📝 Ejercicios Prácticos
✏️ Ejercicios — UD1: Introducción a Vectores
Profesor: Carlos Lastras
Grado en Computación e Inteligencia Artificial
Objetivo: Resolver ejercicios básicos sobre vectores (módulo, suma, producto escalar y vectorial, proyecciones y aplicaciones geométricas). Cada ejercicio incluye un bloque de solución colapsable.
Ejercicio 1 — Conceptos básicos
Dado el vector \(\mathbf{v} = (3, -2, 4).\)
a) Calcule su módulo \(\|\mathbf{v}\|\).
b) Determine el vector unitario \(\hat{\mathbf{v}}\).
c) Encuentre el vector opuesto \(-\mathbf{v}\).
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Solución (esbozo): 1. $$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{29}.$$ 2. $$\hat{\mathbf{v}} = \dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} = \left(\dfrac{3}{\sqrt{29}},\;\dfrac{-2}{\sqrt{29}},\;\dfrac{4}{\sqrt{29}}\right).$$ 3. $$-\mathbf{v} = (-3,2,-4).$$Ejercicio 2 — Operaciones entre vectores
Sean $\(\mathbf{a}=(2,5,-3),\qquad \mathbf{b}=(-1,4,2).\)$
a) Calcule \(\mathbf{a}+\mathbf{b}\) y \(\mathbf{a}-\mathbf{b}\).
b) Calcule el producto escalar \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\).
c) Determine el ángulo entre ambos vectores.
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Esbozo de solución: operamos componente a componente, luego usamos $$\cos\theta = \dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|}.$$Ejercicio 3 — Producto vectorial
Con los mismos vectores del ejercicio anterior:
a) Calcule el producto vectorial \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\).
b) Verifique que el resultado es perpendicular a ambos vectores.
c) Determine el área del paralelogramo definido por \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\) (módulo del producto vectorial).
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Recordar: $\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|$ es el área del paralelogramo.Ejercicio 4 — Combinaciones lineales
Dado $\(\mathbf{u}_1=(1,2,0),\;\mathbf{u}_2=(-1,1,1),\;\mathbf{w}=(3,5,1).\)$
a) Compruebe si \(\mathbf{w}\) se puede expresar como combinación lineal de \(\mathbf{u}_1\) y \(\mathbf{u}_2\).
b) Si es posible, determine los escalares \(\alpha,\beta\) tales que \(\mathbf{w}=\alpha\mathbf{u}_1+\beta\mathbf{u}_2\).
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Plantear el sistema y resolver (matriz 3×2 ampliada o resolver por componentes).Ejercicio 5 — Dependencia lineal
Considere $\(\mathbf{v}_1=(1,0,2),\;\mathbf{v}_2=(2,1,3),\;\mathbf{v}_3=(3,1,5).\)$
a) Determine si el conjunto \(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\) es linealmente dependiente o independiente.
b) Justifique su respuesta usando determinantes o reducción por filas.
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Comprobar si el determinante de la matriz formada por las columnas (o filas) es cero.Ejercicio 6 — Ecuaciones vectoriales
Considere la recta \(r\) definida por: $\(\mathbf{x} = (1,2,0) + t(3,-1,2).\)$
a) Determine un punto perteneciente a \(r\) para \(t=2\).
b) Calcule la dirección de la recta.
c) Encuentre la intersección con el plano \(z=4\).
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Evaluar $t=2$ en la ecuación, etc.Ejercicio 7 — Proyecciones
Sean $\(\mathbf{a}=(4,2,-1),\;\mathbf{b}=(1,0,1).\)$
a) Calcule la proyección de \(\mathbf{a}\) sobre \(\mathbf{b}\).
b) Determine la componente de \(\mathbf{a}\) perpendicular a \(\mathbf{b}\).
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Usar $$\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}(\mathbf{a})=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}\,\mathbf{b}$$Ejercicio 8 — Planos en el espacio
El plano \(\pi\) está definido por la ecuación: $\(2x-y+3z=6.\)$
a) Determine un vector normal al plano.
b) Compruebe si el punto \(P(3,0,0)\) pertenece al plano.
c) Calcule la distancia del punto \(Q(1,2,1)\) al plano \(\pi\).
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Vector normal $\mathbf{n}=(2,-1,3)$. Sustituir coordenadas para comprobar pertenencia. Fórmula de distancia desde un punto a un plano.Ejercicio 9 — Aplicación geométrica
Tres vértices de un triángulo son \(A(1,0,0)\), \(B(2,1,1)\) y \(C(0,2,1)\).
a) Determine los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{AC}\).
b) Calcule el área del triángulo \(ABC\).
c) Halle un vector perpendicular al plano del triángulo.
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Usar diferencias de coordenadas y producto vectorial para área y normal.Ejercicio 10 — Vector posición y desplazamiento
Un punto \(P\) se mueve desde \(A(1,-1,0)\) hasta \(B(3,2,4)\).
a) Determine el vector desplazamiento \(\overrightarrow{AB}\).
b) Calcule su longitud.
c) Exprese el vector unitario de dirección del movimiento.