Ejercicio 4 — Combinaciones lineales
Dado \(\mathbf{u}_1=(1,2,0),\;\mathbf{u}_2=(-1,1,1),\;\mathbf{w}=(3,5,1).\)
a) Compruebe si \(\mathbf{w}\) se puede expresar como combinación lineal de \(\mathbf{u}_1\) y \(\mathbf{u}_2\).
b) Si es posible, determine los escalares \(\alpha,\beta\) tales que \(\mathbf{w}=\alpha\mathbf{u}_1+\beta\mathbf{u}_2\).
a) Compruebe si \(\mathbf{w}\) se puede expresar como combinación lineal de \(\mathbf{u}_1\) y \(\mathbf{u}_2\).
Una combinación lineal de vectores es una suma de esos vectores multiplicados por escalares. Decimos que
si existen números reales \(\alpha,\beta\) que, al multiplicar cada vector y sumar componente a componente, dan \(\mathbf{w}\).
¿Para qué sirve esto? Comprobar si \(\mathbf{w}\) es una combinación lineal de \(\mathbf{u}\_1,\mathbf{u}\_2\) equivale a preguntar si \(\mathbf{w}\) pertenece al subespacio generado por \(\mathbf{u}\_1\) y \(\mathbf{u}\_2\) (llamado el "span"). En \(\mathbb{R}^3\), dos vectores no colineales generan un plano: si \(\mathbf{w}\) está en ese plano, podremos escribirlo como combinación lineal; si no, no será posible.
Método práctico: escribimos la igualdad por componentes y obtenemos un sistema lineal para \(\alpha\) y \(\beta\). Resolver ese sistema nos dice si hay solución (y cuáles son los escalares). Si el sistema es inconsistente, entonces \(\mathbf{w}\) no está en el span de \(\mathbf{u}\_1,\mathbf{u}\_2\).
En el ejercicio aplicaremos exactamente ese procedimiento: plantear el sistema por componentes, resolver (o ver la inconsistencia) y dar la interpretación geométrica.
Queremos ver si existen escalares \(\alpha,\beta\) tales que
Planteando por componentes obtenemos el sistema:
\begin{aligned} \alpha - \beta &= 3 \quad &&(x) \\ 2\alpha + \beta &= 5 \quad &&(y) \\ 0\alpha + \beta &= 1 \quad &&(z) \end{aligned}
Del componente \(z\) se obtiene directamente \(\beta=1\). Sustituyendo en (x) y (y):
- De (x): \(\alpha - 1 = 3 \Rightarrow \alpha = 4\).
- De (y): \(2\alpha + 1 = 5 \Rightarrow 2\alpha = 4 \Rightarrow \alpha = 2\).
Obtenemos dos valores distintos para \(\alpha\) (4 y 2), por lo que el sistema es inconsistente.
Conclusión: no existen escalares \(\alpha,\beta\) que satisfagan simultáneamente las tres componentes. Por tanto, \(\mathbf{w}\) NO puede expresarse como combinación lineal de \(\mathbf{u}\_1\) y \(\mathbf{u}\_2\).
b) Si es posible, determine los escalares \(\alpha,\beta\) tales que \(\mathbf{w}=\alpha\mathbf{u}_1+\beta\mathbf{u}_2\).
Propondré ahora un vector \(\mathbf{w}\) que SÍ pertenezca al span de \(\mathbf{u}_1\) y \(\mathbf{u}_2\), y resolveré el apartado (b) paso a paso.
Elija--mos una combinación sencilla: tomemos \(\alpha=1\), \(\beta=1\). Entonces
Trabajaremos con este \(\mathbf{w}=(0,3,1)\) y ahora resolveremos para \(\alpha,\beta\) partiendo de la igualdad
Planteando por componentes obtenemos el sistema:
Resolución (explicada):
- Del componente (z) obtenemos inmediatamente \(\beta=1\). Este es el paso directo y rápido: fíjate que sólo la tercera coordenada contiene \(\beta\).
- Sustituimos \(\beta=1\) en la ecuación (x):
\(\alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1.\)
- Comprobamos en (y):
\(2\cdot1 + 1 = 2 + 1 = 3,\)
que coincide con el lado derecho, por tanto las soluciones son consistentes.
Conclusión: para \(\mathbf{w}=(0,3,1)\) los escalares son
Verificación final: sustituyendo en la combinación
Nota
Cuando veas un problema así, intenta primero si puedes adivinar escalares sencillos (0,±1,2, etc.) porque a menudo el enunciado permite escoger ejemplos simples para ilustrar el método. Si el problema pide comprobar existencia para un \(\mathbf{w}\) dado, sigue el mismo procedimiento pero resolviendo el sistema general; si pide encontrar \(\alpha,\beta\) muestra la verificación final (como hemos hecho).