreyectiva

Enviar

Explicación breve: Es multiplicación por 2 (matriz \(2I\)), invertible; núcleo trivial.

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Pregunta 11

¿Cuál es la definición correcta de la base dual \(B^*\) asociada a una base \(B=\{v_1,\dots,v_n\}\) de un espacio vectorial \(V\)?

El conjunto de vectores de \(V\) que son ortogonales a todos los \(v_i\).

El conjunto de funcionales lineales \(\{\varphi_1,\dots,\varphi_n\}\subset V^*\) tales que \(\varphi_i(v_j)=\delta_{ij}\).

El conjunto de transformaciones lineales de \(V\) en \(V\) que diagonalizan la matriz de la base.

La inversa de la matriz de cambio de base entre dos bases cualesquiera.

Explicación breve: La base dual está formada por los funcionales que evalúan a 1 en el vector correspondiente y a 0 en los demás.

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Pregunta 12

Sea \(B=\{(1,0),(1,1)\}\) base de \(\mathbb{R}^2\). ¿Cuál(es) función(es) lineal(es) forman la base dual \(B^*\) (es decir, qué funcionales \(\varphi_1,\varphi_2\in(\mathbb{R}^2)^*\) cumplen \(\varphi_i(v_j)=\delta_{ij}\))?

\(\varphi_1(x,y)=x,\quad \varphi_2(x,y)=y\)

\(\varphi_1(x,y)=x-y,\quad \varphi_2(x,y)=y\)

\(\varphi_1(x,y)=x+y,\quad \varphi_2(x,y)=x-y\)

\(\varphi_1(x,y)=2x-y,\quad \varphi_2(x,y)=x+y\)

Explicación breve: Resolver \(\varphi_1(1,0)=1,\;\varphi_1(1,1)=0\) da \(\varphi_1(x,y)=x-y\). Para \(\varphi_2\) se obtiene \(\varphi_2(x,y)=y\).

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Pregunta 13

Sea \(S=\langle(1,1,0)\rangle\subset\mathbb{R}^3\). ¿Cuál(es) afirmación(es) describen correctamente el anulador \(S^0\subset(\mathbb{R}^3)^*\)?

\(S^0\) es el conjunto de vectores de \(\mathbb{R}^3\) ortogonales a \((1,1,0)\).

\(S^0=\{\varphi\in(\mathbb{R}^3)^*:\;\varphi(1,1,0)=0\}\) (los funcionales que se anulan en \((1,1,0)\)).

En coordenadas, \(S^0\) está generado por las formas \(\{x-y,\;z\}\) (tiene dimensión 2).

\(S^0\) tiene dimensión 1 porque \(S\) es de dimensión 1.

Enviar

Explicación breve: Un funcional \(\varphi(x,y,z)=ax+by+cz\) anula a \((1,1,0)\) si \(a+b=0\), por tanto \(b=-a\) y \(c\) libre.

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Soluciones desarrolladas

Solución pregunta 1 — Núcleo de f

Resolver \(f(x,y,z)=(0,0)\):

\[\begin{cases}x+y=0\\y+z=0\end{cases}\]

De la primera \(x=-y\). De la segunda \(z=-y\). Tomando \(y=-t\) queda \((x,y,z)=(t,-t,t)=t(1,-1,1)\).

Solución pregunta 2 — Rango-nulidad

Las filas (y columnas 1 y 2) son proporcionales: segunda fila \(=2\cdot\) primera. Por tanto \(\mathrm{rg}(A)=1\).

\[\dim(\mathrm{Im})=\mathrm{rg}(A)=1,\qquad \dim(\ker)=3-\mathrm{rg}(A)=2.\]

Solución pregunta 3 — Inyectiva y sobreyectiva

En general, \(f\) es inyectiva si y sólo si \(\ker(f)=\{0\}\).

Si \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) es lineal, entonces por rango-nulidad:

\[\dim(\mathrm{Im})=3-\dim(\ker).\]

• Si \(f\) es inyectiva, \(\dim(\ker)=0\) y \(\dim(\mathrm{Im})=3\), luego es sobreyectiva.

Solución pregunta 4 — Matriz asociada

Con \(e_1=(1,0)\) y \(e_2=(0,1)\):

\[f(e_1)=f(1,0)=(0,-1),\qquad f(e_2)=f(0,1)=(1,0).\]

La matriz en la base canónica tiene esas imágenes como columnas:

\[[f]=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.\]

Solución pregunta 5 — Imagen y núcleo

La matriz \(A=\mathrm{diag}(1,2,0)\) tiene dos pivotes (en columnas 1 y 2) y una fila/columna asociada al 0.

• Rango \(=2\) ⇒ \(\dim(\mathrm{Im})=2\).
• Nulidad \(=3-2=1\) ⇒ \(\dim(\ker)=1\). No es isomorfismo porque \(\det(A)=0\).

Solución pregunta 6 — Coordenadas en base triangular

Queremos \(a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(1,1,1)=(1,2,3)\).

Por componentes:

\[\begin{cases}a+b+c=1\\b+c=2\\c=3\end{cases}\]

De \(c=3\). Luego \(b+3=2\Rightarrow b=-1\). Finalmente \(a-1+3=1\Rightarrow a=-1\).

Así \([v]_B=(-1,-1,3)^T\).

Solución pregunta 7 — Composición

\(f(x,y)=(x+y,y)\). Aplicamos \(g(u,v)=(u,-v)\):

\[(g\circ f)(x,y)=g(x+y,y)=(x+y,-y).\]

Solución pregunta 8 — Cambio de base

La relación entre matrices de la misma aplicación en dos bases es la semejanza:

\[A'=P^{-1}AP.\]

Solución pregunta 9 — Rango-nulidad

Si \(\dim(\ker(f))=2\) y el dominio es \(\mathbb{R}^3\), entonces

\[\dim(\mathrm{Im}(f))=3-2=1.\]

No puede ser isomorfismo porque para serlo necesitaría núcleo trivial.

Solución pregunta 10 — Homotecia

\(f(x,y)=(2x,2y)\) es lineal y su matriz es \(2I\).

\[\det(2I)=2^2=4\neq 0,\]

por tanto es invertible (isomorfismo), con núcleo trivial.

Solución pregunta 11 — Base dual (definición)

Sea \(B=\{v_1,\dots,v_n\}\) una base de \(V\). La base dual \(B^*=\{\varphi_1,\dots,\varphi_n\}\subset V^*\) está definida por

\[\varphi_i(v_j)=\delta_{ij},\quad 1\le i,j\le n.\]

Es decir, cada funcional lineal \(\varphi_i\) toma valor \(1\) en \(v_i\) y \(0\) en los demás vectores de la base.

Solución pregunta 12 — Base dual (ejemplo)

Para \(B=\{(1,0),(1,1)\}\) buscamos funcionales \(\varphi(x,y)=ax+by\) que cumplan

$\(\varphi_1(1,0)=1,\quad \varphi_1(1,1)=0;\)$ de donde \(a=1\) y \(a+b=0\Rightarrow b=-1\). Luego

\[\varphi_1(x,y)=x-y.\]

Para \(\varphi_2\):

$\(\varphi_2(1,0)=0,\quad \varphi_2(1,1)=1;\)$ esto da \(c=0\) y \(c+d=1\Rightarrow d=1\), es decir

\[\varphi_2(x,y)=y.\]

Por tanto \(B^*=\{x-y,\;y\}\).

Solución pregunta 13 — Anulador

Si \(S=\langle(1,1,0)\rangle\subset\mathbb{R}^3\), el anulador

\[S^0=\{\varphi\in(\mathbb{R}^3)^*:\;\varphi(1,1,0)=0\}\]

puede describirse en coordenadas: tomando \(\varphi(x,y,z)=ax+by+cz\), la condición

\[\varphi(1,1,0)=a+b=0\]

implica \(b=-a\) y \(c\) libre. Entonces

\[\varphi(x,y,z)=a(x-y)+c z,\]

y una base para \(S^0\) es por ejemplo \(\{x-y,\;z\}\) (dimensión 2).