Resumen Visual — UD1: Fundamentos de Vectores

🎯 Objetivo de la Unidad

Dominar las operaciones básicas con vectores en \(\mathbb{R}^3\): suma, resta, productos (escalar y vectorial), y aplicaciones geométricas fundamentales.

📊 Mapa Conceptual

graph LR

    B --> B1[Suma/Resta]
    B --> B2[Multiplicación por Escalar]
    B --> B3[Módulo/Norma]

    C --> C1[Producto Escalar]
    C --> C2[Producto Vectorial]

    C1 --> C1A[Ángulo entre vectores]
    C1 --> C1B[Proyección]
    C1 --> C1C[Perpendicularidad]

    C2 --> C2A[Vector perpendicular]
    C2 --> C2B[Área de paralelogramo]
    C2 --> C2C[Normal al plano]

    D --> D1[Ecuación de recta paramétrica]
    D --> D2[Intersección recta-plano]
    D --> D3[Distancias]

📐 Fórmulas Clave

Operaciones Básicas

| Operación | Fórmula | Ejemplo | | ----------- | ------------------------------------------------------------- | ----------------------------- | -------------------------------- | --- | --------- | -------------------- | | Suma | \((a_1,a_2,a_3) + (b_1,b_2,b_3) = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3)\) | \((1,2,3) + (4,5,6) = (5,7,9)\) | | Resta | \((a_1,a_2,a_3) - (b_1,b_2,b_3) = (a_1-b_1, a_2-b_2, a_3-b_3)\) | \((4,5,6) - (1,2,3) = (3,3,3)\) | | Escalar | \(k(a_1,a_2,a_3) = (ka_1, ka_2, ka_3)\) | \(2(1,2,3) = (2,4,6)\) | | Módulo | \(\\ | \\mathbf{v}\\ | = \\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\) | \(\\ | (1,2,2)\\ | = \\sqrt{1+4+4} = 3\) |

Producto Escalar

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 = \\|\mathbf{u}\\| \\|\mathbf{v}\\| \cos\theta \]

Propiedades clave:

Si \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0\) → vectores perpendiculares
\(\cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\\|\mathbf{u}\\| \\|\mathbf{v}\\|}\)

Producto Vectorial

\[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} \]

Propiedades clave:

\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) es perpendicular a ambos vectores
\(\\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\\|\) = área del paralelogramo formado por \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\)
Área del triángulo = \(\frac{1}{2}\\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\\|\)

🔄 Árbol de Decisión: ¿Qué Producto Usar?

graph TD
    A{¿Qué necesito calcular?} --> B[Ángulo entre vectores]
    A --> C[Vector perpendicular]
    A --> D[Área]
    A --> E[Proyección]
    A --> F[Comprobar perpendicularidad]

    B --> B1["Producto Escalar<br/>cosθ = u·v / |u| |v|"]
    C --> C1["Producto Vectorial<br/>n = u × v"]
    D --> D1["Producto Vectorial<br/>Área = |u × v|"]
    E --> E1["Producto Escalar<br/>proy = u·v / |v|²"]
    F --> F1["Producto Escalar<br/>u·v = 0 ?"]

✅ Checklist de Verificación

Al resolver ejercicios con vectores:

[ ] ¿Las coordenadas están en el orden correcto \((x, y, z)\)?
[ ] ¿He verificado las unidades y el contexto del problema?
[ ] ¿El resultado del producto vectorial es perpendicular a ambos vectores originales?
[ ] ¿El módulo calculado tiene sentido geométrico?
[ ] ¿He comprobado casos especiales (vectores paralelos, perpendiculares)?

🎓 Aplicaciones Geométricas

Recta Paramétrica

\[ \mathbf{r}(t) = \mathbf{p} + t\mathbf{d} \]

\(\mathbf{p}\): punto de la recta
\(\mathbf{d}\): vector dirección
\(t \in \mathbb{R}\): parámetro

Intersección Recta-Plano

Para plano \(z = c\) y recta \(\mathbf{r}(t) = (p_x + td_x, p_y + td_y, p_z + td_z)\):

Igualar componente \(z\): \(p_z + td_z = c\)
Resolver para \(t\): \(t = \frac{c - p_z}{d_z}\)
Sustituir \(t\) en la ecuación de la recta

🧮 Ejemplo Integrador

Problema: Dados tres puntos \(A(1,0,0)\), \(B(2,1,1)\), \(C(0,2,1)\):

graph LR
    A[Paso 1:<br/>Vectores] --> B[Paso 2:<br/>Producto Vectorial]
    B --> C[Paso 3:<br/>Área del Triángulo]
    C --> D[Paso 4:<br/>Vector Normal]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#e1ffe1
    style D fill:#fff5e1

Vectores: \(\overrightarrow{AB} = (1,1,1)\), \(\overrightarrow{AC} = (-1,2,1)\)
Producto vectorial: \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-1,-2,3)\)
Área triángulo: \(\frac{\sqrt{14}}{2}\) unidades²
Vector normal: \((-1,-2,3)\)

📚 Dependencias Lineales

Combinación Lineal

Un vector \(\mathbf{w}\) es combinación lineal de \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) si:

\[ \mathbf{w} = \alpha\mathbf{u} + \beta\mathbf{v} \]

para algunos escalares \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\).

Independencia Lineal

Vectores \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\) son linealmente independientes si:

\[ \alpha_1\mathbf{v}_1 + \alpha_2\mathbf{v}_2 + \alpha_3\mathbf{v}_3 = \mathbf{0} \implies \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 0 \]

💡 Errores Comunes

⚠️ Cuidado con estos errores

Producto vectorial NO es conmutativo: \(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = -(\mathbf{v} \times \mathbf{u})\)
El producto escalar da un escalar, no un vector
El módulo siempre es ≥ 0
Confundir ángulo entre vectores con ángulo en el plano
Olvidar normalizar cuando se pide vector unitario