Práctica 6 Variante v2 (aplicado)

Duración estimada: 90 minutos.

Instrucciones

• Responde marcando la opción correcta (a, b, c, d). Puede haber más de una correcta: marca todas las que correspondan.
• En las preguntas de cálculo se pide elegir la(s) opción(es) correcta(s); debajo de cada pregunta se incluye la solución desarrollada para estudiar.

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Bloque 1: Escalas y Visualización (Unidades 1-2)

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Pregunta 1

Al medir el tiempo de respuesta de un servidor en milisegundos, ¿qué característica define que estemos en una escala de razón?

Que podemos ordenar los datos de menor a mayor.

Que existe un cero absoluto que indica ausencia de tiempo y las proporciones son interpretables.

Que las diferencias entre valores no son cuantificables.

Que solo podemos calcular la moda.

Explicación: Una escala de razón tiene un cero natural (0 ms = sin tiempo) y permite interpretar proporciones ("el doble de tiempo"). En cambio, la temperatura en Celsius (0°C es arbitrario) es de intervalo, no de razón.

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Pregunta 2

Si el algoritmo A tiene un diagrama de caja más ancho que el algoritmo B (con la misma mediana), ¿qué indica esto sobre su rendimiento?

El algoritmo A siempre es más lento que el B.

El algoritmo A tiene una mayor dispersión en el 50% central de sus tiempos.

El algoritmo B tiene valores atípicos más extremos.

La media de A es necesariamente mayor que la de B.

Explicación: El ancho de la caja (IQR) mide solo la dispersión del 50% central. No informa sobre la media, ni sobre la existencia de outliers (que estarían fuera de los bigotes), ni sobre velocidad absoluta. Algoritmo A es más variable, no necesariamente más lento.

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Pregunta 3

En un modelo de regresión, un coeficiente de determinación \(R^2 = 0.9239\) significa que:

El modelo acierta el 92.39% de las veces en producción.

El 92.39% de la variabilidad de la variable dependiente se explica por la variable independiente.

La correlación de Pearson es de 0.9239.

El error promedio es del 7.61%.

Explicación: \(R^2 = 0.9239\) indica que el 92.39% de la variación en Y es explicada por X. No es un porcentaje de "aciertos" en producción (que requiere métrica diferente como precisión o recall). La correlación sería \(r = \sqrt{0.9239} \approx 0.961\).

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Pregunta 4

Si la pendiente (\(b\)) de una recta de regresión que predice el precio basado en el kilometraje es \(-0.204\), esto implica que:

Por cada kilómetro adicional, el precio disminuye 0.204 unidades monetarias.

No existe relación lineal entre el precio y los kilómetros.

El modelo tiene un ajuste pobre.

El precio inicial del coche es de -0.204 unidades.

Explicación: Una pendiente negativa (\(b = -0.204\)) indica relación lineal inversa (más km = menos precio, lo que tiene sentido). La magnitud del ajuste del modelo se mide con \(R^2\), no con el valor de \(b\). El precio inicial se representa con la ordenada \(a\), no \(b\).

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Bloque 2: Variables Aleatorias y Probabilidad (Unidades 3-4)

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Pregunta 5

¿Cuál es la utilidad principal de la Función Generatriz de Momentos (MGF)?

Dibujar la campana de Gauss de forma precisa.

Calcular percentiles de forma directa sin usar tablas.

Caracterizar la distribución de forma única y facilitar el cálculo de momentos mediante derivadas.

Determinar si una variable es nominal u ordinal.

Explicación: La MGF \(M_X(t) = E[e^{tX}]\) es única para cada distribución. Derivando: \(M_X^{(n)}(0) = E[X^n]\). Esto permite calcular todos los momentos (esperanza, varianza, etc.). La MGF es una herramienta teórica poderosa para derivar propiedades de distribuciones.

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Pregunta 6

Sea \(X\) una variable aleatoria con función de distribución \(F(x)\). ¿Cuál de estas propiedades es obligatoria?

\(F(x)\) debe ser una función continua en todos sus puntos.

El límite de \(F(x)\) cuando \(x\) tiende a infinito es 1.

\(F(x)\) es siempre una función monótona decreciente.

El valor de \(F(x)\) puede ser mayor que 1 en distribuciones normales.

Explicación: \(\lim_{x \to \infty} F(x) = 1\) es obligatorio (toda la probabilidad acumulada). Otras propiedades obligatorias: \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\) y monotonía no-decreciente. Pero no necesariamente continua (distribuciones discretas tienen saltos).

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Pregunta 7

Si el tiempo entre errores de un sistema sigue una distribución exponencial, ¿qué significa la "falta de memoria"?

Que el sistema olvida los errores pasados para mejorar su precisión.

Que la probabilidad de fallo en los próximos \(t\) minutos es la misma, sin importar cuánto tiempo lleve ya funcionando el sistema.

Que la varianza aumenta proporcionalmente al tiempo.

Que el parámetro \(\lambda\) cambia cada hora.

Explicación: Propiedad única de la exponencial: \(P(X > s+t | X > s) = P(X > t)\). El futuro no depende del pasado. Útil para procesos sin "envejecimiento" (componentes electrónicos frescos, llegadas a colas).

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Pregunta 8

¿En qué condiciones la distribución de Poisson es una buena aproximación de la Binomial?

Cuando \(n\) es pequeño y \(p\) es muy cercano a 0.5.

Cuando \(n\) es grande (\(n \geq 30\)) y \(p\) es pequeño (\(p \leq 0.1\)).

Solo cuando la media y la varianza son diferentes.

Siempre que los datos sigan una distribución normal estándar.

Explicación: Límite de Binomial: \(\text{Binomial}(n,p) \to \text{Poisson}(\lambda = np)\) cuando \(n \to \infty, p \to 0\) con \(np\) constante. Condiciones prácticas: \(n \geq 30\), \(p \leq 0.1\). Ejemplo: 1000 operaciones con probabilidad de fallo 0.001.

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Bloque 3: Estimación e Intervalos (Unidad 5)

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Pregunta 9

Un estimador puntual se considera "insesgado" si:

Su varianza es cero.

Su valor esperado coincide con el parámetro poblacional que intenta estimar.

Siempre da el mismo resultado en cualquier muestra.

Es el que tiene el menor error cuadrático medio posible.

Explicación: Estimador insesgado: \(E[\hat{\theta}] = \theta\). Ejemplo: \(\bar{X}\) es insesgado para \(\mu\). La media muestral, a través de muchas muestras, "apunta" al parámetro verdadero en promedio. Insesgadez no implica baja varianza (precisión); ambas son deseables.

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Pregunta 10

Si queremos construir un intervalo de confianza para la media de una población normal con varianza desconocida y muestra pequeña, ¿qué distribución debemos usar?

Distribución Normal estándar (Z).

Distribución \(t\) de Student con \(n-1\) grados de libertad.

Distribución Chi-cuadrado.

Distribución F de Snedecor.

Explicación: Condiciones para \(t\): (1) población normal, (2) \(\sigma^2\) desconocida, (3) \(n\) pequeño (<30). La distribución \(t\) con \(\nu = n-1\) gl tiene colas más pesadas que Normal, resultando intervalos más amplios (conservador).

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Pregunta 11

¿Qué sucede con la amplitud de un intervalo de confianza si aumentamos el tamaño de la muestra (\(n\))?

El intervalo se ensancha, aumentando la incertidumbre.

El intervalo se estrecha, aumentando la precisión de la estimación.

El nivel de confianza aumenta automáticamente al 99%.

No hay cambios, ya que la amplitud solo depende de la media.

Explicación: Amplitud \(\propto \frac{1}{\sqrt{n}}\). Al aumentar \(n\), el denominador crece y amplitud disminuye. Para reducir amplitud a la mitad, necesitas 4 veces más datos. El nivel de confianza es independiente; se controla con el multiplicador \(z_{\alpha/2}\) o \(t_{\alpha/2}\).

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Pregunta 12

Al calcular el tamaño muestral mínimo (\(n\)) para estimar una proporción sin información previa, ¿qué valor de \(p\) se recomienda por prudencia?

\(p = 0.05\).

\(p = 0.5\), ya que maximiza la variabilidad y asegura un tamaño suficiente.

\(p = 0.95\) para coincidir con el nivel de confianza.

Se puede usar cualquier valor, no afecta al resultado.

Explicación: Fórmula de tamaño muestral: \(n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1-p)}{E^2}\). La varianza \(p(1-p)\) es máxima cuando \(p = 0.5\). Por prudencia (sin conocer \(p\)), usamos \(p = 0.5\) para garantizar que \(n\) sea suficiente en cualquier escenario.

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Bloque 4: Contrastes de Hipótesis y Errores (Unidades 5-6)

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Pregunta 13

El Error de Tipo I (\(\alpha\)) se define técnicamente como:

No rechazar la hipótesis nula cuando es falsa (falso negativo).

Rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera (falso positivo).

Cometer un error en la toma de datos de la muestra.

Aceptar la hipótesis alternativa siendo esta falsa.

Explicación: Error Tipo I = Falso Positivo. Ejemplos: diagnosticar enfermedad siendo sano, rechazar un lote válido. Probabilidad = \(\alpha\) (nivel de significación). Controlamos este error directamente.

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Pregunta 14

El Error de Tipo II (\(\beta\)) ocurre cuando:

Decidimos que un modelo es útil cuando en realidad no lo es.

No rechazamos la hipótesis nula, a pesar de que la realidad muestra que es falsa.

El \(p\)-valor es menor que el nivel de significación.

La potencia del test (\(1-\beta\)) es igual a 1.

Explicación: Error Tipo II = Falso Negativo. Ejemplo: no diagnosticar una enfermedad siendo enfermo. Probabilidad = \(\beta\). Potencia = \(1 - \beta\) = capacidad de detectar un efecto verdadero. Aumentar \(n\) reduce \(\beta\).

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Pregunta 15

En un contraste de hipótesis, si el \(p\)-valor obtenido es 0.03 y nuestro nivel de significación \(\alpha\) es 0.01, ¿cuál es la decisión correcta?

Rechazar la hipótesis nula.

No rechazar la hipótesis nula, ya que el \(p\)-valor es mayor que \(\alpha\).

Aceptar la hipótesis nula como verdadera.

Cambiar el nivel de significación a 0.05 para poder rechazar.

Explicación: Regla: \(p\)-valor > \(\alpha\) → No rechazamos \(H_0\). En este caso: 0.03 > 0.01. No hay evidencia suficiente para rechazar. Nunca cambies \(\alpha\) post-hoc basado en los datos (es mal práctica, "p-hacking").

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Pregunta 16

¿Qué representa realmente el \(p\)-valor en un test estadístico?

La probabilidad de que la hipótesis nula sea cierta.

La probabilidad de obtener un resultado tan extremo o más que el observado, asumiendo que la hipótesis nula es verdadera.

La probabilidad de que el investigador haya cometido un error.

El valor exacto del parámetro poblacional.

Explicación: \(p\)-valor = \(P(\text{datos observados o más extremos} \mid H_0 \text{ verdadera})\). Es una probabilidad condicional, no una probabilidad posterior sobre \(H_0\). Malinterpretación común confundirlo con \(P(H_0 \mid \text{datos})\) (que requiere Bayes).

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Bloque 5: Tests Específicos (Unidad 6)

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Pregunta 17

El test de Kolmogorov-Smirnov (KS) destaca por:

Comparar únicamente las medias de dos grupos.

Ser sensible a diferencias en cualquier parte de la distribución (forma, centro, colas) al medir la máxima diferencia absoluta.

Aplicarse solo a variables cualitativas nominales.

Requerir que la muestra sea mayor de 1000 datos obligatoriamente.

Explicación: KS mide \(D = \max |F_{emp}(x) - F_{teórica}(x)|\), lo que lo hace sensible a desviaciones en cualquier punto de la distribución, no solo en el centro. Aplicable a variables continuas, sin necesidad de muestras gigantes.

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Pregunta 18

Para comprobar si el "tipo de dispositivo" influye en la "tasa de clics" (variables categóricas) en una web, ¿qué test es el más adecuado?

Test \(t\) de Student.

Test Chi-cuadrado de independencia.

Test F de Snedecor.

Regresión lineal simple.

Explicación: Ambas variables son categóricas → Chi-cuadrado. Test \(t\) es para medias (variables continuas). ANOVA/F compara varianzas de grupos. Regresión lineal requiere variable dependiente continua.

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Pregunta 19

En un test Chi-cuadrado de bondad de ajuste con 5 categorías y sin estimar parámetros, ¿cuántos grados de libertad se utilizan?

5.

4 (calculado como \(k-1\)).

3.

6.

Explicación: Para bondad de ajuste: \(gl = k - 1\) donde \(k\) = número de categorías. Si se estiman parámetros, se restan más grados de libertad. Aquí: \(gl = 5 - 1 = 4\).

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Pregunta 20

La distribución F de Snedecor se utiliza fundamentalmente para:

Estimar la media de una población normal.

Comparar las varianzas de dos poblaciones o realizar un análisis de varianza (ANOVA).

Calcular la probabilidad de éxito en un solo ensayo.

Modelar el número de errores en un batch de datos.

Explicación: F es el cociente de dos variables Chi-cuadrado independientes. Usos: (1) test de igualdad de varianzas, (2) ANOVA (comparar medias de múltiples grupos vía varianzas). En IA: comparar estabilidad de algoritmos.

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Bloque 6: Conceptos Integradores (IA y Descriptiva)

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Pregunta 21

¿Por qué es fundamental el Teorema Central del Límite (TCL) en la inferencia estadística?

Porque garantiza que los datos siempre son positivos.

Porque permite afirmar que la media muestral sigue una distribución aproximadamente normal si \(n\) es suficientemente grande, sin importar la distribución original.

Porque elimina la necesidad de limpiar los datos (EDA).

Porque asegura que la varianza poblacional es siempre conocida.

Explicación: TCL: si \(n\) es grande (típicamente \(n \geq 30\)), \(\bar{X} \approx N(\mu, \sigma^2/n)\) sin importar la distribución de X. Esto justifica el uso de métodos normales en inferencia incluso con datos no-normales, permitiendo intervalos de confianza y tests basados en Normal.

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Pregunta 22

Si un dataset de salarios tiene una media de 50k y una mediana de 30k, ¿qué transformación es aconsejable para el modelado en IA?

Elevar los datos al cuadrado para aumentar la diferencia.

Aplicar una transformación logarítmica para reducir el sesgo positivo (cola a la derecha).

No hacer nada, ya que la media siempre es la mejor medida.

Restar la mediana a todos los valores.

Explicación: Media > Mediana indica sesgo positivo (cola derecha, salarios altos extremos). Transformación logarítmica \(\log(X)\) comprime valores altos y expande bajos, reduciendo sesgo. Beneficios: facilita modelado, mejora linealidad, reduce efecto de outliers.

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Pregunta 23

La covarianza negativa entre "tiempo de CPU" y "memoria libre" indica que:

Existe una relación lineal inversa fuerte.

Cuando el tiempo de CPU aumenta, la memoria libre tiende a disminuir.

No existe ninguna relación entre las variables.

Se ha cometido un error, ya que el tiempo no puede ser negativo.

Explicación: Covarianza negativa → relación lineal negativa. Cuando CPU sube, memoria baja (inversamente proporcionales). No confundir con "fuerte" (depende de la magnitud); necesitarías correlación de Pearson \(r\) normalizada para evaluar fuerza. Signo negativo es perfectamente válido.

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Pregunta 24

¿Cuál es el riesgo de "aceptar" formalmente la hipótesis nula tras un test con un \(p\)-valor de 0.06?

Ninguno, es la conclusión lógica.

El riesgo es que la ausencia de evidencia contra \(H_0\) no es evidencia de su veracidad; solo podemos decir que "no se rechaza".

Que el Error de Tipo I se vuelve infinito.

Que los grados de libertad se pierden.

Explicación: No rechazar \(H_0\) (cuando \(p > \alpha\)) NO significa "aceptar" \(H_0\) como cierta. Solo significa falta de evidencia suficiente para rechazarla. Diferencia sutil pero crucial: ausencia de evidencia ≠ evidencia de ausencia. El tamaño muestral podría ser insuficiente.

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Soluciones Desarrolladas

Solución pregunta 1 — Escala de razón en tiempos

Concepto: Característica definitoria de escala de razón

Una escala de razón requiere:

1. Cero absoluto: 0 ms = ausencia total de tiempo (no arbitrario)
2. Operaciones aritméticas válidas: suma, resta, multiplicación, división
3. Proporciones interpretables: "10 ms es el doble de 5 ms" tiene sentido físico

Comparación con otras escalas:

• Nominal: sin orden (colores)
• Ordinal: orden, sin distancia fija (ranking)
• Intervalo: distancia fija, cero arbitrario (Celsius: 0°C ≠ ausencia de calor)
• Razón: distancia fija, cero natural (Kelvin, tiempo, dinero)

En sistemas: tiempo de respuesta en ms es claramente razón.

Solución pregunta 2 — Interpretación de boxplot en comparación de algoritmos

Concepto: Componentes visuales del boxplot

El ancho de la caja = IQR = rango intercuartílico = dispersión del 50% central.

Comparación (misma mediana, cajas diferentes):

• Caja ancha → mayor variabilidad central
• Caja estrecha → menor variabilidad central

Lo que NO nos dice:

• No implica diferencia en media (mediana ≠ media)
• No implica velocidad absoluta (necesitas mediana/media)
• No implica presencia/ausencia de outliers (que están fuera de bigotes)

Interpretación correcta: Algoritmo A es más variable en su rendimiento central.

Solución pregunta 3 — Interpretación correcta de R²

Concepto: R² como bondad de ajuste

\[R^2 = 1 - \frac{\sum(y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum(y_i - \bar{y})^2} = \frac{\text{Variación explicada}}{\text{Variación total}}\]

Con \(R^2 = 0.9239\):

• El modelo explica el 92.39% de la variación en Y
• El 7.61% es residual (otros factores + ruido)

Lo que NO significa:

• ✗ No es porcentaje de "aciertos" en producción (eso sería accuracy, precisión, etc.)
• ✗ No es igual a la correlación \(r\) (aquí: \(r = \sqrt{0.9239} \approx 0.961\))
• ✗ No predice error promedio (MAE = media de |residuos|)

Nota: \(R^2\) alto puede haber overfitting; validar en test set.

Solución pregunta 4 — Interpretación de pendiente negativa en regresión

Concepto: Parámetros de recta de regresión \(\hat{y} = a + bx\)

Con \(b = -0.204\) (precio ~ kilometraje):

• Signo negativo: relación inversa (más km = menos precio)
• Magnitud: cada km adicional reduce precio 0.204 €

Distinción de parámetros:

• \(a\) (ordenada): precio predicho cuando km = 0
• \(b\) (pendiente): cambio en Y por unidad de X
• \(R^2\): bondad del ajuste (no se confunde con \(b\))

La relación inversa tiene sentido (coches usados se deprecian), indicando que el modelo captura la realidad.

Solución pregunta 5 — Utilidad de la Función Generatriz de Momentos

Concepto: MGF como caracterizador de distribuciones

Definición: $\(M_X(t) = E[e^{tX}] = \sum_x e^{tx} p(x) \quad \text{(discreta)}\)$ $\(M_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f(x) dx \quad \text{(continua)}\)$

Propiedades:

1. Caracterización única: cada distribución tiene MGF única (si existe)
2. Cálculo de momentos: \(E[X^n] = M_X^{(n)}(0)\)

Ejemplos:

• \(M_X'(0) = E[X]\)
• \(M_X''(0) = E[X^2]\), entonces \(\text{Var}(X) = M_X''(0) - (M_X'(0))^2\)

Herramienta teórica poderosa en teoría de probabilidad.

Solución pregunta 6 — Propiedades obligatorias de CDF

Concepto: Requisitos para función de distribución acumulada

Propiedades obligatorias de \(F(x) = P(X \le x)\):

1. \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\)
2. \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1\) ✓
3. \(F(x)\) monótona no-decreciente (puede ser plana o subir)
4. \(0 \le F(x) \le 1\) para todo \(x\)

Lo que NO es obligatorio:

• ✗ Continuidad: distribuciones discretas tienen saltos
• ✗ Forma específica: puede ser escalonada, lineal, curva, etc.
• ✗ Derivada: \(f(x) = F'(x)\) solo si \(X\) continua

Aplica a: Normal, Poisson, Exponencial, Uniforme, etc.

Solución pregunta 7 — Falta de memoria en exponencial

Concepto: Propiedad markoviana de la distribución exponencial

Definición matemática: $\(P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)\)$

Interpretación: Si un sistema ha funcionado \(s\) unidades de tiempo sin fallar, la probabilidad de que siga funcionando \(t\) unidades más es la misma que si acabara de iniciarse (como si "olvidara" el tiempo pasado).

Ejemplo cuantitativo:

• Componente con vida exponencial: \(P(\text{falla en próximos 10h} \mid \text{ya funcionó 100h}) = P(\text{falla en próximos 10h})\)

Aplicaciones:

• Tiempo de vida sin envejecimiento
• Llegadas de clientes a colas (Poisson)
• Desintegración radiactiva

Distribuciones sin esta propiedad: Weibull (modela envejecimiento)

Solución pregunta 8 — Aproximación de Poisson a Binomial

Concepto: Límite de Binomial en caso de eventos raros

Teorema: Si \(n \to \infty, p \to 0\) con \(np = \lambda\) constante: $\(\lim_{n,p \to ?} \text{Binomial}(n,p) = \text{Poisson}(\lambda)\)$

Condiciones prácticas:

• \(n \ge 30\) (muestra grande)
• \(p \le 0.1\) (probabilidad pequeña)
• \(np = \lambda\) moderado (típicamente 0.1-10)

Ejemplo:

• 1000 operaciones (n), probabilidad de fallo 0.001 (p)
• \(\lambda = 1000 \times 0.001 = 1\)
• \(P(X=k) \approx \frac{e^{-1} \cdot 1^k}{k!}\) (Poisson)

Ventaja: Poisson es más simple (un parámetro vs. dos).

Solución pregunta 9 — Estimador insesgado

Concepto: Propiedad de insesgadez en estimadores

Definición: Un estimador \(\hat{\theta}\) es insesgado para parámetro \(\theta\) si: $\(E[\hat{\theta}] = \theta\)$

Ejemplos:

• Media muestral: \(E[\bar{X}] = \mu\) ✓ insesgada
• Varianza muestral: \(E\left[\frac{1}{n-1}\sum(X_i - \bar{X})^2\right] = \sigma^2\) ✓ insesgada
• Varianza sesgada: \(E\left[\frac{1}{n}\sum(X_i - \bar{X})^2\right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2\) ✗ sesgada

Nota importante:

• Insesgadez ≠ precisión (baja varianza)
• Un estimador puede ser insesgado pero impreciso (alta varianza)
• A veces un estimador sesgado pero muy preciso es mejor (menor ECM)

Solución pregunta 10 — Distribución t de Student para IC

Concepto: Condiciones para usar t en lugar de Z

Usa t de Student cuando:

1. Datos aproximadamente normales
2. Varianza poblacional \(\sigma^2\) desconocida (criterio principal)
3. Tamaño muestral pequeño (n < 30)
4. Grados de libertad: \(\nu = n - 1\)

Comparación: | Condición | Usar | |---|---| | \(\sigma^2\) conocida, cualquier n | Z | | \(\sigma^2\) desconocida, n < 30 | t | | \(\sigma^2\) desconocida, n ≥ 30 | Z (t converge a Z) |

Diferencia: \(t\) tiene colas más pesadas que Normal, resultando intervalos más amplios (conservador).

Razón: con \(\sigma\) estimado (no conocido), hay incertidumbre adicional.

Solución pregunta 11 — Efecto del tamaño muestral en IC

Concepto: Relación entre n y amplitud del intervalo

Fórmula de amplitud: $\(\text{Amplitud} = 2 \times z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)$

Al aumentar \(n\):

• Denominador \(\sqrt{n}\) crece
• Amplitud disminuye (intervalo más estrecho)
• Precisión aumenta (estimación más exacta)

Relación cuadrática:

• Para reducir amplitud a la mitad: necesitas \(n_{\text{nuevo}} = 4 \times n_{\text{actual}}\)
• Para reducir amplitud a la tercera parte: necesitas \(n_{\text{nuevo}} = 9 \times n_{\text{actual}}\)

El nivel de confianza se controla independientemente con \(z_{\alpha/2}\).

Solución pregunta 12 — Tamaño muestral para proporciones

Concepto: Estrategia cuando se desconoce p

Fórmula general: $\(n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \times p(1-p)}{E^2}\)$

Función \(p(1-p)\) (varianza de proporción): $\(\\text{máximo cuando } p = 0.5 : p(1-p) = 0.5 \times 0.5 = 0.25\)$

Estrategia por prudencia:

• Si no conocemos \(p\), usamos \(p = 0.5\)
• Esto maximiza la varianza → garantiza \(n\) suficiente en cualquier caso
• Si luego descubrimos que \(p \ne 0.5\), habremos recolectado más datos de lo necesario (seguro, pero más caro)

Ventaja: evita sorpresas de tamaño insuficiente.

Solución pregunta 13 — Error de Tipo I

Concepto: Falso positivo en contrastes de hipótesis

	\(H_0\) Verdadera	\(H_0\) Falsa
Rechazar \(H_0\)	Error Tipo I (α)	Correcto (potencia)
No Rechazar	Correcto	Error Tipo II (β)

Error Tipo I:

• Definición: Rechazar \(H_0\) siendo \(H_0\) verdadera (falso positivo)
• Probabilidad: \(\alpha\) (nivel de significación)
• Controlamos este error directamente fijando \(\alpha\) (ej. 0.05)

Ejemplos clínicos:

• Diagnosticar enfermedad siendo sano
• Tratamiento innecesario, costos, efectos adversos

En inferencia: entre α y β hay trade-off; aumentar \(n\) reduce ambos.

Solución pregunta 14 — Error de Tipo II

Concepto: Falso negativo en contrastes de hipótesis

Error Tipo II:

• Definición: No rechazar \(H_0\) siendo \(H_0\) falsa (falso negativo)
• Probabilidad: \(\beta\)
• Potencia del test: \(1 - \beta\) = capacidad de detectar efecto verdadero

Formas de reducir \(\beta\) (aumentar potencia):

1. Aumentar tamaño muestral \(n\)
2. Aumentar nivel de significación \(\alpha\) (aumenta Error I, trade-off)
3. Mejorar diseño experimental

Ejemplos clínicos:

• No diagnosticar enfermedad siendo enfermo
• Paciente no recibe tratamiento necesario

En análisis de potencia, tipicamente fijamos \(\beta = 0.2\) (potencia = 0.8).

Solución pregunta 15 — Decisión con p > α

Concepto: Interpretación correcta de p-valor en relación a α

Regla de decisión:

• Si \(p\text{-valor} < \alpha\) → Rechazamos \(H_0\) (resultado significativo)
• Si \(p\text{-valor} \ge \alpha\) → No rechazamos \(H_0\) (resultado no significativo)

En este caso: \(p = 0.03, \alpha = 0.01\)

• Comparación: \(0.03 > 0.01\) ✓
• Decisión: No rechazamos \(H_0\)

Interpretación:

• Aunque el p-valor es pequeño (0.03), no es lo suficientemente pequeño respecto a nuestro criterio (0.01)
• Si \(H_0\) fuera cierta, observar estos datos ocurriría el 3% de las veces
• Pero toleramos hasta el 1%, así que falta evidencia

⚠ Error común: cambiar \(\alpha\) post-hoc basado en datos ("p-hacking")

Solución pregunta 16 — Definición correcta de p-valor

Concepto: Interpretación frecuentista del p-valor

Definición correcta: $\(p\text{-valor} = P(\text{datos observados o más extremos} \mid H_0 \text{ verdadera})\)$

Interpretación:

• Asumiendo \(H_0\) cierta
• ¿Qué probabilidad hay de ver estadístico tan extremo o más?

Malinterpretaciones COMUNES:

• ✗ "Probabilidad de que \(H_0\) sea cierta": eso es \(P(H_0 | \text{datos})\) (Bayes)
• ✗ "Probabilidad de que cometimos error": es condicional, no marginal
• ✗ "Probabilidad de que \(H_1\) sea cierta"

Implicación: p-valor bajo → datos incompatibles con \(H_0\) (evidencia contra) pero no prueba que \(H_0\) sea falsa.

Solución pregunta 17 — Test de Kolmogorov-Smirnov

Concepto: Bondad de ajuste sensible a cambios distribucionales

Objetivo: ¿Esta muestra sigue una distribución teórica?

Estadístico: $\(D = \max_x |F_{\text{empírica}}(x) - F_{\text{teórica}}(x)|\)$

Ventajas:

1. Sensible a diferencias en cualquier parte (no solo media)

2. Centro (localización)

3. Forma (simetría, curtosis)

4. Colas

5. No requiere categorizar datos (vs. Chi-cuadrado)

6. Aplicable a distribuciones continuas

Aplicación: Verificar si residuos de modelo siguen \(N(0, \sigma^2)\)

Limitación: menos potente con varianzas desconocidas.

Solución pregunta 18 — Test Chi-cuadrado para variables categóricas

Concepto: Independencia entre variables categóricas

Situación: dos variables nominales (dispositivo, tasa de clics) → Chi-cuadrado

Por qué NO otras opciones:

• Test t: para medias de variable continua (tasa podría ser continua, pero "tipo dispositivo" es nominal)
• F/ANOVA: para comparar medias de múltiples grupos
• Regresión lineal: requiere variable dependiente continua con relación lineal

Estadístico Chi-cuadrado: $\(\chi^2 = \sum_{i,j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}\)$

donde \(O\) = observado, \(E\) = esperado bajo independencia.

Hipótesis:

• \(H_0\): dispositivo e independientes de tasa de clics
• \(H_1\): existe asociación

Solución pregunta 19 — Grados de libertad en Chi-cuadrado

Concepto: Cálculo de gl en bondad de ajuste

Para bondad de ajuste (comparar muestra vs. distribución teórica): $\(gl = k - 1\)$ donde \(k\) = número de categorías.

En este caso: \(k = 5\) categorías $\(gl = 5 - 1 = 4\)$

Corrección si se estiman parámetros:

• Si estimamos \(m\) parámetros: \(gl = k - 1 - m\)
• Ejemplo: Si estimamos media y varianza (2 parámetros): \(gl = 5 - 1 - 2 = 2\)

Razón: cada restricción (parámetro estimado) consume grado de libertad.

Nota: Para independencia (tabla de contingencia): \(gl = (r-1)(c-1)\)

Solución pregunta 20 — Distribución F de Snedecor

Concepto: Cociente de varianzas

Definición: $\(F = \frac{\chi^2_{\nu_1}/\nu_1}{\chi^2_{\nu_2}/\nu_2}\)$

(cociente de dos Chi-cuadrado independientes divididas por sus gl)

Usos principales:

1. Test de igualdad de varianzas: \(\frac{s_1^2}{s_2^2} \sim F\)
2. ANOVA: comparar medias de múltiples grupos vía análisis de varianzas
3. Regresión: test de significación conjunta de coeficientes

En IA:

• Comparar estabilidad de algoritmos (varianza de errores)
• Seleccionar algoritmo más consistente

Propiedades: dependencia en dos gl (\(\nu_1, \nu_2\)), distribución sesgada positivamente.

Solución pregunta 21 — Teorema Central del Límite (TCL)

Concepto: Convergencia de media muestral a normalidad

Enunciado: Si \(X_1, X_2, ..., X_n\) son iid con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\) finita: $\(\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \approx N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \quad \text{cuando } n \text{ es grande}\)$

Criterio práctico: \(n \ge 30\) (regla de oro).

Importancia en inferencia:

1. Justifica usar método Normal incluso si datos originales no son normales
2. Base de intervalos de confianza y tests de hipótesis
3. Explica por qué media muestral es "estable" con muestras grandes

Ejemplo: ingresos (muy sesgados) → media de 100 personas → aproximadamente normal.

Solución pregunta 22 — Transformación logarítmica para sesgo

Concepto: Normalización de datos sesgados

Diagnóstico: Media (50k) >> Mediana (30k)

• Sesgo positivo (cola derecha)
• Pocos salarios muy altos "tiran" de la media

Transformación logarítmica: \(Y = \log(X)\)

Efectos:

• Comprime valores altos (50k → log(50k) ≈ 10.82)
• Expande valores bajos (20k → log(20k) ≈ 9.90)
• Reduce rango relativo, acerca distribución a simetría

Ventajas en modelado:

• Mejora linealidad (relaciones exponenciales → lineales)
• Estabiliza varianza (homocedasticidad)
• Reduce efecto de outliers
• Mejora rendimiento de algoritmos (especialmente regresión lineal, ML)

Nota: transformación solo valida para \(X > 0\).

Solución pregunta 23 — Covarianza negativa e interpretación

Concepto: Covarianza como medida de co-variabilidad

Definición: $\(\text{Cov}(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]\)$

Con Cov(CPU, Memoria) < 0:

• Cuando CPU ↑, Memoria tiende a ↓
• Relación lineal negativa (inversa)

Lo que NO implica:

• ✗ Relación "fuerte" (depende de magnitud: necesitas \(r = \frac{\text{Cov}}{\sigma_X \sigma_Y}\))
• ✗ Relación causal (solo correlación)

Interpretación física:

• CPUs con uso intenso consumen más memoria disponible (lógico)
• Covarianza captura esta co-variabilidad

Nota: Signo negativo es totalmente válido en variables cuantitativas (tempo, dinero, energía, etc.).

Solución pregunta 24 — Riesgo de aceptar H₀

Concepto: Diferencia entre "no rechazar" y "aceptar"

Lenguaje correcto:

• ✓ "No rechazamos \(H_0\)" (cuando p > α)
• ✗ "Aceptamos \(H_0\)" (incorrecto)

Razón:

• Falta de evidencia contra \(H_0\) ≠ Evidencia de que \(H_0\) es cierta
• Analogía: "No culpable" ≠ "Inocente"

Riesgos de "aceptar" \(H_0\):

1. Tamaño muestral insuficiente: si \(n\) es pequeño, no tienes poder para detectar efectos reales
2. Error Tipo II: no rechazar siendo \(H_0\) falsa (probabilidad = \(\beta\))
3. Conclusión apresurada: solo significa que no hay evidencia suficiente

Mejor práctica: reportar potencia del test y tamaño del efecto junto con p-valor.