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Ejercicio 3 — Producto vectorial

Con los mismos vectores del ejercicio anterior:

Sean \(\mathbf{a}=(2,5,-3),\qquad \mathbf{b}=(-1,4,2).\)

a) Calcule el producto vectorial \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\).
b) Verifique que el resultado es perpendicular a ambos vectores.
c) Determine el área del paralelogramo definido por \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\) (módulo del producto vectorial).

a) Calcule el producto vectorial \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\).

Formula
\[ \vec{A}\times\vec{B}= \left| \begin{matrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{matrix} \right| = (A_yB_z - A_zB_y)\,\hat{\imath} - (A_xB_z - A_zB_x)\,\hat{\jmath} + (A_xB_y - A_yB_x)\,\hat{k} \]
\[ \vec{a}\times\vec{b}= \left| \begin{matrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ 2 & 5 & -3 \\ -1 & 4 & 2 \end{matrix} \right| = (5\cdot2 - (-3)\cdot4)\,\hat{\imath} - (2\cdot2 - (-3)\cdot(-1))\,\hat{\jmath} + (2\cdot4 - 5\cdot(-1))\,\hat{k} \]

Calculando:

\[ \vec{a}\times\vec{b} = (22,\,-1,\,13). \]

Resultado final: \(\mathbf{a}\times\mathbf{b} = (22, -1, 13)\).

b) Verifique que el resultado es perpendicular a ambos vectores.

Para comprobar que un vector \(\mathbf{c}\) es perpendicular a otro vector \(\mathbf{u}\) basta calcular su producto escalar \(\mathbf{c}\cdot\mathbf{u}\); si el resultado es 0 entonces son perpendiculares (forman \(90^\circ\)). En coordenadas:

Formula
\[ \mathbf{c}\cdot\mathbf{u}=\sum_{i=1}^n c_i u_i. \]

En nuestro caso \(\mathbf{c}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(22,-1,13)\). Calculamos los productos escalares con \(\mathbf{a}\) y con \(\mathbf{b}\):

Con \(\mathbf{a}=(2,5,-3)\):

\[ c \cdot a = (22,-1,13)\cdot(2,5,-3) = 22\cdot2 + (-1)\cdot5 + 13\cdot(-3) = 44 -5 -39 = 0. \]

Con \(\mathbf{b}=(-1,4,2)\):

\[ c \cdot b = (22,-1,13)\cdot(-1,4,2) = 22\cdot(-1) + (-1)\cdot4 + 13\cdot2 = -22 -4 +26 = 0. \]

Como ambos productos escalares son cero, el vector \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\) es perpendicular a \(\mathbf{a}\) y a \(\mathbf{b}\).

Nota

El vector cero también da producto escalar cero con cualquier vector, pero en ese caso el ángulo no está definido; aquí el producto vectorial no es el vector cero, así que la condición implica perpendicularidad genuina.

c) Determine el área del paralelogramo definido por \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\) (módulo del producto vectorial).

La forma más directa de obtener el área del paralelogramo determinado por \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\) es tomar la norma del producto vectorial:

Formula
\[ ext{Área} = \|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|. \]

Si \(\mathbf{c}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(c_1,c_2,c_3)\) entonces

\[ \|\mathbf{c}\| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2}. \]

En el apartado (a) obtuvimos \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(22,-1,13)\). Calculamos la norma:

\[ \|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\| = \sqrt{22^2 + (-1)^2 + 13^2} = \sqrt{484 + 1 + 169} = \sqrt{654}. \]

Valor numérico aproximado:

\[ \sqrt{654} \approx 25.5779. \]

Por tanto el área del paralelogramo formado por \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\) es \(\sqrt{654}\approx 25.5779\) unidades cuadradas.

Nota

Alternativamente se puede usar \(\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\,|\sin\theta|\), donde \(\theta\) es el ángulo entre \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\); ambas expresiones coincidirán.