Práctica 4 Variante (medio)

Duración estimada: 90 minutos.

Instrucciones

• Responde marcando la opción correcta (a, b, c, d). Puede haber más de una correcta: marca todas las que correspondan.
• En las preguntas de cálculo se pide elegir la(s) opción(es) correcta(s); debajo de cada pregunta se incluye la solución desarrollada para estudiar.

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Pregunta 1

Una variable que clasifica estado civil (soltero, casado, viudo, divorciado) es:

Cuantitativa discreta.

Cuantitativa continua.

Cualitativa ordinal.

Cualitativa nominal.

Explicación: Las categorías no tienen orden natural; son etiquetas sin jerarquía.

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Pregunta 2

Ante presencia de valores atípicos altos, el estadístico de tendencia central más robusto es:

La media.

La mediana.

La moda siempre.

La media recortada es peor que la media.

Explicación: La mediana no se ve afectada por extremos; la media sí.

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Pregunta 3

Respecto a dispersión, ¿qué medida es menos sensible a outliers?

Varianza.

Desviación estándar.

Rango intercuartílico (IQR).

Rango total.

Explicación: El IQR usa Q1 y Q3; ignora colas extremas.

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Pregunta 4

En un histograma válido, las barras deben:

Tener anchuras de clase definidas y áreas proporcionales a frecuencias.

Tener alturas proporcionales a valores de la variable.

Ser siempre de igual altura.

Mostrar huecos obligatorios entre clases.

Explicación: La altura refleja densidad; el área de cada barra es proporcional a la frecuencia.

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Pregunta 5

En boxplot, se considera atípico un punto si está:

Por fuera de Q1 − 1.5·IQR o Q3 + 1.5·IQR.

Por fuera de la media ± 1.5·IQR.

Siempre por fuera de ±2σ.

Dentro del IQR.

Explicación: Regla de Tukey: 1.5·IQR define bigotes y puntos fuera son potenciales outliers.

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Pregunta 6

Si transformamos X→aX+b con a>0, entonces:

La media se transforma a a·E[X]+b.

La varianza se transforma a a²·Var(X).

La varianza suma b.

La mediana no cambia nunca.

Enviar

Explicación: Traslación afecta ubicación; escala afecta varianza cuadráticamente.

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Pregunta 7

Un coeficiente de Pearson r=0.85 indica:

Fuerte relación lineal positiva.

Fuerte relación negativa.

Ausencia de relación.

Relación no lineal segura.

Explicación: r cercano a 1 implica relación lineal positiva fuerte.

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Pregunta 8

Si Cov(X,Y)<0, entonces:

Cuando X es mayor que su media, Y tiende a ser menor que su media.

La relación es siempre no lineal.

r>0.

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) sin independencia.

Explicación: Covarianza negativa indica tendencia inversa respecto a medias.

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Pregunta 9

En regresión lineal, la pendiente β₁ representa:

El cambio esperado en Y por unidad de X.

El valor de Y cuando X=0.

La correlación entre X y Y.

La varianza de los residuos.

Explicación: β₁ es el incremento medio de Y por un aumento unitario en X.

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Pregunta 10

El coeficiente de determinación r² mide:

Proporción de variabilidad de Y explicada por el modelo.

Varianza de X.

Covarianza de X e Y.

Errores tipo I.

Explicación: r²∈[0,1] indica fracción explicada por regresión.

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Pregunta 11

La CDF F(x) de una v.a. X siempre es:

No decreciente y continua por la derecha.

Decreciente.

Estrictamente creciente.

Derivable en todo punto.

Explicación: Propiedades generales: límite 0 en −∞ y 1 en +∞, no decreciente, derecha-continua.

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Pregunta 12

Para cualquier constante a,b, se cumple:

E[aX+b]=a·E[X]+b.

E[aX+b]=a·E[X].

E[aX+b]=E[X]+b.

E[aX+b]=a+b.

Explicación: Linealidad de la esperanza; b atraviesa la esperanza.

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Pregunta 13

Respecto a varianza, se cumple:

Var(aX+b)=a²·Var(X).

Var(aX+b)=a·Var(X)+b.

Var(aX+b)=Var(X)+b².

Var(aX+b)=a²·Var(X)+b².

Explicación: La varianza es invariante ante traslación y escala cuadrática.

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Pregunta 14

Si X e Y son independientes, entonces:

Cov(X,Y)=0.

ρ=1.

F_XY(x,y)=F_X(x)+F_Y(y).

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) aun sin independencia.

Explicación: Independencia implica covarianza nula; la recíproca no necesariamente.

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Pregunta 15

Para una Binomial B(n,p), la media y varianza son:

E[X]=np; Var(X)=np(1−p).

E[X]=p; Var(X)=p(1−p).

E[X]=n; Var(X)=n(1−p).

E[X]=np²; Var(X)=np.

Explicación: Suma de n Bernoulli(p): media np, varianza np(1−p).

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Pregunta 16

Una Poisson(λ) cumple:

E[X]=Var(X)=λ.

E[X]=λ; Var(X)=λ².

E[X]=λ²; Var(X)=λ.

E[X]=1/λ; Var(X)=1/λ².

Explicación: Conteo de eventos raros: media y var varían igual a λ.

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Pregunta 17

Si X∼N(μ,σ²), entonces Z=(X−μ)/σ es:

N(0,1).

N(μ,σ²).

t de Student.

χ² con 1 df.

Explicación: Estandarización convierte cualquier normal en estándar.

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Pregunta 18

La distribución Exponencial tiene la propiedad de:

Falta de memoria: P(T>s+t | T>s)=P(T>t).

Simetría perfecta.

Media igual a varianza al cuadrado.

Soporte únicamente finito.

Explicación: La probabilidad restante no depende del tiempo ya transcurrido.

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Pregunta 19

El margen de error de un IC para p (normal aproximación), al aumentar n:

Disminuye como 1/√n.

Aumenta linealmente.

No cambia.

Disminuye como 1/n.

Explicación: E≈z·√(p(1−p)/n); decrece con la raíz del tamaño muestral.

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Pregunta 20

Si aumentamos el nivel de confianza del 95% al 99%, el intervalo:

Se ensancha.

Se estrecha.

No cambia.

Se desplaza a la derecha.

Explicación: Mayor confianza requiere abarcar más valores posibles del parámetro.

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Pregunta 21

Para usar IC normal de proporción, se requiere aproximadamente:

np≥5 y n(1−p)≥5.

n>30 siempre.

p<0.05.

n(1−p)<5.

Explicación: Necesitamos éxitos y fracasos esperados suficientes para aproximación normal.

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Pregunta 22

Un error Tipo I ocurre cuando:

Se rechaza H₀ siendo verdadera.

No se rechaza H₀ siendo falsa.

Se rechaza H₁ siendo verdadera.

Se acepta H₀ al 95%.

Explicación: Error de nivel α: falso positivo.

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Pregunta 23

El p-valor es:

Probabilidad, bajo H₀, de observar un resultado tan extremo o más que el observado.

Probabilidad de que H₀ sea verdadera.

Probabilidad de que H₁ sea verdadera.

Siempre igual a α.

Explicación: Se calcula bajo la distribución del estadístico asumiendo H₀.

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Pregunta 24

En contraste bilateral vs unilateral (derecho), generalmente:

El crítico bilateral usa colas en ambos lados; el unilateral concentra todo α en una cola.

El bilateral siempre rechaza más fácil.

El unilateral nunca rechaza.

Cambia la media poblacional.

Explicación: Reparto de α modifica regiones críticas y decisión.

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Soluciones desarrolladas

Solución pregunta 1 — Nominal vs ordinal

Enunciado: Estado civil carece de orden natural.

Respuesta correcta: D) Cualitativa nominal.

Desarrollo breve: Las etiquetas no tienen jerarquía; ordinal requiere orden (p.ej., niveles educativos). Nominal admite conteos y proporciones; no medianas.

Solución pregunta 2 — Robustez de la mediana

Enunciado: Presencia de outliers altos.

Respuesta correcta: B) Mediana.

Desarrollo breve: La mediana es insensible a extremos; la media se desplaza. Media recortada mejora robustez pero no supera a la mediana en simplicidad.

Solución pregunta 3 — IQR y outliers

Enunciado: Medida menos sensible a atípicos.

Respuesta correcta: C) IQR.

Desarrollo breve: IQR utiliza el 50% central (Q1–Q3); varianza y desviación usan todos los datos y amplifican colas.

Solución pregunta 4 — Barras del histograma

Enunciado: Propiedades geométricas del histograma.

Respuesta correcta: A) Área proporcional a frecuencia.

Desarrollo breve: Con clases desiguales, la altura representa densidad (frecuencia/anchura); el área total cubre la masa.

Solución pregunta 5 — Regla 1.5·IQR

Enunciado: Detección de atípicos en boxplot.

Respuesta correcta: A) Fuera de bigotes definidos por 1.5·IQR.

Desarrollo breve: Bigotes: [Q1−1.5·IQR, Q3+1.5·IQR]; puntos fuera requieren análisis contextual (no siempre eliminar).

Solución pregunta 6 — Transformación lineal

Enunciado: X→aX+b con a>0.

Respuesta correcta: A y B.

Desarrollo breve: Traslación b solo cambia ubicación; escala a afecta varianza (a²). La mediana sí se traslada por b y escala por a.

Solución pregunta 7 — Correlación positiva

Enunciado: r=0.85.

Respuesta correcta: A) Positiva fuerte.

Desarrollo breve: Magnitud alta y signo positivo; no prueba causalidad ni linealidad perfecta.

Solución pregunta 8 — Signo de Cov

Enunciado: Cov(X,Y)<0.

Respuesta correcta: A) Tendencia inversa.

Desarrollo breve: Cov negativa sugiere relaciones decrecientes respecto a medias; r puede ser negativo; independencia no inferida.

Solución pregunta 9 — Interpretación de β₁

Enunciado: Pendiente en regresión.

Respuesta correcta: A) Cambios esperados por unidad.

Desarrollo breve: Unidades: ΔY/ΔX; el intercepto β₀ es valor cuando X=0.

Solución pregunta 10 — r² explicado

Enunciado: Coeficiente de determinación.

Respuesta correcta: A) Proporción explicada.

Desarrollo breve: r² alto sugiere buen ajuste lineal; validar supuestos y residuos.

Solución pregunta 11 — Propiedades CDF

Enunciado: F no decreciente y derecha-continua.

Respuesta correcta: A) Propiedad general.

Desarrollo breve: Limites: F(−∞)=0, F(+∞)=1; saltos en discretas.

Solución pregunta 12 — Linealidad de E[·]

Enunciado: E[aX+b].

Respuesta correcta: A) aE[X]+b.

Desarrollo breve: Propiedad lineal independientemente de Var(X).

Solución pregunta 13 — Varianza con escala

Enunciado: Var(aX+b).

Respuesta correcta: A) a²Var(X).

Desarrollo breve: Traslación no cambia dispersión; escala cuadrática.

Solución pregunta 14 — Independencia y Cov

Enunciado: Independencia ⇒ Cov=0.

Respuesta correcta: A) Cov=0.

Desarrollo breve: Cov=0 no garantiza independencia (puede haber relación no lineal).

Solución pregunta 15 — Binomial np, np(1−p)

Enunciado: Media y varianza.

Respuesta correcta: A) np; np(1−p).

Desarrollo breve: Deriva de suma de Bernoulli; útil para planificación.

Solución pregunta 16 — Poisson λ

Enunciado: Media=Var.

Respuesta correcta: A) λ.

Desarrollo breve: Modela conteo de eventos raros; aproximación binomial con p pequeño.

Solución pregunta 17 — Estandarización

Enunciado: Z de normal.

Respuesta correcta: A) N(0,1).

Desarrollo breve: Facilita uso de tablas y comparación.

Solución pregunta 18 — Falta de memoria

Enunciado: Propiedad exponencial.

Respuesta correcta: A) P(T>s+t|T>s)=P(T>t).

Desarrollo breve: Característica única entre continuas; aplica a procesos de Poisson.

Solución pregunta 19 — Margen y n

Enunciado: E decrece con n.

Respuesta correcta: A) 1/√n.

Desarrollo breve: Duplicar n reduce E≈1/√2; planificar tamaño muestral.

Solución pregunta 20 — Confianza y ancho

Enunciado: 95%→99%.

Respuesta correcta: A) Se ensancha.

Desarrollo breve: z mayor => intervalo más amplio; trade-off precisión vs. confianza.

Solución pregunta 21 — Condiciones IC proporción

Enunciado: np y n(1−p).

Respuesta correcta: A) Ambos ≥5.

Desarrollo breve: Evita asimetría extrema; usar Wilson/Clopper-Pearson si no se cumplen.

Solución pregunta 22 — Error Tipo I

Enunciado: Falso positivo.

Respuesta correcta: A) Rechazar H₀ verdadera.

Desarrollo breve: Nivel α controla probabilidad de este error.

Solución pregunta 23 — p-valor

Enunciado: Bajo H₀.

Respuesta correcta: A) Extrema bajo H₀.

Desarrollo breve: No es probabilidad de hipótesis; interpretar junto con α y tamaño de efecto.

Solución pregunta 24 — Bilateral vs unilateral

Enunciado: Regiones críticas.

Respuesta correcta: A) α en una o dos colas.

Desarrollo breve: Planteamiento debe fijarse a priori; unilateral puede tener más potencia en dirección esperada.