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Ejercicio 6 — Ecuaciones vectoriales

Considere la recta \(r\) definida por: \(\mathbf{x} = (1,2,0) + t(3,-1,2).\)

a) Determine un punto perteneciente a \(r\) para \(t=2\).
b) Calcule la dirección de la recta.
c) Encuentre la intersección con el plano \(z=4\).

a) Punto en \(r\) para \(t=2\)

Sustituimos \(t=2\) en la expresión paramétrica:

\[ \mathbf{x}(2) = (1,2,0) + 2(3,-1,2) = (1+6,\;2-2,\;0+4) = (7,0,4). \]

Por tanto un punto de la recta para \(t=2\) es \(\boxed{(7,0,4)}\).

b) Dirección de la recta

El vector de dirección es el que multiplica al parámetro \(t\) en la ecuación:

\[ \boxed{\mathbf{d} = (3,-1,2)}. \]

Si se desea el vector unitario (normalizado):

\[ \|\mathbf{d}\| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{14}, \]
\[ \hat{\mathbf{d}} = \frac{1}{\sqrt{14}}(3,-1,2) \approx (0.8018,-0.2673,0.5345). \]

c) Intersección con el plano \(z=4\)

La intersección entre una recta y un plano es el conjunto de puntos que pertenecen a ambos simultáneamente; geométricamente es donde la recta «atraviesa» el plano.

En este ejercicio la recta está dada en forma paramétrica

Example
\[ \mathbf{x}(t)=\mathbf{p}+t\mathbf{d}, \]

donde

\(\mathbf{p}=(1,2,0)\) es un punto de la recta y \(\mathbf{d}=(3,-1,2)\) su vector de dirección. El plano que nos dan es el plano horizontal

\[ z=4. \]

Fórmula general para encontrar la intersección (paso a paso):

  1. Escribir la componente \(z\) de la recta en función del parámetro \(t\). Si \(\mathbf{p}=(p_x,p_y,p_z)\) y \(\mathbf{d}=(d_x,d_y,d_z)\), entonces

$$ z(t)=p_z+t\,d_z. $$

  1. Igualar la componente \(z(t)\) a la ecuación del plano (aquí \(z=4\)) y resolver para \(t\):

$$ p_z+t\,d_z=4 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{4-p_z}{d_z}, $$

siempre que \(d_z\neq 0\).

  1. Sustituir el valor de \(t\) obtenido en la expresión paramétrica \(\mathbf{x}(t)\) para hallar el punto de intersección \((x,y,4)\).
Importante!

Casos especiales a tener en cuenta:

  • Si \(d_z\neq 0\) hay una única solución para \(t\) y por tanto la recta corta al plano en un único punto.
  • Si \(d_z=0\) y \(p_z\neq 4\), entonces la recta es paralela al plano y no lo corta (no hay intersección).
  • Si \(d_z=0\) y \(p_z=4\), entonces toda la recta está contenida en el plano (infinitos puntos de intersección).

Aplicando estos pasos al ejercicio:

  • La componente \(z\) de la recta es

  • Los vectores que usamos (punto y dirección) son:

  • \(\mathbf{p}=(1,2,0)\). Aquí la componente \(z\) es \(p_z=0\).

  • \(\mathbf{d}=(3,-1,2)\). Aquí la componente \(z\) es \(d_z=2\).

Es importante fijarse en la componente vertical (z) del vector punto y del vector dirección porque el plano que estudiamos es horizontal (\(z=4\)). Ahora escribimos la componente \(z\) de la recta y la sustituimos paso a paso en líneas separadas:

\[ z(t)=p_z+t\,d_z \]

Sustituyendo las componentes por separado:

\[ z(t)=\underbrace{p_z}_{\mathrm{0}}+t\underbrace{d_z}_{\mathrm{2}} \]

Ahora, haciendo explícita la sustitución numérica en dos líneas separadas:

\[ z(t)=0+t\cdot 2 \]
\[ z(t)=2t \]
  • Igualamos a 4 y resolvemos para \(t\):

$$ 2t=4\quad\Rightarrow\quad t=\frac{4}{2}\quad\Rightarrow\quad t=2. $$

  • Sustituimos \(t=2\) en la expresión de la recta para obtener el punto de intersección:

$$ \mathbf{x}(2)=(1,2,0)+2(3,-1,2)=\boxed{(7,0,4)}. $$

Conclusión: la recta corta al plano \(z=4\) en el punto \((7,0,4)\). Como la componente \(d_z=2\) es distinta de cero, se trata del caso estándar de intersección única.

Resumen (ficha rápida)

Apartado Resultado Forma utilizada
a) Punto para \(t=2\) \(\mathbf{x}(2)=(7,0,4)\) Sustitución paramétrica: \(\mathbf{x}(t)=\mathbf{p}+t\mathbf{d}\); evaluación en \(t=2\) (cálculo por componentes).
b) Dirección de la recta \(\mathbf{d}=(3,-1,2)\) (unitario \(\dfrac{1}{\sqrt{14}}(3,-1,2)\)) Extracción del vector dirección desde la forma paramétrica; normalización: \(\hat{\mathbf{d}}=\dfrac{\mathbf{d}}{\|\mathbf{d}\|}\) con \(\|\mathbf{d}\|=\sqrt{14}\).
c) Intersección con \(z=4\) \(\mathbf{x}=(7,0,4)\) Igualar \(z(t)=p_z+t\,d_z\) a \(4\), resolver \(t=\dfrac{4-p_z}{d_z}\) y sustituir en \(\mathbf{x}(t)\) (resolución de la ecuación lineal en \(t\)).