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Ejercicio 2 — Operaciones entre vectores

Sean \(\mathbf{a}=(2,5,-3),\qquad \mathbf{b}=(-1,4,2).\)

a) Calcule \(\mathbf{a}+\mathbf{b}\) y \(\mathbf{a}-\mathbf{b}\).
b) Calcule el producto escalar \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\).
c) Determine el ángulo entre ambos vectores.

a) Calcule \(\mathbf{a}+\mathbf{b}\) y \(\mathbf{a}-\mathbf{b}\).

Suma => \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) = (2-1, 5+4, -3+2) = (1, 9, -1)

Resta => \(\vec{a}\) - \(\vec{b}\) = (2-(-1), 5-4, -3-2) = (3, 1, -5)

b) Calcule el producto escalar \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\).

El producto escalar (también conocido como producto punto o producto interno) es una operación matemática que toma dos vectores y devuelve un único número real, es decir, un escalar. El resultado de esta operación no es otro vector, sino un valor numérico.

Formula
\[ \mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=\sum_{i=1}^{n} v_{i}w_{i} \]

Producto => \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = (2(-1), 54, -3*2) = (-2, 20, -6) = -2 + 20 + (-6) = 12

Resultado = 12

c) Determine el ángulo entre ambos vectores.

Formula
\[ u \cdot v = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot cos(\hat{uv}) \]
  • donde \(\hat{uv}\) es el ángulo que forman los vectores \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\).
  • ||\(\vec{u}\)|| y ||\(\vec{v}\)|| son las magnitudes (módulos) de los vectores \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\).
\[ ||\vec{v}|| = \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} } v^2_i \]
\[ ||\vec{a}|| = \sqrt{2^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{38} \]
\[ ||\vec{b}|| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{21} \]
\[ a \cdot b = ||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}|| \cdot cos(\hat{uv}) \]
\[ 12 = \sqrt{38} \cdot \sqrt{21} \cdot cos(\hat{uv}) \]
\[ cos(\hat{uv}) = \frac{12}{\sqrt{38} $\cdot \sqrt{21}} = \frac{12}{\sqrt{798}} = 0,4248 \]
\[ \hat{uv} = arccos(0,4248) = 64,86º \]

El angulo resultante seria = 64,86º