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Ejercicio 10 — Vector posición y desplazamiento

Enunciado

Un punto \(P\) se mueve desde \(A(1,-1,0)\) hasta \(B(3,2,4)\).

Pide:

  • a) Determine el vector desplazamiento \(\overrightarrow{AB}\).
  • b) Calcule su longitud.
  • c) Exprese el vector unitario de dirección del movimiento.

a) Vector desplazamiento \(\overrightarrow{AB}\)

  1. Recordatorio: para puntos \(A(x_1,y_1,z_1)\) y \(B(x_2,y_2,z_2)\),

    Formula
    \[ \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1) \]

  2. Sustituimos las coordenadas dadas:

    • \(A(1,-1,0)\) y \(B(3,2,4)\)

    • Calculamos coordenada a coordenada: $$ \overrightarrow{AB}=(3-1,\;2-(-1),\;4-0)=(2,\;3,\;4) $$

  3. Resultado apartado (a):

$$ \boxed{\displaystyle \overrightarrow{AB}=(2,3,4)} $$

b) Longitud del desplazamiento

  1. Definición: la norma (longitud) de un vector \(\mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z)\) viene dada por

    Formula
    \[ \|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} \]

  2. Aplicamos esto a \(\overrightarrow{AB}=(2,3,4)\):

    \[ \|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29} \]

  3. Resultado apartado (b):

    \[ \boxed{\displaystyle \|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{29}} \]

c) Vector unitario en la dirección del movimiento

  1. Definición: el vector unitario en la dirección de \(\mathbf{v}\) es

    Example
    \[ \hat{\mathbf{v}}=\frac{1}{\|\mathbf{v}\|}\mathbf{v} \]

  2. Sustituimos \(\mathbf{v}=\overrightarrow{AB}=(2,3,4)\) y su norma \(\sqrt{29}\):

    \[ \hat{u}=\frac{1}{\sqrt{29}}(2,3,4)=\left(\frac{2}{\sqrt{29}},\;\frac{3}{\sqrt{29}},\;\frac{4}{\sqrt{29}}\right) \]

  3. Resultado apartado (c):

    \[ \boxed{\displaystyle \hat{u}=\frac{1}{\sqrt{29}}(2,3,4)} \]

Comprobaciones y notas

  • Puedes comprobar que el vector unitario tiene norma 1: calcular la norma de \(\hat{u}\) y verificar que da 1 (por la propiedad de normalización).

$$ \left|\frac{1}{\sqrt{29}}(2,3,4)\right|=\frac{1}{\sqrt{29}}\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}=\boxed{1} $$

  • Interpretación geométrica: \(\overrightarrow{AB}\) indica cuánto se desplaza \(P\) en cada eje; el unitario da únicamente la dirección, sin información de magnitud.

Resumen (ficha rápida)

Apartado Resultado Forma utilizada
\(\overrightarrow{AB}\) \((2,3,4)\) Resta coordenada a coordenada: \((x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A)\)
Longitud \(\sqrt{29}\) Norma: \(\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\) (aquí \(v=(2,3,4)\))
Vector unitario \(\dfrac{1}{\sqrt{29}}(2,3,4)\) Normalización: \(\hat v=\dfrac{1}{\|v\|}v\)