Práctica 7 Variante v2 (incl. R)

Duración estimada: 120 minutos.

Instrucciones

• Responde marcando la opción correcta (a, b, c, d). Puede haber más de una correcta: marca todas las que correspondan.
• En las preguntas de cálculo se pide elegir la(s) opción(es) correcta(s); debajo de cada pregunta se incluye la solución desarrollada para estudiar.

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Bloque 1: Análisis Descriptivo y Escalas (Unidades 1-2)

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Pregunta 1

Una variable que mide la temperatura en grados Celsius se clasifica en la escala de:

Razón, porque tiene un cero absoluto.

Nominal, porque solo etiqueta categorías.

De intervalo, porque el cero es arbitrario y no indica ausencia de calor.

Ordinal, ya que solo importa el orden.

Explicación: En Celsius, 0°C es arbitrario (punto de congelación del agua), no significa ausencia de temperatura. Se pueden restar diferencias (0°C a 10°C = 10 unidades), pero no tienen sentido proporciones ("20°C es el doble de 10°C"). Si usamos Kelvin (cero absoluto), sería razón.

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Pregunta 2

Si el coeficiente de variación (CV) de los tiempos de carga de una App es del 85%, esto indica:

Que la media es mayor que la desviación típica.

Una alta dispersión relativa de los datos respecto a su media.

Que el modelo de regresión explica el 85% de los fallos.

Que los datos son muy homogéneos.

Explicación: CV = (σ / μ) × 100%. Un CV del 85% significa que la desviación típica es el 85% del valor de la media, indicando alta variabilidad relativa. CV bajo (<25%) = datos homogéneos; CV alto (>75%) = datos heterogéneos/dispersos.

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Pregunta 3

En un diagrama de caja (boxplot), si observas puntos aislados más allá de los "bigotes", estos representan:

Los cuartiles Q1 y Q3.

La mediana de la distribución.

Valores atípicos (outliers) que podrían ser errores o casos raros.

El rango intercuartílico (IQR).

Explicación: Los bigotes se extienden hasta Q1 - 1.5×IQR (inferior) y Q3 + 1.5×IQR (superior). Puntos fuera de estos límites son outliers. Pueden ser: errores de medición, datos reales extremos, o fenómenos genuinos raros. Importante investigar antes de eliminarlos.

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Pregunta 4

El Coeficiente de Determinación (\(R^2\)) en una regresión lineal mide:

El error absoluto cometido en cada predicción.

La proporción de la variabilidad de la variable dependiente explicada por el modelo.

La pendiente de la recta de regresión.

Si existe una relación de causa y efecto demostrada.

Explicación: \(R^2 = \frac{\text{Variación explicada}}{\text{Variación total}}\). Rango 0-1. \(R^2 = 0.75\) → 75% explicado, 25% por otros factores. No implica causalidad ni es porcentaje de "aciertos".

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Pregunta 5

Si la covarianza entre "Uso de CPU" y "Temperatura del procesador" es 150.5 (positiva), podemos afirmar que:

Las variables tienen una relación lineal inversa.

Las variables tienden a variar en el mismo sentido.

La relación es perfecta y sin error.

No existe ninguna relación entre las variables.

Explicación: Covarianza positiva → cuando CPU sube, temperatura tiende a subir (co-variación directa). La magnitud (150.5) no determina "fuerza" (depende de unidades). Usar correlación de Pearson \(r\) para medir fuerza (normalizado entre -1 y 1).

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Bloque 2: Variables Aleatorias y Modelos (Unidades 3-4)

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Pregunta 6

¿Cuál de las siguientes es una propiedad obligatoria de cualquier Función de Distribución Acumulada \(F(x)\)?

Debe ser continua en todos sus puntos.

Su límite cuando \(x \to \infty\) es siempre 1.

Es siempre monótona decreciente.

Solo puede tomar valores enteros.

Explicación: Propiedades obligatorias: \(\lim_{x \to -\infty} F(x)=0\), \(\lim_{x \to \infty} F(x)=1\), monótona no-decreciente, \(0 \le F(x) \le 1\). No obligatoria: continuidad (distribuciones discretas tienen saltos).

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Pregunta 7

Si \(X\) es una variable aleatoria con \(E[X] = 10\), ¿cuál es el valor esperado de la transformación \(Y = 2X + 5\)?

25.

20.

15.

10, porque la esperanza no cambia con constantes.

Explicación: Por linealidad de esperanza: \(E[2X+5] = 2 \cdot E[X] + 5 = 2(10) + 5 = 25\). Error común: confundir con que la esperanza "no cambia" (falso: sí cambia por la transformación lineal).

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Pregunta 8

La Función Generatriz de Momentos (MGF) sirve primordialmente para:

Calcular la mediana sin ordenar los datos.

Determinar todos los momentos de la distribución y caracterizarla de forma única.

Dibujar el histograma de forma automática.

Calcular el margen de error de un intervalo de confianza.

Explicación: \(M_X(t) = E[e^{tX}]\). Derivando: \(E[X^n] = M_X^{(n)}(0)\). Si existe, caracteriza la distribución únicamente. Herramienta teórica poderosa.

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Pregunta 9

En Machine Learning, para modelar el número de correos spam recibidos en una hora, la distribución más adecuada es:

Bernoulli.

Binomial, con \(n=1\).

Poisson, ya que cuenta eventos en un intervalo fijo.

Exponencial, para medir la cantidad de correos.

Explicación: Poisson modela conteo de eventos en un intervalo fijo. Bernoulli/Binomial son para sí/no por ensayo. Exponencial modela tiempo entre eventos, no cantidad.

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Pregunta 10

Un sistema tiene una probabilidad de fallo por intento de \(p=0.01\). ¿Qué distribución modela el número de intentos hasta el primer fallo?

Binomial.

Poisson.

Geométrica.

Normal.

Explicación: Distribución Geométrica: número de ensayos hasta primer éxito (o fallo). Con \(p=0.01\), esperanza = 1/p = 100 intentos promedio antes de fallo.

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Pregunta 11

¿Qué característica define a la distribución Exponencial debido a su "falta de memoria"?

El sistema se vuelve más propenso a fallar conforme pasa el tiempo.

La probabilidad de que ocurra un evento en el futuro es independiente del tiempo ya transcurrido.

Olvida los valores atípicos para mantener la simetría.

La varianza siempre es el doble de la media.

Explicación: \(P(X > s+t | X > s) = P(X > t)\). El futuro es independiente del pasado. Ideal para procesos sin envejecimiento.

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Pregunta 12

Para una variable \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\), ¿qué porcentaje aproximado de datos cae en el intervalo \([\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]\)?

68.3%.

99.7%.

95.4%.

50%.

Explicación: Regla empírica 68-95-99.7: 68% en 1σ, 95% en 2σ, 99.7% en 3σ.

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Bloque 3: Inferencia Estadística (Unidades 5-6)

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Pregunta 13

Un estimador se denomina "insesgado" si:

Su varianza disminuye al aumentar el tamaño de la muestra.

Su valor esperado coincide con el verdadero parámetro poblacional.

Proporciona siempre el mismo valor en todas las muestras.

Su error cuadrático medio (ECM) es infinito.

Explicación: \(E[\hat{\theta}] = \theta\) es insesgadez. Ejemplo: \(E[\bar{X}] = \mu\).

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Pregunta 14

Al construir un intervalo de confianza para la media, si pasamos de una confianza del 90% al 95% (manteniendo \(n\) constante):

El intervalo se estrecha y es más preciso.

El intervalo se ensancha para abarcar más probabilidad.

No hay cambios en la amplitud.

El nivel de significación \(\alpha\) aumenta.

Explicación: Mayor confianza (90% → 95%) → mayor multiplicador \(z_{\alpha/2}\) (1.645 → 1.96) → intervalo más ancho.

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Pregunta 15

El Error de Tipo II (\(\beta\)) en un contraste de hipótesis consiste en:

Rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera.

No rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa.

Obtener un p-valor menor que \(\alpha\).

Cometer un error de cálculo en la varianza muestral.

Explicación: Error Tipo II = Falso Negativo. Probabilidad = β. Potencia = 1-β.

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Pregunta 16

Si realizas un test con \(\alpha = 0.05\) y obtienes un p-valor de 0.001, la conclusión es:

No rechazar \(H_0\), la evidencia es muy débil.

Rechazar \(H_0\), el resultado es altamente significativo estadísticamente.

El test no es válido porque el p-valor debe ser mayor que \(\alpha\).

Aceptar \(H_0\) como verdad absoluta.

Explicación: p-valor (0.001) < α (0.05) → rechazar \(H_0\). Resultado altamente significativo.

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Pregunta 17

El test de Kolmogorov-Smirnov (KS) se utiliza para:

Comparar las medias de tres o más grupos.

Verificar la independencia entre dos variables categóricas.

Contrastar la bondad de ajuste de una muestra a una distribución teórica (ej. Normal).

Predecir la variable dependiente en una regresión.

Explicación: KS prueba si datos siguen una distribución teórica. Sensible a diferencias en cualquier parte de la distribución.

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Pregunta 18

En una tabla de contingencia de \(3 \times 4\), ¿cuántos grados de libertad tendría el estadístico Chi-cuadrado para el test de independencia?

12.

7.

6 (calculado como \((3-1) \times (4-1)\)).

5.

Explicación: gl = (filas-1)(columnas-1) = 2×3 = 6.

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Pregunta 19

La distribución \(t\) de Student se prefiere sobre la Normal para inferencia de medias cuando:

La muestra es muy grande (\(n > 100\)).

La varianza poblacional es desconocida y la muestra es pequeña.

Los datos son cualitativos nominales.

Queremos comparar varianzas poblacionales.

Explicación: Usa \(t\) con \(\nu=n-1\) gl cuando: datos normales, \(\sigma^2\) desconocida, \(n\) pequeño.

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Pregunta 20

Según el Teorema Central del Límite (TCL), la distribución de la media muestral tiende a la Normal si:

Los datos originales ya son normales.

El tamaño de la muestra es suficientemente grande (\(n \ge 30\)).

La varianza de los datos es cero.

El experimento se realiza una sola vez.

Explicación: TCL: \(\bar{X} \approx N(\mu, \sigma^2/n)\) cuando \(n\) es grande, sin importar distribución original.

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Bloque 4: Programación y Software (R)

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Pregunta 21

En R, para asignar un vector con los valores 10, 20 y 30 a la variable datos, se usa:

datos <- c(10, 20, 30).

datos = list(10, 20, 30).

datos =.

datos <- vector(10, 20, 30).

Explicación: Función c() concatena elementos en vector. list() crea lista (estructura diferente). vector() requiere argumentos distintos.

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Pregunta 22

¿Qué función de R permite calcular la media aritmética de un vector de datos?

average().

mean().

median().

sd().

Explicación: mean() = media, median() = mediana, sd() = desviación típica.

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Pregunta 23

Si quieres obtener la probabilidad acumulada \(P(X \le 2)\) de una Chi-cuadrado con 5 grados de libertad en R, usas:

dchisq(2, 5).

qchisq(2, 5).

pchisq(2, 5).

rchisq(2, 5).

Explicación: En R, funciones de distribución: d=densidad, p=probabilidad acumulada (CDF), q=cuantil, r=aleatorio.

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Pregunta 24

La función t.test(x, conf.level = 0.95) en R devuelve principalmente:

El histograma de la variable x.

Un contraste de hipótesis y el intervalo de confianza para la media.

El coeficiente de correlación de Pearson.

La varianza muestral únicamente.

Explicación: t.test() realiza test t de Student, mostrando estadístico t, p-valor e IC al 95%.

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Pregunta 25

Para visualizar un diagrama de dispersión entre dos variables x e y en R básico, se utiliza:

hist(x, y).

boxplot(x, y).

plot(x, y).

barplot(x, y).

Explicación: plot() = dispersión, hist() = histograma, boxplot() = caja, barplot() = barras.

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Bloque 5: Conceptos Integradores (IA)

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Pregunta 26

En un problema de clasificación binaria (IA), la probabilidad de salida de una neurona (sigmoide) se modela mejor como:

Variable Uniforme.

Variable continua en el rango \([0,1]\).

Variable Poisson.

Constante determinista.

Explicación: Función sigmoide: \(\sigma(z) = \frac{1}{1+e^{-z}} \in [0,1]\). Modela probabilidad de clase (variable continua entre 0 y 1).

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Pregunta 27

El fenómeno "Garbage in, Garbage out" en proyectos de IA se refiere a:

Que los modelos de IA siempre limpian los datos solos.

Que datos sesgados o ruidosos producen modelos ineficaces o injustos.

Que el hardware se sobrecalienta con datos malos.

Que hay que borrar los datos después de entrenar.

Explicación: GIGO: calidad de datos → calidad de modelo. Datos sesgados = modelo sesgado. EDA es esencial.

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Pregunta 28

¿Por qué es necesario estandarizar variables (ej. media=0, sd=1) antes de usar algoritmos de distancia como kNN?

Para que las variables con escalas mayores no dominen el cálculo de la distancia.

Para eliminar todos los valores negativos de la base de datos.

Para convertir variables nominales en numéricas.

Porque R solo acepta datos estandarizados.

Explicación: Sin estandarizar, variable con rango [0, 1000] domina vs. [0, 1]. Estandarización: \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\).

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Pregunta 29

En un contraste de hipótesis, si aumentamos el tamaño de la muestra (\(n\)), la potencia del test (\(1-\beta\)):

Disminuye, porque hay más ruido.

Se mantiene igual.

Aumenta, incrementando la capacidad de detectar una \(H_0\) falsa.

Se vuelve cero.

Explicación: Mayor \(n\) → menor \(\beta\) → mayor potencia. Capacidad mejorada de detectar efectos reales.

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Pregunta 30

La distribución F de Snedecor se utiliza en IA principalmente para:

Comparar la media de una sola muestra con un valor fijo.

Realizar un ANOVA para comparar la estabilidad (varianzas) de varios algoritmos simultáneamente.

Medir el tiempo entre fallos de un sistema.

Calcular la probabilidad de éxito en un ensayo de Bernoulli.

Explicación: F = cociente de varianzas. ANOVA compara medias de grupos via varianzas. Aplicación: comparar estabilidad de algoritmos.

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Soluciones Desarrolladas

Solución pregunta 1 — Escala de intervalo en temperatura

Concepto: Diferencia entre escala de intervalo y razón

Escala de intervalo (Celsius):

• Cero arbitrario: 0°C = punto de congelación del agua (no significa ausencia de temperatura)
• Permite restas: 30°C - 10°C = 20°C (válido)
• No permite proporciones: decir "20°C es el doble de 10°C" es incorrecto (no hay razón física)

Escala de razón (Kelvin):

• Cero absoluto: 0K = ausencia total de energía térmica
• Permite proporciones: 200K es el doble de 100K

En estadística: ambas son cuantitativas continuas, pero razón es más restrictiva.

Solución pregunta 2 — Coeficiente de Variación (CV)

Concepto: Dispersión relativa respecto a la media

Definición: $\(CV = \frac{\sigma}{\mu} \times 100\%\)$

Interpretación (CV = 85%):

• La desviación típica es el 85% del valor de la media
• Indica alta dispersión relativa
• Datos muy heterogéneos/variable

Escala de referencia:

• CV < 25%: datos homogéneos
• 25% ≤ CV < 50%: dispersión moderada
• CV ≥ 50%: dispersión alta
• CV ≥ 75%: dispersión muy alta (como en este caso)

Utilidad: compara variabilidad entre variables con escalas diferentes.

Solución pregunta 3 — Outliers en boxplot

Concepto: Identificación de valores atípicos

Estructura de boxplot:

• Bigote inferior: Q1 - 1.5×IQR
• Caja: Q1 a Q3
• Línea mediana: Q2
• Bigote superior: Q3 + 1.5×IQR
• Puntos fuera: outliers

Interpretación de outliers:

1. Errores de medición/entrada
2. Datos reales extremos (valores genuinos raros)
3. Fenómenos interesantes (investigar)

Decisión: antes de eliminar, investigar causa. Pueden ser información valiosa.

Solución pregunta 4 — Coeficiente de Determinación

Concepto: R² como proporción de varianza explicada

Fórmula: $\(R^2 = \frac{\sum(\hat{y}_i - \bar{y})^2}{\sum(y_i - \bar{y})^2} = 1 - \frac{\sum(y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum(y_i - \bar{y})^2}\)$

Interpretación (R² = 0.75):

• Modelo explica el 75% de variabilidad en Y
• 25% explicado por otros factores + ruido

Lo que NO es:

• ✗ No es porcentaje de "aciertos" (requiere métrica diferente)
• ✗ No es correlación (r = √0.75 ≈ 0.866)
• ✗ No es predicción de error promedio individual

Contexto: 0.75 es bueno en ciencias sociales, pero depende del dominio.

Solución pregunta 5 — Covarianza positiva

Concepto: Dirección de co-variabilidad

Covarianza positiva > 0:

• Cuando CPU ↑, Temperatura ↑ (variación directa)
• Cuando CPU ↓, Temperatura ↓

Limitaciones:

• Magnitud depende de unidades de medida
• No indica "fuerza" de relación
• Para fuerza: usar correlación de Pearson \(r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \in [-1,1]\)

Ejemplo físico:

• CPU con alta carga → mayor actividad → más calor generado
• Relación directa (positiva)

Nota: la relación perfecta sin error es independiente de si Cov es positiva/negativa.

Solución pregunta 6 — Propiedades de CDF

Concepto: Axiomas de función de distribución acumulada

Propiedades obligatorias de \(F(x) = P(X \le x)\):

1. \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\)
2. \(\lim_{x \to \infty} F(x) = 1\) ✓
3. \(F(x)\) es monótona no-decreciente
4. \(0 \le F(x) \le 1\) para todo \(x\)

Lo que NO es obligatorio:

• Continuidad: distribuciones discretas tienen saltos (ej. Poisson)
• Monótona decreciente: es lo opuesto
• Solo para normales: existe para cualquier distribución

Aplicación: CDF es herramienta universal en probabilidad.

Solución pregunta 7 — Linealidad de esperanza

Concepto: Operador esperanza es lineal

Propiedad: $\(E[aX + b] = a \cdot E[X] + b\)$

En este caso: $\(E[2X + 5] = 2 \cdot E[X] + 5 = 2(10) + 5 = 20 + 5 = 25\)$

Error común: pensar que transformación lineal "no cambia" la esperanza (falso):

• \(E[2X] = 2 \cdot E[X] \ne E[X]\)
• \(E[X+5] = E[X] + 5 \ne E[X]\)

Nota: linealidad es diferente en varianza: $\(\text{Var}(aX+b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)\)$ (multiplicador cuadrático)

Solución pregunta 8 — MGF

Concepto: Función generatriz de momentos

Definición: $\(M_X(t) = E[e^{tX}] = \sum_x e^{tx} P(X=x) \text{ (discreta)}\)$ $\(M_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f(x) dx \text{ (continua)}\)$

Propiedad clave: derivadas dan momentos $\(E[X^n] = \frac{d^n}{dt^n} M_X(t) \bigg|_{t=0} = M_X^{(n)}(0)\)$

Utilidad:

1. Caracterización única: MGF única → distribución única (si existe)
2. Cálculo de momentos: sin integración directa
3. Sumas de variables: si X, Y independientes: \(M_{X+Y}(t) = M_X(t) \cdot M_Y(t)\)

Herramienta teórica fundamental en probabilidad.

Solución pregunta 9 — Distribución Poisson para conteo

Concepto: Modelo de eventos raros en tiempo/espacio

Poisson(\(\lambda\)):

• Modela conteo de eventos en intervalo fijo (tiempo, espacio)
• Parámetro \(\lambda\) = tasa promedio de eventos
• \(P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\)

Aplicaciones:

• Número de emails spam por hora
• Llamadas a centro de atención por minuto
• Errores por página en un documento
• Clicks en sitio web por día

Por qué no otras distribuciones:

• Bernoulli/Binomial: evento sí/no por ensayo (no conteo)
• Exponencial: tiempo ENTRE eventos (no cantidad)

Supuestos: eventos independientes, tasa constante, no hay eventos simultáneos.

Solución pregunta 10 — Distribución Geométrica

Concepto: Número de ensayos hasta primer éxito/fallo

Distribución Geométrica(p):

• \(X\) = número de intentos hasta primer éxito
• \(P(X=k) = (1-p)^{k-1} p\)
• Esperanza: \(E[X] = \frac{1}{p}\)

En este problema:

• Probabilidad de fallo por intento: \(p = 0.01\)
• Esperanza: \(E[X] = \frac{1}{0.01} = 100\) intentos promedio

Comparación con otras:

• Binomial: número de éxitos en n ensayos (fijos)
• Geométrica: número de ensayos hasta primer éxito
• Poisson: conteo de eventos en intervalo

Propiedad: "falta de memoria" igual que exponencial (análogo discreto).

Solución pregunta 11 — Falta de memoria exponencial

Concepto: Propiedad markoviana

Ecuación: $\(P(X > s+t | X > s) = P(X > t)\)$

Interpretación:

• Si un sistema ha funcionado \(s\) unidades sin fallar
• Probabilidad de fallo en próximas \(t\) unidades = igual que si empezara de cero
• "Olvida" el tiempo ya transcurrido

Implicación:

• No hay "envejecimiento": componente viejo = componente nuevo (en términos de probabilidad futura)

Aplicaciones:

• Vida de componentes electrónicos (sin desgaste visible)
• Tiempo entre llegadas en colas (proceso de Poisson)
• Desintegración radiactiva

Limitación: no modeliza bien componentes con desgaste (usar Weibull).

Solución pregunta 12 — Regla empírica 68-95-99.7

Concepto: Proporción de datos en intervalos para distribución normal

Para \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\):

Intervalo	Proporción
\([\mu - \sigma, \mu + \sigma]\)	68.3%
\([\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]\)	95.4% ✓
\([\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]\)	99.7%

Derivación: usando tabla de distribución normal estándar.

Implicaciones prácticas:

• ~95% de datos en ±2σ (muy común en tolerancias)
• Valores fuera de ±3σ son muy raros (~0.3%)

Nota: regla aplica a distribuciones aproximadamente normales.

Solución pregunta 13 — Estimador insesgado

Concepto: \(E[\hat{\theta}] = \theta\)

Ejemplo: media muestral $\(E[\bar{X}] = E\left[\frac{1}{n}\sum X_i\right] = \frac{1}{n} \sum E[X_i] = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu\)$ ✓ insesgada

Contraejemplo: máximo muestral $\(E[X_{\max}] \ne \max(\text{población})\)$ ✗ sesgado

Importancia:

• Estimador insesgado "apunta" al parámetro en promedio
• No significa sin error en caso individual
• Insesgadez + baja varianza = buen estimador

Trade-off: puede haber estimador sesgado pero con menor error cuadrático medio.

Solución pregunta 14 — Efecto confianza en amplitud

Concepto: Relación entre nivel de confianza y ancho del IC

Amplitud de IC para media: $\(\text{Amplitud} = 2 \times z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)$

Multiplicadores: | Confianza | α | \(z_{\alpha/2}\) | |---|---|---| | 90% | 0.10 | 1.645 | | 95% | 0.05 | 1.96 | | 99% | 0.01 | 2.576 |

Al aumentar confianza (90% → 95%):

• \(z_{\alpha/2}\) aumenta (1.645 → 1.96)
• Amplitud aumenta (intervalo más ancho)
• Trade-off: mayor confianza = menor precisión

Independencia: nivel de confianza se controla separadamente de tamaño muestral.

Solución pregunta 15 — Error Tipo II

Concepto: Falso negativo en contrastes

Tabla de decisiones: | | \(H_0\) Verdadera | \(H_0\) Falsa | |---|---|---| | Rechazar | Error I (α) | Correcto | | No Rechazar | Correcto | Error II (β) ✗ |

Error Tipo II:

• No rechazar \(H_0\) siendo \(H_0\) falsa
• Ejemplo: no detectar enfermedad siendo enfermo
• Probabilidad = β (no controlamos directamente)

Potencia del test: $\(\text{Potencia} = 1 - \beta = P(\text{rechazar } H_0 | H_0 \text{ falsa})\)$

Formas de aumentar potencia:

1. Aumentar \(n\) (reduce β)
2. Aumentar α (pero aumenta Error I)
3. Mejorar diseño experimental

Solución pregunta 16 — Decisión con p < α

Concepto: Interpretación de p-valor versus α

Regla de decisión:

• Si \(p\text{-valor} < \alpha\) → Rechazamos \(H_0\) ✓
• Si \(p\text{-valor} \ge \alpha\) → No rechazamos \(H_0\)

En este caso: \(p = 0.001, \alpha = 0.05\)

• 0.001 < 0.05 ✓
• Decisión: Rechazar \(H_0\)
• Interpretación: "Resultado altamente significativo al 5%"

Significado:

• Si \(H_0\) fuera cierta, observar datos tan extremos ocurriría 0.1% de veces
• Muy raro → rechazamos \(H_0\)

Nota: p-valor muy pequeño ≠ efecto muy grande (depende de tamaño muestral).

Solución pregunta 17 — Test de Kolmogorov-Smirnov

Concepto: Bondad de ajuste a distribución teórica

Propósito: ¿Muestra sigue distribución teórica?

Estadístico: $\(D = \max_x |F_{\text{empírica}}(x) - F_{\text{teórica}}(x)|\)$

Sensibilidad:

• Detecta diferencias en cualquier punto de distribución
• Centro (media, localización)
• Forma (simetría, curtosis)
• Colas

Ventajas vs. Chi-cuadrado:

• No requiere agrupar en categorías
• Retiene información en cada observación
• Aplicable a distribuciones continuas

Hipótesis:

• \(H_0\): muestra sigue distribución teórica
• \(H_1\): muestra NO sigue distribución teórica

Aplicación: verificar normalidad de residuos en regresión.

Solución pregunta 18 — Chi-cuadrado para independencia

Concepto: Relación entre dos variables categóricas

Situación: ambas variables nominales (tipo dispositivo, tasa de clics)

Tabla de contingencia: frecuencias observadas en cada combinación

Estadístico: $\(\chi^2 = \sum_{i,j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}\)$

donde \(E_{ij} = \frac{(\text{total fila i}) \times (\text{total columna j})}{\text{total general}}\)

Hipótesis:

• \(H_0\): variables independientes
• \(H_1\): variables asociadas

Por qué NO otras opciones:

• Test t: compara medias (requiere variable continua)
• ANOVA/F: compara varianzas de grupos
• Regresión: requiere relación más específica

Solución pregunta 19 — Grados de libertad Chi-cuadrado

Concepto: Cálculo de gl en bondad de ajuste

Para bondad de ajuste: $\(gl = k - 1\)$ donde \(k\) = número de categorías

En este problema:

• k = 5 categorías
• gl = 5 - 1 = 4 ✓

Corrección por parámetros estimados:

• Si estimamos \(m\) parámetros: \(gl = k - 1 - m\)
• Ejemplo: estimamos media y varianza (m=2) → gl = 5 - 1 - 2 = 2

Razón teórica:

• Una restricción (suma de frecuencias = n) reduce 1 gl
• Cada parámetro estimado reduce adicional gl

Nota: para independencia (tabla r×c): \(gl = (r-1)(c-1)\)

Solución pregunta 20 — Distribución F

Concepto: Cociente de varianzas

Definición: $\(F_{\nu_1, \nu_2} = \frac{\chi^2_{\nu_1} / \nu_1}{\chi^2_{\nu_2} / \nu_2}\)$

(cociente de dos Chi-cuadrado normalizadas por sus grados de libertad)

Usos principales:

1. Test de igualdad de varianzas: \(\frac{s_1^2}{s_2^2} \sim F\)
2. ANOVA: comparar medias de múltiples grupos vía análisis de varianzas
3. Regresión: test global de significación

Aplicación en IA:

• Comparar estabilidad de algoritmos
• Algoritmo con menor varianza = más consistente
• ANOVA: "¿Hay diferencias significativas entre 3+ algoritmos?"

Propiedades:

• Rango: \([0, \infty)\)
• Distribución sesgada positiva
• Dependencia en dos parámetros: \(\nu_1\) (numerador), \(\nu_2\) (denominador)

Solución pregunta 21 — Teorema Central del Límite

Concepto: Normalidad asintótica de media muestral

Enunciado formal: Si \(X_1, X_2, ..., X_n\) son iid con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\) finita:

\[\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1) \text{ cuando } n \to \infty\]

Equivalentemente: $\(\bar{X}_n \approx N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \quad \text{para } n \text{ grande}\)$

Criterio práctico: \(n \ge 30\)

Importancia en inferencia:

1. Justifica métodos normales incluso con datos no-normales
2. Base de intervalos de confianza para medias
3. Tests de hipótesis para medias
4. Explica estabilidad de media muestral

Ejemplo:

• Salarios (muy sesgados) → media de 100 personas → ≈ Normal
• Permite usar z-test aunque datos originales sean sesgados

Solución pregunta 22 — Escala de temperatura en R

Concepto: Asignación de vector en R

Función c() (concatenate):

• Combina elementos en vector
• c(10, 20, 30) crea vector [10, 20, 30]

Alternativas incorrectas:

• list(): crea lista (estructura recursiva, no vector simple)
• vector(): requiere argumentos vector(mode, length), ej: vector("numeric", 3)
• datos =: asignación con = funciona pero <- es estándar R

Operaciones comunes:

datos <- c(10, 20, 30)
mean(datos)       # 20
sd(datos)         # 10
length(datos)     # 3

Buena práctica: usar <- en lugar de = para consistencia.

Solución pregunta 23 — Función mean() en R

Concepto: Funciones descriptivas básicas en R

Familia de funciones:

mean(x)    # Media aritmética ✓
median(x)  # Mediana (valor central)
sd(x)      # Desviación típica (estándar)
var(x)     # Varianza
min(x)     # Mínimo
max(x)     # Máximo
sum(x)     # Suma

No existen:

• average() en base R (SAS usa este nombre)
• En R es mean()

Ejemplo:

datos <- c(10, 20, 30)
mean(datos)  # 20
sd(datos)    # 10

Nota: sd() divide por n-1 (varianza muestral).

Solución pregunta 24 — Funciones de distribución en R

Concepto: Familia de funciones para distribuciones en R

Nomenclatura: [prefijo][nombre distribución]

Prefijos:

• d: density (PDF o PMF)
• p: probability (CDF, \(P(X \le x)\)) ✓
• q: quantile (inversa de CDF, p-ésimo cuantil)
• r: random (generar valores aleatorios)

Ejemplos para Chi-cuadrado:

dchisq(2, 5)  # PDF en x=2, gl=5
pchisq(2, 5)  # P(X≤2), gl=5 ✓
qchisq(0.95, 5)  # x tal que P(X≤x)=0.95
rchisq(100, 5)  # 100 valores aleatorios

Uso: pchisq(2, 5) devuelve la probabilidad acumulada.

Solución pregunta 25 — Función t.test() en R

Concepto: Test t de Student en R

Función:

t.test(x, conf.level = 0.95)

Devuelve:

• Estadístico t: valor observado
• p-valor: probabilidad bajo \(H_0\)
• IC 95%: intervalo de confianza para media
• Media muestral: \(\bar{x}\)
• Alternativa: una o dos colas

Salida típica:

t = 2.345, df = 99, p-value = 0.0205
95 percent confidence interval:
 [1.23, 5.67]

No devuelve:

• ✗ Histograma (usar hist())
• ✗ Correlación (usar cor())
• ✗ Solo varianza (pero aparece en output)

Variantes:

t.test(x, y)  # test t de dos muestras
t.test(x, mu=100)  # test contra valor fijo

Solución pregunta 26 — Función plot() en R

Concepto: Visualización en R base

Funciones comunes:

plot(x, y)       # Diagrama de dispersión (scatter plot) ✓
hist(x)          # Histograma
boxplot(x, y)    # Diagrama de cajas
barplot(x)       # Gráfico de barras (para categóricas)
lines(x, y)      # Líneas (superponer en plot existente)

Ejemplo:

x <- rnorm(100)
y <- 2*x + rnorm(100)
plot(x, y)  # Muestra relación lineal

Opciones de plot():

plot(x, y, main="Título", xlab="X", ylab="Y", col="blue")

Para paquete ggplot2: ggplot() + geom_point()

Solución pregunta 27 — Función sigmoide en IA

Concepto: Modelado de probabilidades

Función sigmoide: $\(\sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}\)$

Propiedades:

• Rango: \((0, 1)\) ✓ (ideal para probabilidades)
• Derivada: \(\sigma'(z) = \sigma(z)(1-\sigma(z))\)
• Monótona creciente
• S-shape

Uso en clasificación binaria:

• Neurona de salida con sigmoide
• Valor ∈ [0, 1] → interpretado como P(clase=1)
• Ejemplo: 0.8 → 80% probabilidad de clase positiva

Alternativas:

• Tanh (similar, rango [-1, 1])
• ReLU (capas ocultas)
• Softmax (multi-clase)

Razón: transforma suma ponderada (-∞, ∞) en probabilidad [0, 1].

Solución pregunta 28 — Garbage In, Garbage Out (GIGO)

Concepto: Dependencia crítica en calidad de datos

Principio:

• Datos malos → modelo malo (incluso con algoritmo perfecto)
• Datos buenos + algoritmo bueno → modelo bueno

Manifestaciones:

1. Datos sesgados: modelo aprende sesgo
2. Datos ruidosos: sobreajuste, baja generalización
3. Datos incompletos: pérdida de información
4. Datos injustos: modelo discriminador

Consecuencias:

• Baja precisión en producción
• Predicciones injustas (bias)
• Errores en subgrupos

Solución: Análisis Exploratorio de Datos (EDA)

• Detectar anomalías, sesgos, patrones
• Limpiar y transformar datos
• Validación en test set

Solución pregunta 29 — Estandarización en kNN

Concepto: Escalado de variables en algoritmos de distancia

Problema: sin estandarizar

• Variable 1: rango [0, 1000]
• Variable 2: rango [0, 1]
• Distancia euclidiana dominada por Variable 1
• Variable 2 prácticamente ignorada

Estandarización: \(z_i = \frac{x_i - \mu}{\sigma}\)

• Ambas variables: media 0, sd 1
• Rango típico: [-3, 3]
• Contribución equilibrada

Algoritmos afectados:

• kNN: basado en distancia ✓
• k-means: basado en distancia ✓
• SVM: basado en distancia ✓
• Árboles/Random Forest: menos sensibles (basados en divisiones)

Nota: no es necesario si todas variables tienen escala similar.

Solución pregunta 30 — Potencia del test vs. tamaño muestral

Concepto: Relación entre n y capacidad de detección

Definición: $\(\text{Potencia} = 1 - \beta = P(\text{rechazar } H_0 | H_0 \text{ falsa})\)$

Al aumentar n:

• Varianza muestral \(\frac{\sigma^2}{n}\) disminuye
• Intervalo de confianza más estrecho
• Estadístico t/z más extremo
• Capacidad de detectar efecto real aumenta
• Potencia aumenta (1 - β sube)

Ejemplo:

• Test pequeño (n=10): potencia 0.4 (40% chance detectar efecto real)
• Test grande (n=100): potencia 0.9 (90% chance detectar efecto real)

Trade-off Error I/II:

• Aumentar n reduce AMBOS α y β
• Sin aumento de n: disminuir α requiere aumentar β (bad)

Diseño: con análisis de potencia, determinar n requerida.