Ejercicio 7 — Proyecciones

Sean \(\mathbf{a}=(4,2,-1),\;\mathbf{b}=(1,0,1).\)

a) Calcule la proyección de \(\mathbf{a}\) sobre \(\mathbf{b}\).
b) Determine la componente de \(\mathbf{a}\) perpendicular a \(\mathbf{b}\).

La proyección de un vector sobre otro es la componente de uno que queda "sobre" la dirección del otro —es decir, cuánto de (\(\mathbf{a}\)) apunta en la dirección de (\(\mathbf{b}\)). Es útil para extraer la parte paralela a una dirección (por ejemplo en mínimos cuadrados, sombras geométricas o descomposición de fuerzas).

La componente perpendicular (residuo) es la parte de (\(\mathbf{a}\)) que queda ortogonal a (\(\mathbf{b}\)); sirve para medir el error ortogonal, para separar información paralela y ortogonal en análisis y para formular problemas de aproximación.

a) Proyección de \(\mathbf{a}\) sobre \(\mathbf{b}\)

Fórmula

\[ \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}(\mathbf{a}) = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}\,\mathbf{b}. \]

Cálculos:

Por tanto

\[ \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}(\mathbf{a}) = \frac{3}{2}(1,0,1) = \left(\tfrac{3}{2},0,\tfrac{3}{2}\right). \]

b) Componente perpendicular de \(\mathbf{a}\) respecto a \(\mathbf{b}\)

Example

\[ \operatorname{ort}_{\mathbf{b}}(\mathbf{a}) = \mathbf{a} - \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}(\mathbf{a}). \]

Cálculo:

\[ \mathbf{a} - \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}(\mathbf{a}) = (4,2,-1) - \left(\tfrac{3}{2},0,\tfrac{3}{2}\right) = \left(\tfrac{5}{2},2,-\tfrac{5}{2}\right). \]

Verificación:

\[ \left(\tfrac{5}{2},2,-\tfrac{5}{2}\right)\cdot(1,0,1) = \tfrac{5}{2} - \tfrac{5}{2} = 0, \]

así que la componente calculada es efectivamente perpendicular a \(\mathbf{b}\).

Aplicaciones en Machine Learning / Deep Learning

Breve contexto aplicado: en IA y ML la proyección y su residuo son herramientas prácticas. Algunos usos concretos y por qué importan:

Mínimos cuadrados y regresión lineal: ajustar un modelo lineal equivale a proyectar el vector de observaciones sobre el subespacio generado por las columnas de la matriz de diseño; el residuo es el error (lo que el modelo no explica).
Reducción de dimensión (PCA / SVD): PCA proyecta datos sobre direcciones (componentes) que capturan máxima varianza; las proyecciones retienen la señal principal y el residuo contiene variación menos relevante (o ruido), lo que ayuda a acelerar modelos y reducir overfitting.
Preprocesado y eliminación de multicolinealidad: detectar y eliminar o combinar características linealmente dependientes mejora la estabilidad numérica de entrenamientos (evita matrices singulares o mal condicionadas) y ayuda a interpretar coeficientes en modelos lineales.
Embeddings y aproximaciones de baja dimensión: técnicas de factorización (SVD, autoencoders) trabajan proyectando alta dimensionalidad a espacios latentes de menor dimensión; la idea constructiva es la misma —representar señales mediante proyecciones sobre subespacios relevantes.

Consejo práctico: para datos reales usa SVD para inspeccionar valores singulares (direcciones significativas) y verifica el tamaño del residuo; si el residuo es pequeño respecto a la proyección, una representación de menor dimensión suele ser suficiente.