Ejercicio 9 — Aplicación geométrica

Tres vértices de un triángulo son $A(1,0,0)$, $B(2,1,1)$ y $C(0,2,1)$.

a) Determine los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$.
b) Calcule el área del triángulo $ABC$.
c) Halle un vector perpendicular al plano del triángulo.

a) Vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$

Regla: si $P(x_1,y_1,z_1)$ y $Q(x_2,y_2,z_2)$, entonces

Formula

\[ \overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1). \]

Aplicando esto a los puntos dados:

$A(1,0,0),\;B(2,1,1)$

$$ \overrightarrow{AB}=(2-1,\;1-0,\;1-0)=(1,1,1). $$

$A(1,0,0),\;C(0,2,1)$

$$ \overrightarrow{AC}=(0-1,\;2-0,\;1-0)=(-1,2,1). $$

\[ \boxed{\overrightarrow{AB}=(1,1,1),\qquad \overrightarrow{AC}=(-1,2,1)} \]

b) Área del triángulo $ABC$

Idea geométrica (admitida): el área del triángulo formado por dos vectores que parten del mismo vértice es la mitad del módulo del producto vectorial de dichos vectores. Es decir,

Formula

\[\text{Área}(\triangle)=\tfrac{1}{2}\,\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|.\]

Cálculo del producto vectorial

Usamos la expresión en determinante con la base canónica $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$:

\[ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix}. \]

Calculamos componente a componente (explicando por qué se restan los productos cruzados):

Componente en $\mathbf{i}$: $(1)(1)-(1)(2)=1-2=-1$.
Componente en $\mathbf{j}$: $(1)(1)-(1)(-1)=1-(-1)=2$, y recordando la alternancia de signos en la expansión por cofactores, la componente en $\mathbf{j}$ queda con signo negativo: $-2$.
Componente en $\mathbf{k}$: $(1)(2)-(1)(-1)=2-(-1)=3$

Por tanto:

\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-1,-2,3).\]

Comprobación de perpendicularidad

Comprobamos que el vector obtenido es ortogonal a ambos vectores (producto escalar = 0):

$(-1,-2,3)\cdot(1,1,1)=-1-2+3=0$.
$(-1,-2,3)\cdot(-1,2,1)=1-4+3=0$.

Ambos cero ⇒ perpendicularidad verificada.

Norma y área

Norma del vector:

\[\|(-1,-2,3)\|=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+3^2}=\sqrt{14}.\]

Área del triángulo:

\[\boxed{\text{Área}(ABC)=\dfrac{\sqrt{14}}{2}}.\]

c) Vector perpendicular al plano del triángulo

El vector normal al plano lo obtenemos directamente con el producto vectorial anterior. Por tanto:

\[\boxed{\mathbf{n}=(-1,-2,3)}\]

Si se quiere normalizar (vector unitario):

\[\displaystyle \hat{\mathbf{n}}=\frac{1}{\sqrt{14}}(-1,-2,3).\]

Nota de estudio

El signo del vector normal depende del orden de los vectores en el producto cruzado: $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ y $\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB}$ son opuestos.

Resumen (ficha rápida)

Cantidad	Resultado	Forma utilizada
$\overrightarrow{AB}$	$(1,1,1)$	$(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A)$
$\overrightarrow{AC}$	$(-1,2,1)$	$(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A)$
Área $\triangle ABC$	$\dfrac{\sqrt{14}}{2}$	$\tfrac{1}{2}\,\\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\\|$ (producto vectorial)
Vector normal	$(-1,-2,3)$	Producto vectorial $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ (normal al plano)

Cantidad	Resultado	Forma utilizada
\(\overrightarrow{AB}\)	\((1,1,1)\)	\((x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A)\)
\(\overrightarrow{AC}\)	\((-1,2,1)\)	\((x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A)\)
Área \(\triangle ABC\)	\(\dfrac{\sqrt{14}}{2}\)	\(\tfrac{1}{2}\,\\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\\|\) (producto vectorial)
Vector normal	\((-1,-2,3)\)	Producto vectorial \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\) (normal al plano)