Examen UD4 — Diagonalización

Duración estimada: 40 minutos. Lee con atención y marca la(s) respuesta(s) correcta(s). Algunas preguntas pueden tener más de una respuesta válida.

Instrucciones

• Responde marcando la opción correcta (a, b, c, d). Puede haber más de una correcta: marca todas las que correspondan.
• En las preguntas de cálculo se pide elegir la(s) opción(es) correcta(s); debajo de cada pregunta se incluye la solución desarrollada para estudiar.

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Pregunta 1

Sea \(A=\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}\). ¿Cuál(es) afirmación(es) es/son verdadera(s)?

Los autovalores son 2 y 5

\(A\) es diagonalizable

El único autovalor es 2

\(A\) no es diagonalizable

Enviar

Explicación breve: Matriz diagonal ⇒ autovalores en la diagonal; siempre diagonalizable.

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Pregunta 2

Sea \(B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\). Respecto al autovalor \(\lambda=1\), ¿cuál(es) afirmación(es) son verdaderas?

La multiplicidad algebraica es 2

La multiplicidad geométrica es 1

\(B\) es diagonalizable

El subespacio propio asociado tiene dimensión 2

Enviar

Explicación breve: \(p(x)=(1-x)^2\) y \(\dim\ker(B-I)=1\), luego no diagonaliza.

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Pregunta 3

Sea \(C=\begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&0\\0&0&2\end{pmatrix}\). ¿Cuál es el polinomio característico?

\((x-3)(x-2)\)

\((x-3)^3\)

\((x-3)^2(x-2)\)

\((x-2)^2(x-3)\)

Explicación breve: Matriz triangular ⇒ autovalores son los elementos diagonales con sus multiplicidades.

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Pregunta 4

Sea \(D=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\). ¿Cuál es una diagonal posible \(\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)\) al diagonalizarla?

\(\operatorname{diag}(2,2)\)

\(\operatorname{diag}(1,3)\)

\(\operatorname{diag}(-1,5)\)

\(\operatorname{diag}(0,4)\)

Explicación breve: Autovalores de \(\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}\) son \(a-b\) y \(a+b\); aquí 1 y 3.

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Pregunta 5

Sea \(E=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&1\end{pmatrix}\). ¿Cuál(es) afirmación(es) son correctas?

La multiplicidad algebraica de \(\lambda=4\) es 2

La dimensión del subespacio propio de \(\lambda=4\) es 2

La multiplicidad geométrica de \(\lambda=4\) es 1

\(E\) es diagonalizable

Enviar

Explicación breve: Es diagonal, el subespacio propio de 4 está generado por \(e_1,e_2\) (dim 2).

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Pregunta 6

Sea \(F=\begin{pmatrix}0&1\\-2&-3\end{pmatrix}\). ¿Cuál es el polinomio característico \(p(\lambda)=\det(F-\lambda I)\)?

\(\lambda^2+3\lambda-2\)

\(\lambda^2+3\lambda+2\)

\(\lambda^2-3\lambda+2\)

\(\lambda^2+2\lambda+3\)

Explicación breve: \(\det\begin{pmatrix}-\lambda&1\\-2&-3-\lambda\end{pmatrix}=\lambda(3+\lambda)+2=\lambda^2+3\lambda+2\).

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Pregunta 7

Para la matriz \(F=\begin{pmatrix}0&1\\-2&-3\end{pmatrix}\), ¿cuáles son sus autovalores?

\(\lambda=-1\) y \(\lambda=-2\)

\(\lambda=1\) y \(\lambda=2\)

\(\lambda=-1\) (doble)

\(\lambda=0\) y \(\lambda=-3\)

Explicación breve: Del polinomio \(\lambda^2+3\lambda+2=(\lambda+1)(\lambda+2)\).

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Pregunta 8

¿Cuál(es) afirmación(es) sobre diagonalización es/son verdadera(s)?

Si una matriz \(n\times n\) tiene \(n\) autovectores L.I., es diagonalizable

Si una matriz es diagonalizable, la suma de las dimensiones de sus subespacios propios es \(n\)

Si una matriz tiene un autovalor repetido entonces nunca es diagonalizable

Si una matriz es diagonalizable entonces necesariamente es simétrica

Enviar

Explicación breve: Diagonalización ⇔ base de autovectores; autovalor repetido puede diagonalizarse si hay suficientes autovectores.

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Pregunta 9

Sea \(G=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}\). Respecto al autovalor \(\lambda=2\): ¿cuál(es) afirmación(es) son verdaderas?

La multiplicidad algebraica es 3

La multiplicidad geométrica es 2

\(G\) no es diagonalizable

\(G\) es diagonalizable

Enviar

Explicación breve: \(p(x)=(2-x)^3\) y \(\dim\ker(G-2I)=2\), así \(d=2<3\) y no diagonaliza.

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Pregunta 10

Sea \(H=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}\). Respecto a \(\lambda=2\), ¿cuál(es) afirmación(es) son verdaderas?

La multiplicidad algebraica es 3

La multiplicidad geométrica es 1

\(H\) es diagonalizable

El subespacio propio asociado tiene dimensión 3

Enviar

Explicación breve: Es un bloque de Jordan de tamaño 3, así \(d=1<a=3\).

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Soluciones desarrolladas

Solución pregunta 1 — Matriz diagonal

Para una matriz diagonal, los autovalores son sus entradas diagonales. Así \(\lambda_1=2\) y \(\lambda_2=5\).

Además, ya está diagonalizada, luego es diagonalizable.

Solución pregunta 2 — No diagonalizable (Jordan 2x2)

\[B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\]

Es triangular, por tanto el autovalor es \(\lambda=1\) con multiplicidad algebraica 2.

\[B-I=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\]

Resolver \((B-I)v=0\) da \(y=0\) y \(x\) libre ⇒ \(\dim\ker(B-I)=1\).

Como \(d=1<a=2\), no es diagonalizable.

Solución pregunta 3 — Polinomio característico en triangular

Para matrices triangulares, el polinomio característico es

\[p(x)=\prod_i (x-a_{ii}).\]

Aquí la diagonal es \((3,3,2)\), luego

\[p(x)=(x-3)^2(x-2).\]

Solución pregunta 4 — Autovalores de matriz simétrica 2x2

Para \(D=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\):

\[\det(D-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda&1\\1&2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)^2-1.\]

Igualando a 0:

\[(2-\lambda)^2=1\Rightarrow 2-\lambda=\pm 1\Rightarrow \lambda=1,3.\]

Diagonal posible: \(\operatorname{diag}(1,3)\).

Solución pregunta 5 — Multiplicidades en diagonal

\(E\) es diagonal con diagonal \((4,4,1)\).

• Multiplicidad algebraica de \(4\) es 2.
• El subespacio propio asociado a \(4\) está generado por \(e_1,e_2\) ⇒ dimensión 2.
• Toda matriz diagonal es diagonalizable.

Solución pregunta 6 — Polinomio característico de F

\[F-\lambda I=\begin{pmatrix}-\lambda&1\\-2&-3-\lambda\end{pmatrix}.\]

\[p(\lambda)=\det(F-\lambda I)=(-\lambda)(-3-\lambda)-1\cdot(-2)=\lambda(3+\lambda)+2=\lambda^2+3\lambda+2.\]

Solución pregunta 7 — Autovalores de F

Factorizamos:

\[\lambda^2+3\lambda+2=(\lambda+1)(\lambda+2).\]

Por tanto, \(\lambda=-1\) y \(\lambda=-2\).

Solución pregunta 8 — Criterio de diagonalización

Una matriz es diagonalizable si y sólo si existe una base de autovectores (equivalentemente, si tiene \(n\) autovectores L.I.).

Si es diagonalizable, la suma de las dimensiones de los subespacios propios es \(n\) (forman una descomposición directa).

Un autovalor repetido no impide diagonalizar: lo impide que falten autovectores.

Solución pregunta 9 — Matriz con dos bloques

\[G=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}\]

Es triangular con diagonal \((2,2,2)\) ⇒ multiplicidad algebraica \(a=3\).

\[G-2I=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}.\]

Resolver \((G-2I)(x,y,z)^T=0\) impone \(z=0\) y deja \(x,y\) libres ⇒ \(\dim\ker(G-2I)=2\).

Como \(d=2<3\), no es diagonalizable.

Solución pregunta 10 — Bloque de Jordan 3x3

\[H=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}\]

Es triangular con diagonal \((2,2,2)\) ⇒ \(a=3\).

\[H-2I=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}.\]

Resolver \((H-2I)(x,y,z)^T=0\) impone \(y=0\) y \(z=0\), quedando \(x\) libre ⇒ \(d=1\).

Como \(d<a\), no es diagonalizable.