Ejercicio 8 — Planos en el espacio

El plano \(\pi\) está definido por la ecuación: \(2x-y+3z=6.\)

a) Determine un vector normal al plano.
b) Compruebe si el punto \(P(3,0,0)\) pertenece al plano.
c) Calcule la distancia del punto \(Q(1,2,1)\) al plano \(\pi\).

Solución (explicada paso a paso)

Antes de empezar: la ecuación de un plano en la forma

Example

\[ ax + by + cz = d \]

tiene como vector normal (perpendicular al plano) al vector \(\mathbf{n}=(a,b,c)\). Con esto en mente, resolvemos los apartados.

a) Vector normal

Comparando con \(2x - y + 3z = 6\) se identifican los coeficientes \(a=2\), \(b=-1\), \(c=3\). Por tanto un vector normal es

\[ \boxed{\mathbf{n} = (2,-1,3).} \]

Breve comentario: cualquier múltiplo escalar de \(\mathbf{n}\) también es normal al plano (p. ej. \(2\mathbf{n}=(4,-2,6)\)), porque la dirección perpendicular es la misma.

b) ¿Pertenece \(P(3,0,0)\) al plano?

Para comprobar pertenencia sustituimos las coordenadas de \(P\) en la ecuación del plano:

\[ 2\cdot3 - (0) + 3\cdot0 = 6 - 0 + 0 = 6. \]

Como el resultado coincide con el lado derecho (6), concluimos que \(P\) satisface la ecuación, por tanto

\[\boxed{P(3,0,0)\;\text{pertenece al plano }\pi.}\]

c) Distancia del punto \(Q(1,2,1)\) al plano

Fórmula (recordar): la distancia de un punto \(Q=(x_0,y_0,z_0)\) al plano \(ax+by+cz=d\) es

Example

\[ \operatorname{dist}(Q,\pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \]

Aplicamos con \(a=2,b=-1,c=3,d=6\) y \(Q=(1,2,1)\):

Numerador:

\[ |2\cdot1 + (-1)\cdot2 + 3\cdot1 - 6| = |2 -2 +3 -6| = | -3 | = 3. \]

Denominador:

\[ \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}. \]

Por tanto

\[ \operatorname{dist}(Q,\pi) = \frac{3}{\sqrt{14}} \approx 0.8018. \]

Respuesta final:

\[\boxed{\operatorname{dist}(Q,\pi)=\dfrac{3}{\sqrt{14}}\approx0.8018.}\]

Pequeña interpretación: la distancia es la longitud del segmento perpendicular al plano que une al punto con su proyección ortogonal sobre el plano.

Resumen (ficha rápida)

Apartado	Resultado	Forma utilizada
Vector normal	\((2,-1,3)\)	Coeficientes \((a,b,c)\) extraídos de la ecuación \(ax+by+cz=d\).
P pertenece?	\(P(3,0,0)\) pertenece a \(\,\pi\)	Sustituir \(P\) en \(2x-y+3z\) y comprobar igualdad con \(6\).
Distancia de \(Q\)	\(\dfrac{3}{\sqrt{14}}\approx0.8018\)	Fórmula: \(\operatorname{dist}(Q,\pi)=\dfrac{ \\|ax_0+by_0+cz_0-d\\|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).