Examen Completo

Duración estimada: 120-130 minutos.

Instrucciones

• Responde marcando la opción correcta (a, b, c, d). Puede haber más de una respuesta correcta: marca todas las que correspondan.
• En las preguntas de cálculo se pide elegir la(s) opción(es) correcta(s); debajo de cada pregunta se incluye la solución desarrollada para estudiar.

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Pregunta 1

Pregunta 1

¿Cuál de las siguientes es una variable aleatoria continua?

Número de clientes que entran en una tienda en una hora

Resultado al lanzar un dado

Altura de un estudiante seleccionado al azar

Número de defectos en un lote de productos

Explicación: Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor dentro de un rango continuo. La altura es continua, mientras que las otras son discretas (valores contables).

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Pregunta 2

Pregunta 2

Una encuesta solicita que califiques tu satisfacción con un servicio como: 1 = Muy insatisfecho, 2 = Insatisfecho, 3 = Satisfecho, 4 = Muy satisfecho. ¿Qué tipo de escala es esta?

Escala de razón

Escala ordinal

Escala de intervalo

Escala nominal

Explicación: La escala ordinal tiene orden jerárquico pero no distancia definida entre categorías. No puedes decir que la diferencia entre 1 y 2 es igual a la de 3 y 4.

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Pregunta 3

Pregunta 3

Dado el conjunto de datos: {2, 3, 3, 5, 7, 9}, ¿cuál es la mediana?

5.5

4

5

3

Explicación: Con 6 valores (número par), la mediana es el promedio de los dos valores centrales (posiciones 3 y 4): (3 + 5) / 2 = 4.

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Pregunta 4

Pregunta 4

¿Cuál es la relación entre la varianza y la desviación típica?

Son exactamente lo mismo

La desviación típica es el doble de la varianza

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza

La varianza es la raíz cuadrada de la desviación típica

Explicación: Por definición, \(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\), donde \(\sigma^2\) es la varianza y \(\sigma\) es la desviación típica.

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Pregunta 5

Pregunta 5

Si lanzas un dado justo, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 4?

1/6

1/2

1/3

2/3

Explicación: Los números mayores que 4 en un dado son {5, 6}, es decir, 2 casos favorables de 6 posibles. P = 2/6 = 1/3.

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Pregunta 6

Pregunta 6

¿Cuál de las siguientes situaciones NO sigue una distribución binomial?

Número de caras en 20 lanzamientos de una moneda

Número de clientes satisfechos en una muestra de 50 clientes

Número de llamadas telefónicas recibidas en una oficina durante una hora

Número de defectos encontrados en 30 artículos de una línea de producción

Explicación: El número de llamadas sigue una distribución de Poisson, no binomial, porque no hay un número fijo de ensayos predefinidos. La binomial requiere n ensayos independientes con probabilidad p fija.

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Pregunta 7

Pregunta 7

Para una distribución binomial con parámetros n=5 y p=0.4, ¿cuál es la esperanza E[X]?

1.5

2

3

1

Explicación: En una distribución binomial, E[X] = n·p = 5·0.4 = 2.

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Pregunta 8

Pregunta 8

¿Bajo qué condición la distribución binomial se aproxima a una distribución normal?

Siempre que p < 0.5

Siempre que n sea mayor que 10

Cuando tanto n·p como n·(1-p) son mayores que 5

Cuando p = 0.5 exactamente

Explicación: La regla de aproximación establece que si \(np \geq 5\) y \(n(1-p) \geq 5\), la distribución binomial se puede aproximar a una normal con \(\mu = np\) y \(\sigma^2 = np(1-p)\).

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Pregunta 9

Pregunta 9

¿Cuál es el porcentaje aproximado de observaciones que caen dentro de una desviación típica de la media en una distribución normal?

50%

95%

68%

99%

Explicación: En una distribución normal N(μ, σ²), aproximadamente el 68% de los datos caen en el intervalo [μ-σ, μ+σ].

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Pregunta 10

Pregunta 10

Un estudiante obtiene una calificación de 75 en un examen donde la media es 70 y la desviación típica es 5. ¿Cuál es su Z-score?

-1

0

1

2

Explicación: Z = (x - μ) / σ = (75 - 70) / 5 = 5 / 5 = 1.

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Pregunta 11

Pregunta 11

¿Qué característica debe tener una muestra para ser considerada representativa?

Ser lo más grande posible

Tener el mismo tamaño que la población

Reflejar adecuadamente las características de la población y estar seleccionada sin sesgos

Incluir solo los datos más relevantes

Explicación: Una muestra representativa es aquella que refleja fielmente las características de la población objetivo, seleccionada mediante métodos de muestreo apropiados que eviten sesgos.

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Pregunta 12

Pregunta 12

Si X es una variable aleatoria discreta con distribución: P(X=1)=0.3, P(X=2)=0.5, P(X=3)=0.2, ¿cuál es E[X]?

1.5

2.0

1.9

2.1

Explicación: E[X] = 1·(0.3) + 2·(0.5) + 3·(0.2) = 0.3 + 1.0 + 0.6 = 1.9.

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Pregunta 13

Pregunta 13

Usando los datos de la pregunta anterior, ¿cuál es aproximadamente Var(X)?

0.49

0.61

0.71

0.81

Explicación: Primero calculamos E[X²] = 1²·(0.3) + 2²·(0.5) + 3²·(0.2) = 0.3 + 2 + 1.8 = 4.1. Entonces Var(X) = E[X²] - (E[X])² = 4.1 - (1.9)² = 4.1 - 3.61 = 0.49.

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Pregunta 14

Pregunta 14

Un investigador quiere probar si la media de edad de los clientes es diferente a 35 años. ¿Cuál es la hipótesis alternativa correcta?

H₁: μ = 35

H₁: μ > 35

H₁: μ ≠ 35

H₁: μ ≤ 35

Explicación: El investigador pregunta si la media es "diferente a 35", lo que corresponde a un contraste bilateral (dos colas): H₁: μ ≠ 35.

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Pregunta 15

Pregunta 15

¿Qué representa el nivel de significación α = 0.05 en una prueba de hipótesis?

La probabilidad de que la hipótesis nula sea verdadera

La probabilidad máxima tolerada de rechazar H₀ siendo cierta (Error Tipo I)

La probabilidad de aceptar H₀ siendo falsa

La potencia del contraste

Explicación: El nivel de significación α es la probabilidad máxima de cometer un Error Tipo I (rechazar H₀ siendo cierta). Con α = 0.05, toleramos un 5% de falsos positivos en el largo plazo.

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Pregunta 16

Pregunta 16

En una prueba de hipótesis, si obtienes un p-valor de 0.032 y trabajas con α = 0.05, ¿cuál es tu conclusión?

Rechazar la hipótesis nula

No rechazar la hipótesis nula

El resultado no es concluyente

Aceptar la hipótesis alternativa sin duda

Explicación: Dado que p-valor = 0.032 < α = 0.05, rechazamos H₀. Esto significa que los datos observados son suficientemente inconsistentes con H₀.

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Pregunta 17

Pregunta 17

¿Qué significa un intervalo de confianza al 95% para la media?

Hay exactamente 95% de probabilidad de que la media esté en ese intervalo

Si repitiéramos el muestreo muchas veces, en el 95% de los casos el intervalo contendría la media poblacional

El 95% de los datos caen dentro del intervalo

Es imposible que la media esté fuera del intervalo

Explicación: El IC al 95% es una declaración sobre el procedimiento de muestreo, no sobre un intervalo específico ya calculado. A largo plazo, el 95% de los intervalos calculados contendrán el parámetro.

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Pregunta 18

Pregunta 18

¿Cuándo es apropiado usar la distribución t de Student en lugar de la distribución normal Z?

Siempre

Cuando n > 30

Cuando la desviación típica poblacional es desconocida y el tamaño muestral es pequeño (n < 30)

Cuando la variable no sigue distribución normal

Explicación: Se usa t de Student cuando: (1) σ es desconocida y (2) la muestra es pequeña (típicamente n < 30). Para muestras grandes, la distribución t converge a la normal Z.

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Pregunta 19

Pregunta 19

En un modelo de regresión lineal simple \(\hat{y} = 10 + 2x\), ¿qué representa el coeficiente 2?

El valor predicho cuando x = 0

La varianza de y

Por cada unidad de aumento en x, y aumenta en promedio 2 unidades

El error estándar de la regresión

Explicación: En la ecuación \(\hat{y} = \beta_0 + \beta_1 x\), el coeficiente \(\beta_1 = 2\) es la pendiente y representa el cambio esperado en y por cada unidad de cambio en x.

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Pregunta 20

Pregunta 20

Un modelo de regresión lineal tiene R² = 0.75. ¿Qué significa esto?

El error de predicción es del 75%

La correlación es 0.75

El modelo explica el 75% de la variabilidad en la variable dependiente

Hay un 75% de certeza en las predicciones

Explicación: R² mide la proporción de varianza en la variable dependiente que es explicada por el modelo. R² = 0.75 significa que el 75% de la variabilidad está explicada y el 25% restante por otros factores.

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Pregunta 21

Pregunta 21

¿Cuál es la diferencia principal entre R y RStudio?

Son exactamente lo mismo

R es el lenguaje de programación y RStudio es el entorno de desarrollo (IDE)

R es de pago y RStudio es gratuito

RStudio no puede ejecutar código R

Explicación: R es el lenguaje de programación y motor de cálculo estadístico, mientras que RStudio es un IDE (Entorno de Desarrollo Integrado) que proporciona una interfaz gráfica profesional con 4 paneles para trabajar más cómodamente con R.

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Pregunta 22

Pregunta 22

¿Qué función se usa para crear un vector con los valores 5, 10, 15, 20?

c(5, 10, 15, 20)

vector(5, 10, 15, 20)

v(5, 10, 15, 20)

list(5, 10, 15, 20)

Explicación: La función c() (combine/concatenar) es la forma estándar de crear vectores en R. Los vectores son estructuras homogéneas que contienen elementos del mismo tipo.

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Pregunta 23

Pregunta 23

En un data frame datos, ¿cómo puedes filtrar solo las filas donde la columna nota es mayor o igual a 7?

datos[datos$nota >= 7, ]

datos[nota >= 7]

filter(datos, nota >= 7) (requiere dplyr)

datos$nota >= 7

Explicación: La sintaxis datos[condición, ] permite filtrar filas. datos$nota >= 7 crea un vector lógico, y al usarlo como índice de fila (primera posición en los corchetes), selecciona solo las filas donde la condición es TRUE. Nota: filter() del paquete dplyr también funciona, pero no está en R base.

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Soluciones desarrolladas

Solución pregunta 1 — Identificación de Variable Aleatoria Continua

Concepto: Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor dentro de un rango continuo e infinito de valores posibles.

Análisis de opciones:

1. Número de clientes: Variable discreta (valores contables: 0, 1, 2, 3...)
2. Resultado al lanzar dado: Variable discreta (valores: 1, 2, 3, 4, 5, 6)
3. Altura de un estudiante: Variable continua (puede ser 170.5 cm, 170.543 cm, etc.)
4. Número de defectos: Variable discreta (valores contables: 0, 1, 2, 3...)

Respuesta: Altura de un estudiante seleccionado al azar

Solución pregunta 2 — Clasificación de Escala de Medición

Escala Ordinal: Tiene orden jerárquico pero NO distancia definida entre categorías.

Análisis: - 1 < 2 < 3 < 4 (hay orden) - Pero no podemos decir que "la diferencia entre 1 y 2" = "la diferencia entre 3 y 4" - Comparación: La diferencia de satisfacción entre muy insatisfecho e insatisfecho NO es necesariamente igual a la diferencia entre satisfecho y muy satisfecho

Otras escalas (para comparar): - Nominal: Sin orden (colores, géneros) - Ordinal: Con orden, sin distancia (satisfacción, nivel educativo) - Intervalo: Orden + distancia, sin cero absoluto (temperatura en °C) - Razón: Orden + distancia + cero absoluto (peso, altura, dinero)

Respuesta: Escala ordinal

Solución pregunta 3 — Cálculo de la Mediana

Datos: {2, 3, 3, 5, 7, 9}

Paso 1: Los datos ya están ordenados.

Paso 2: Como n = 6 (número par), la mediana es el promedio de los dos valores centrales.

Posición central inferior: (6+1)/2 = 3.5, redondeamos hacia abajo → posición 3 → valor 3 Posición central superior: (6+1)/2 = 3.5, redondeamos hacia arriba → posición 4 → valor 5

Paso 3: Mediana = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4

Respuesta: 4

Solución pregunta 4 — Relación Varianza-Desviación Típica

Definiciones: - Varianza (σ²): Promedio de las desviaciones al cuadrado - Desviación Típica (σ): Raíz cuadrada de la varianza

Fórmula:

\[\sigma = \sqrt{\sigma^2}\]

o equivalentemente:

\[\sigma^2 = \sigma^2\]

Ejemplo práctico: - Si Var(X) = 4 - Entonces σ = √4 = 2

Ventaja de usar desviación típica: Está en las mismas unidades que los datos originales (mientras que varianza está en unidades al cuadrado)

Respuesta: La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza

Solución pregunta 5 — Probabilidad Básica con Dado

Datos: - Experimento: Lanzar un dado justo - Espacio muestral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - Evento de interés: Obtener número > 4

Paso 1 - Identificar casos favorables:

Números mayores que 4: {5, 6} Casos favorables = 2

Paso 2 - Calcular probabilidad:

\[P(X > 4) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos totales}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

Paso 3 - Verificación: - 1/3 ≈ 0.333... ✓ (entre 0 y 1, correcto) - Opciones incorrectas: 1/6 (un solo número), 1/2 (tres números), 2/3 (números ≥ 4, pero incluye el 4)

Respuesta: 1/3

Solución pregunta 6 — Identificación de Distribución No-Binomial

Criterios para Binomial: 1. Número fijo de ensayos (n) 2. Dos resultados posibles (éxito/fracaso) 3. Probabilidad constante (p) 4. Ensayos independientes

Análisis de opciones:

1. Caras en 20 lanzamientos: Binomial ✓
2. n = 20 (fijo)

3. p = 0.5 (probabilidad de cara)

4. Clientes satisfechos en 50: Binomial ✓

5. n = 50 (fijo)

6. p = probabilidad de satisfacción

7. Llamadas en una hora: Poisson ✗

8. No hay n fijo (pueden ser 0, 5, 100 llamadas)

9. Sigue Poisson: P(X=k) = (e^(-λ) · λ^k) / k!

10. Defectos en 30 artículos: Binomial ✓

11. n = 30 (fijo)
12. p = probabilidad de defecto

Respuesta: Número de llamadas telefónicas (sigue Poisson)

Solución pregunta 7 — Esperanza de Distribución Binomial

Parámetros: n = 5, p = 0.4

Fórmula de Esperanza (Binomial):

\[E[X] = n \cdot p\]

Cálculo:

\[E[X] = 5 \cdot 0.4 = 2\]

Interpretación: En promedio, si realizamos 5 ensayos independientes con probabilidad 0.4 de éxito, esperamos obtener 2 éxitos.

Respuesta: E[X] = 2

Solución pregunta 8 — Condición de Aproximación Binomial a Normal

Regla de aproximación:

La distribución Binomial(n, p) se puede aproximar a una Normal cuando:

\[np \geq 5 \quad \text{y} \quad n(1-p) \geq 5\]

Interpretación: - np: Número esperado de éxitos - n(1-p): Número esperado de fracasos - Ambos deben ser ≥ 5 para que la distribución sea aproximadamente simétrica

Ejemplo: - Binomial(100, 0.6): - np = 100·0.6 = 60 ✓ (> 5) - n(1-p) = 100·0.4 = 40 ✓ (> 5) - Se puede aproximar a Normal(μ=60, σ²=24)

Parámetros de la Normal aproximada:

\[\mu = np = 100 \cdot 0.6 = 60\]

\[\sigma^2 = np(1-p) = 100 \cdot 0.6 \cdot 0.4 = 24\]

\[\sigma = \sqrt{24} \approx 4.899\]

Respuesta: Cuando tanto n·p como n·(1-p) son mayores que 5

Solución pregunta 9 — Regla Empírica (68-95-99.7)

Regla Empírica para Distribución Normal:

Aproximadamente: - 68% de datos en [μ - σ, μ + σ] (1 desviación) - 95% de datos en [μ - 2σ, μ + 2σ] (2 desviaciones) - 99.7% de datos en [μ - 3σ, μ + 3σ] (3 desviaciones)

Visualización:

μ - 3σ  μ - 2σ  μ - σ   μ   μ + σ  μ + 2σ  μ + 3σ
   |        |        |     |      |       |       |
   |<--- 99.7% --->|
   |    |<--- 95% --->|
   |    |   |<-- 68% -->|

Respuesta: 68%

Solución pregunta 10 — Cálculo de Z-score

Datos: - Calificación del estudiante: x = 75 - Media: μ = 70 - Desviación típica: σ = 5

Fórmula de estandarización:

\[Z = \frac{x - \mu}{\sigma}\]

Cálculo:

\[Z = \frac{75 - 70}{5} = \frac{5}{5} = 1\]

Interpretación: El estudiante obtuvo una calificación 1 desviación típica por encima de la media, lo que corresponde a aproximadamente el percentil 84 en una distribución normal estándar.

Respuesta: Z = 1

Solución pregunta 11 — Características de Muestra Representativa

Definición: Una muestra representativa refleja fielmente las características de la población.

Requisitos:

1. Reflejo de características:
2. Distribución de género similar a la población
3. Edades distribuidas como en la población

4. Otras variables clave presentes

5. Sin sesgos:

6. Selección aleatoria
7. Métodos de muestreo apropiados

8. Evitar selección no-probabilística

9. Tamaño adecuado:

10. Depende del margen de error deseado
11. No necesariamente "lo más grande posible"
12. Balance entre precisión y costo

Análisis de opciones incorrectas: - "Lo más grande posible": Mayor ≠ mejor si hay sesgos - "Mismo tamaño que población": Innecesario y costoso - "Solo datos relevantes": Introduce sesgo de selección

Respuesta: Reflejar características de la población sin sesgos

Solución pregunta 12 — Cálculo de Esperanza de V.A. Discreta

Distribución de Probabilidad:

X	1	2	3
P(X)	0.3	0.5	0.2

Fórmula de Esperanza (Variable Discreta):

\[E[X] = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)\]

Cálculo paso a paso:

\[E[X] = 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3)\]

\[E[X] = 1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.2\]

\[E[X] = 0.3 + 1.0 + 0.6\]

\[E[X] = 1.9\]

Respuesta: E[X] = 1.9

Solución pregunta 13 — Cálculo de Varianza

Datos de la pregunta anterior: E[X] = 1.9

Distribución:

X	1	2	3
P(X)	0.3	0.5	0.2
X²	1	4	9

Fórmula de Varianza:

\[\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2\]

Paso 1 - Calcular E[X²]:

\[E[X^2] = 1^2 \cdot 0.3 + 2^2 \cdot 0.5 + 3^2 \cdot 0.2\]

\[E[X^2] = 1 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.5 + 9 \cdot 0.2\]

\[E[X^2] = 0.3 + 2.0 + 1.8 = 4.1\]

Paso 2 - Calcular (E[X])²:

\[(E[X])^2 = (1.9)^2 = 3.61\]

Paso 3 - Calcular la Varianza:

\[\text{Var}(X) = 4.1 - 3.61 = 0.49\]

Respuesta: Var(X) = 0.49

Solución pregunta 14 — Planteo de Hipótesis Bilateral

Contexto: "¿Es la media diferente a 35?"

Tipos de contraste:

1. Bilateral (dos colas): H₁: μ ≠ μ₀
2. Pregunta: "¿Es diferente?"
3. Región crítica: Ambos extremos

4. Aplica aquí ✓

5. Unilateral derecha (cola derecha): H₁: μ > μ₀

6. Pregunta: "¿Es mayor?"

7. Unilateral izquierda (cola izquierda): H₁: μ < μ₀

8. Pregunta: "¿Es menor?"

Planteo correcto: - H₀: μ = 35 (hipótesis nula: no hay diferencia) - H₁: μ ≠ 35 (hipótesis alternativa: hay diferencia)

Respuesta: H₁: μ ≠ 35

Solución pregunta 15 — Interpretación Correcta de α

Definición formal de α:

\[\alpha = P(\text{Rechazar } H_0 | H_0 \text{ es cierta})\]

Es decir: La probabilidad de cometer Error Tipo I

Tabla de errores:

	H₀ cierta	H₀ falsa
Rechazar H₀	Error Tipo I (α)	Correcto
No rechazar H₀	Correcto	Error Tipo II (β)

Interpretación de α = 0.05: - Si realizamos el experimento 100 veces cuando H₀ es cierta - En ~5 casos cometeríamos Error Tipo I (rechazar siendo cierta) - En ~95 casos NO cometeríamos error

Nivel de significación común: - α = 0.05 (5% de falsos positivos) - α = 0.01 (1% de falsos positivos) - α = 0.10 (10% de falsos positivos)

Respuesta: Probabilidad máxima de Error Tipo I

Solución pregunta 16 — Decisión Basada en P-valor

Regla de decisión:

\[\text{Si } p\text{-valor} < \alpha \Rightarrow \text{Rechazar } H_0\]

Datos del problema: - p-valor = 0.032 - α = 0.05

Comparación: - 0.032 < 0.05 ✓

Conclusión: - Rechazamos H₀ - Los datos son suficientemente inconsistentes con H₀ - Hay evidencia significativa contra H₀

Interpretación: - Si H₀ fuera cierta, la probabilidad de observar datos tan extremos (o más) es solo 3.2% - Como 3.2% < 5% (nuestro umbral), consideramos esto improbable - Por lo tanto, rechazamos H₀

Nota importante: No significa que H₁ sea cierta con 96.8% de probabilidad. Es un procedimiento de prueba, no una asignación de probabilidad al parámetro.

Respuesta: Rechazar la hipótesis nula

Solución pregunta 17 — Interpretación Frecuentista de IC

Interpretación CORRECTA (frecuentista):

"Si repitiéramos el muestreo muchas veces, en el 95% de los casos el intervalo contendría el parámetro"

Interpretación INCORRECTA (bayesiana):

"Hay 95% de probabilidad de que la media esté en [a, b]" - Incorrecta porque el parámetro es fijo (no es variable aleatoria) - Solo el intervalo varía según la muestra

Ejemplo concreto:

Si calculamos IC 95% para 100 muestras diferentes: - Aproximadamente 95 intervalos contienen μ - Aproximadamente 5 intervalos NO contienen μ

Visualización:

Muestra 1: [68.2, 71.8] contiene μ ✓
Muestra 2: [67.5, 71.2] contiene μ ✓
Muestra 3: [66.8, 69.5] NO contiene μ ✗
...
(95 de 100 contienen μ)

Diferencia clave: - IC es sobre el procedimiento (a largo plazo) - NO sobre la probabilidad del parámetro en un intervalo específico

Respuesta: Interpretación frecuentista correcta

Solución pregunta 18 — Elección entre t y Z

Condiciones para usar cada distribución:

Situación	σ conocida	σ desconocida
n ≥ 30	Z	Z (o t, similar)
n < 30	Z	t de Student

Nuestro caso: - σ es desconocida → No usamos Z - n < 30 (típicamente) → Usamos t

¿Por qué t cuando σ es desconocida? - Estimamos σ con s (desviación muestral) - Esta estimación tiene más incertidumbre - t tiene colas más pesadas que Z - Compensa la incertidumbre adicional

Grados de libertad: - df = n - 1 - Mientras mayor n, más cerca t está de Z - Con n → ∞, distribución t → Z

Tabla de distribuciones: - Z: Normal estándar N(0,1), uso con σ conocida - t: Student, uso con σ desconocida y n pequeño - χ²: Chi-cuadrado, uso para varianzas - F: Fisher, uso para comparación de varianzas

Respuesta: σ desconocida y n < 30

Solución pregunta 19 — Interpretación de Coeficiente en Regresión

Modelo: $\(\hat{y} = 10 + 2x\)$

Componentes: - β₀ = 10 (ordenada en el origen) - β₁ = 2 (pendiente) - x = variable independiente - ŷ = predicción de y

Interpretación de la pendiente (β₁ = 2):

"Por cada unidad de aumento en x, y aumenta en promedio 2 unidades"

Ejemplo práctico: - Si x = 1: ŷ = 10 + 2(1) = 12 - Si x = 2: ŷ = 10 + 2(2) = 14 - Si x = 3: ŷ = 10 + 2(3) = 16 - Diferencia: 14 - 12 = 2 ✓

Interpretación de ordenada (β₀ = 10):

"Cuando x = 0, el valor predicho de y es 10"

Análisis de opciones incorrectas: - "Valor predicho cuando x=0": Eso es β₀, no β₁ - "Varianza de y": Eso es σ_y, no β₁ - "Error estándar": Eso es σ/√n, no β₁

Respuesta: Por cada unidad de x, y aumenta 2 unidades

Solución pregunta 20 — Interpretación de R²

Definición: $\(R^2 = \frac{\text{Varianza explicada}}{\text{Varianza total}}\)$

Datos del problema: - R² = 0.75

Interpretación:

\[R^2 = 0.75 = 75\%\]

Significa: - 75% de la variabilidad en y es explicada por el modelo - 25% de la variabilidad se debe a otros factores no incluidos

Fórmula desagregada:

\[R^2 = 1 - \frac{\text{Varianza no explicada}}{\text{Varianza total}} = 1 - \frac{0.25}{1.00} = 0.75\]

Ejemplo: - Si Var(y) = 100 - Var(explicada) = 75 - Var(no explicada) = 25

Interpretación de diferentes valores de R²:

R²	Interpretación
0.90-1.00	Excelente ajuste
0.70-0.90	Buen ajuste
0.50-0.70	Ajuste moderado
0.30-0.50	Ajuste débil
< 0.30	Muy pobre ajuste

Nuestro caso (R² = 0.75): Buen ajuste ✓

Análisis de opciones incorrectas: - "Error es 75%": No, 75% está explicado - "Correlación es 0.75": No, r = √0.75 ≈ 0.866 - "75% certeza": No es interpretación probabilística

Respuesta: Modelo explica el 75% de la variabilidad

Solución pregunta 21 — Diferencia entre R y RStudio

Conceptos clave:

R (Lenguaje de programación): - Motor de cálculo estadístico - Intérprete de comandos - Lenguaje especializado en análisis de datos - Gratuito y de código abierto

RStudio (IDE): - Interfaz gráfica profesional - Facilita trabajar con R - 4 paneles principales: 1. Editor de Scripts: Escribir y guardar código 2. Consola: Ejecutar comandos interactivos 3. Entorno/Historial: Variables y comandos previos 4. Gráficos/Archivos/Paquetes/Ayuda: Visualización y recursos

Analogía: - R es como el motor de un coche - RStudio es como el panel de control y volante

Relación:

RStudio necesita R para funcionar
R puede funcionar sin RStudio (pero menos cómodo)

Comparación:

Aspecto	R	RStudio
Tipo	Lenguaje	IDE
Función	Ejecutar código	Interfaz visual
Costo	Gratuito	Gratuito (versión Desktop)
Instalación	Primero	Después de R

Respuesta: R es el lenguaje y RStudio es el IDE

Solución pregunta 22 — Creación de Vectores en R

Función principal: c()

c() significa "combine" o "concatenar"

Sintaxis:

# Crear vector con c()
x <- c(5, 10, 15, 20)

Características de vectores: - Estructura homogénea (mismo tipo de datos) - Indexación comienza en 1 (no en 0 como otros lenguajes) - Operaciones vectorizadas

Ejemplo completo:

# Crear vector
valores <- c(5, 10, 15, 20)

# Acceder a elementos
valores[1]      # [1] 5
valores[2:3]    # [1] 10 15

# Operaciones vectorizadas
valores * 2     # [1] 10 20 30 40

# Funciones estadísticas
mean(valores)   # [1] 12.5
sum(valores)    # [1] 50
length(valores) # [1] 4

Análisis de opciones incorrectas: - vector(): Crea vector vacío o de longitud específica - v(): No existe en R - list(): Crea listas (estructuras heterogéneas), no vectores

Diferencia vector vs lista:

# Vector (homogéneo)
v <- c(1, 2, 3)           # Solo números

# Lista (heterogéneo)
l <- list(1, "dos", TRUE) # Mezcla tipos

Respuesta: c(5, 10, 15, 20)

Solución pregunta 23 — Filtrado Condicional en Data Frames

Sintaxis de filtrado:

datos[condición, ]

Estructura: - datos[filas, columnas] - Si dejamos columnas vacío, selecciona todas - condición genera vector lógico TRUE/FALSE

Ejemplo paso a paso:

# Crear data frame
estudiantes <- data.frame(
  nombre = c("Ana", "Bruno", "Clara", "Diego"),
  nota = c(6, 8, 9, 5)
)

# Paso 1: Crear condición
estudiantes$nota >= 7
# [1] FALSE TRUE TRUE FALSE

# Paso 2: Filtrar filas
aprobados <- estudiantes[estudiantes$nota >= 7, ]
#   nombre nota
# 2  Bruno    8
# 3  Clara    9

Otras formas de filtrado:

# Con subset() (R base)
subset(estudiantes, nota >= 7)

# Con which() (devuelve índices)
estudiantes[which(estudiantes$nota >= 7), ]

# Con dplyr (requiere instalación)
library(dplyr)
filter(estudiantes, nota >= 7)

Operadores de comparación:

Operador	Significado
==	Igual a
!=	Diferente de
>	Mayor que
>=	Mayor o igual
<	Menor que
<=	Menor o igual

Filtrado múltiple (AND/OR):

# AND: ambas condiciones
datos[datos$nota >= 7 & datos$edad < 25, ]

# OR: al menos una condición
datos[datos$nota >= 9 | datos$asistencia >= 90, ]

# NOT: negar condición
datos[!(datos$nota < 5), ]

Respuesta: datos[datos$nota >= 7, ]