Examen v1

1º problema (4 puntos)

Dada la siguiente tabla de datos:

Intervalo	Frecuencia
[80; 85)	9
[85; 90)	48
[90; 95)	197
[95;100)	321
[100;105)	259
[105;110)	121
[110;115)	45

Calcular:

1. Media
2. Mediana
3. Varianza
4. Desviación típica
5. Cuartil 3º.

Notas previas y convenciones

• Usaremos el tratamiento estándar para datos agrupados en intervalos continuos: reemplazamos cada intervalo por su punto medio (xi) y tratamos las frecuencias como si fueran observaciones repetidas de ese punto medio. Esta es una aproximación razonable cuando no disponemos de los datos individuales.
• La amplitud de clase (anchura) es h = 5 (por ejemplo [80,85) tiene ancho 5). N es el total de observaciones.

• Fórmulas principales (para datos agrupados, población):

• Media: \(\mu = \dfrac{\sum f_i x_i}{N}\)

• Mediana (interpolación en clase): \(\mathrm{Med} = L + \dfrac{\dfrac{N}{2} - F_{a}}{f_m}\,h\)

  donde:

  \(L\) = límite inferior de la clase mediana.
  \(F_a\) = frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
  \(f_m\) = frecuencia de la clase mediana.

• Cuartil 3º (Q3): \(Q_3 = L + \dfrac{0{.}75N - F_a}{f_c}\,h\) (análogo a la mediana, con 0{.}75N).

• Varianza (poblacional): \(\sigma^2 = \dfrac{\sum f_i x_i^2}{N} - \mu^2\). Desviación típica: \(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\).

Tabla auxiliar (puntos medios y productos)

Intervalo	fi	xi (punto medio)	fi·xi	xi^2	fi·xi^2	Fc acumulada
[80;85)	9	82.5	742.5	6,806.25	61,256.25	9
[85;90)	48	87.5	4,200.0	7,656.25	367,500.0	57
[90;95)	197	92.5	18,222.5	8,556.25	1,685,581.25	254
[95;100)	321	97.5	31,297.5	9,506.25	3,051,506.25	575
[100;105)	259	102.5	26,547.5	10,506.25	2,721,118.75	834
[105;110)	121	107.5	13,007.5	11,556.25	1,398,306.25	955
[110;115)	45	112.5	5,062.5	12,656.25	569,531.25	1000
Totales	1000		99,080.0		9,854,800.0
Intervalo de confianza (σ conocida)	\(\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

Explicación de la tabla: para cada clase calculamos el punto medio \(x_i\), luego \(f_i x_i\) y \(f_i x_i^2\). La frecuencia acumulada (Fc) nos sirve para localizar mediana y cuartiles.

1) Media (definición y cálculo detallado)

Definición: la media aritmética de datos agrupados (población) se estima como la suma ponderada de los puntos medios, dividida por el total de observaciones.

Fórmula: \(\mu = \dfrac{\sum f_i x_i}{N}\).

Cálculo: de la tabla \(\sum f_i x_i = 99{,}080\) y \(N = 1000\), por tanto

\[\mu = \dfrac{99{,}080}{1000} = \fbox{99.08}\]

Interpretación: el valor medio aproximado de la variable en la muestra es 99{.}08 (la unidad es la de los datos, p. ej. puntos, mm, etc.).

2) Mediana (definición, fórmula y cálculo)

Definición: la mediana es el valor que deja la mitad de las observaciones por debajo y la mitad por encima. En datos agrupados se estima por interpolación dentro de la clase que contiene la observación N/2.

Fórmula: \(\mathrm{Med} = L + \dfrac{\dfrac{N}{2} - F_a}{f_m}\,h\).

Datos necesarios:

• \(\dfrac{N}{2}\) = \(\dfrac{1000}{2}\) = 500.
• Localizamos la clase donde cae el 500º:
  la frecuencia acumulada llega a 254 en la tercera clase y a 575 en la cuarta, por tanto la clase mediana es \(\fbox{[95,100)}\) con L = 95.
• Frecuencia acumulada anterior a la clase mediana: \(F_a = 254\).
• Frecuencia de la clase mediana: \(f_m = 321\).
• h = 5.

Cálculo:

\[\mathrm{Med} = 95 + \dfrac{500 - 254}{321}\times 5 = 95 + \dfrac{246}{321}\times 5 \approx 95 + 3.8349 = \fbox{98.8349}\]

Mediana aproximada: \(\fbox{98.83}\) (redondeando a dos decimales).

Relación con la media: aquí la media (99.08) es ligeramente mayor que la mediana (98.83), lo que sugiere una leve asimetría positiva (cola a la derecha).

3) Varianza (definición, fórmula y cálculo)

Definición: la varianza mide la dispersión promedio de las observaciones respecto a la media; para datos agrupados (población) usamos la fórmula basada en los puntos medios.

Fórmula poblacional: \(\sigma^2 = \dfrac{\sum f_i x_i^2}{N} - \mu^2\).

De la tabla: \(\sum f_i x_i^2 = 9{,}854{,}800\) y \(N = 1000\). Ya calculamos \(\mu = 99.08\).

Cálculo:

\[\sigma^2 = \dfrac{9{,}854{,}800}{1000} - 99.08^2 = 9{,}854.8 - 9{,}816.8464 = \fbox{37.9536}\]

Varianza aproximada: \(\fbox{37.9536}\).

Nota sobre muestras: si tratásemos estos datos como una muestra de una población mayor y quisiéramos la varianza muestral \,s^2, usaríamos el factor \(\dfrac{N}{N-1}\) para corregir el sesgo: \(s^2 = \dfrac{N}{N-1}\sigma^2\) (aquí N=1000, la corrección sería muy pequeña).

4) Desviación típica (descripción y cálculo)

Definición: la desviación típica (desviación estándar) es la raíz cuadrada de la varianza; da la dispersión en las mismas unidades que la variable.

Fórmula: \(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\).

Cálculo:

\[\sigma = \sqrt{37.9536} \approx \fbox{6.162}\,.\]

Desviación típica aproximada: \(\fbox{6.16}\) (dos decimales).

Interpretación: aproximadamente la mayoría de observaciones (si la distribución fuera cercana a normal) caerían en torno a \(\mu \pm \sigma\) (aprox. entre 92.92 y 105.24).

5) Cuartil 3º (Q3) — definición y cálculo

Definición: Q3 es el valor tal que el 75% de las observaciones son menores o iguales que él. Para datos agrupados interpolamos dentro de la clase que contiene la posición 0{.}75N.

Fórmula: \(Q_3 = L + \dfrac{0{.}75N - F_a}{f_c}\,h\).

Datos:

• 0{.}75N = 0.75·1000 = 750.
• La clase que contiene el 750º es [100,105) (porque Fc llega a 575 en la clase anterior y a 834 en esta).
• L = 100, \(F_a = 575\) (acumulada anterior), \(f_c = 259\) (frecuencia de la clase), h = 5.

Cálculo:

\[Q_3 = 100 + \dfrac{750 - 575}{259}\times 5 = 100 + \dfrac{175}{259}\times 5 \approx 100 + 3.3784 = \fbox{103.3784}\]

Q3 aproximado: \(\fbox{103.38}\).

Comentarios finales sobre aproximaciones

• Todas las cantidades calculadas son aproximaciones porque tratamos cada intervalo por su punto medio. Si tuviéramos los datos individuales, los resultados podrían diferir ligeramente.
• Las fórmulas para mediana y cuartiles suponen distribución uniforme de los datos dentro de la clase (por eso hacemos interpolación lineal dentro de la clase).

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PROBLEMA 2 (3 puntos)

La vida media de un determinado componente electrónico sigue una distribución normal media 2000 horas y desviación típica 200 horas.
a) Calcular la probabilidad de que la duración de uno de ellos sea superior a 2300 horas.
b) Calcular la probabilidad de que escogidos 8 de ellos, solo dos tengan una duración mayor a 2300 horas.

a) Calcular probabilidad > 2300

Definición y modelo: la vida del componente sigue una distribución normal continua

\[X\sim N(\mu,\sigma^2)=N(2000,200^2).\]

Para calcular la probabilidad de que un componente dure más de 2300 h usamos la estandarización:

\[Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma} = \dfrac{X-2000}{200}.\]

Para \(x=2300\):

\[z=\dfrac{2300-2000}{200}=\dfrac{300}{200}=1.5.\]

Por tanto

\[P(X>2300)=P(Z>1.5)=1-\Phi(1.5)\]

Usando una tabla de la normal estándar o una calculadora obtenemos \(\Phi(1.5) = 0.93319\), luego

\[P(X>2300)\approx 1-0.93319 = 0.06681\approx \fbox{0.0668}\]

Interpretación: la probabilidad de que un componente exceda 2300 horas es aproximadamente 6.68%.

b) Con 8, probabilidad de que exactamente 2 > 2300

Modelo: si suponemos independencia entre componentes, cada uno tiene probabilidad \(p=P(X>2300)\approx 0.06681\) de superar 2300 h. Entonces el número de componentes que superan 2300 h en una muestra de \(n=8\) sigue una distribución binomial:

\[Y\sim \mathrm{Binomial}(n=8,p=0.06681).\]

La probabilidad de que exactamente \(k=2\) lo superen es

\[P(Y=2)=\binom{n}{k} p^k (1-p)^{\,n-k} = \binom{8}{2} p^2 (1-p)^{6}.\]

Cálculo numérico:

• \(\binom{8}{2}=28\).
• \(p^2\approx (0.06681)^2\approx 0.0044632\).
• \((1-p)^{6}\approx (0.93319)^{6}\approx 0.66093\).

Multiplicando:

\[P(Y=2)\approx 28\times 0.0044632 \times 0.66093 \approx 0.08263\approx \fbox{0.0826}.\]

Interpretación: la probabilidad de que exactamente 2 de los 8 componentes duren más de 2300 horas es aproximadamente 8.26%.

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PROBLEMA 3º (3puntos)

La duración de la vida de un componente electrónico sigue una variable aleatoria que se distribuye según una ley normal, con desviación típica igual a seis minutos. Elegidas al azar cien unidades, resultó ser la duración media de 14,35 minutos.

Elaborar el intervalo de confianza del 99%, para la duración media de dicho componente.

Solución (paso a paso):

1. Modelo y datos

2. Se nos dice que la variable se distribuye normalmente y que la desviación típica poblacional es conocida: \(\sigma=6\) minutos.

3. Tamaño de la muestra: \(n=100\).

4. Media muestral: \(\bar{x}=14{.}35\) minutos.

5. Interpretación y elección del procedimiento.

6. Como \(\sigma\) es conocida y la muestra es relativamente grande, usamos la distribución normal estándar para construir el intervalo de confianza para la media poblacional.

7. Para un nivel de confianza del \(99\%\) tenemos \(\alpha = 0.01\) y \(\alpha/2 = 0.005\). A continuación lo desglosamos en pasos claros:

   1. Geometría del intervalo: un IC central del \(99\%\) deja probabilidad total \(\alpha=0{.}01\) en las dos colas, luego cada cola tiene probabilidad \(\alpha/2=0{.}005\). Buscamos el valor simétrico \(\pm z\) que deja \(0{.}995\) de probabilidad a la izquierda de \(z\).

   2. Escribir la condición en términos de la función de distribución: necesitamos

      \[P(-z\le Z\le z)=0.99\quad\Longrightarrow\quad P(Z\le z)=1-\frac{\alpha}{2}=0.995.\]

   3. Esto equivale a tomar el cuantil inverso de la normal estándar:

      \[z=\Phi^{-1}(0.995),\]

      donde \(\Phi\) es la función de distribución de la normal estándar.

   4. Cómo obtener el valor numérico (métodos habituales):

      • Con una tabla de la normal: buscar el valor más cercano a \(0{.}995\) en las entradas de la tabla y leer el z correspondiente. Por ejemplo, la tabla suele dar \(\Phi(2{.}57)=0{.}9949\) y \(\Phi(2{.}58)=0{.}9951\); interpolando linealmente entre esos dos puntos se obtiene \(z\approx 2{.}5758\).
      • Con software/calculadora (más preciso y directo):
      • R: qnorm(0.995) → ≈ 2.575829.
      • Python (SciPy): scipy.stats.norm.ppf(0.995) → ≈ 2.575829.
      • Excel: =NORM.S.INV(0.995) → ≈ 2.575829.

   5. Conclusión: tomamos \(z_{0.005}\approx 2{.}5758\) como valor crítico para el IC al \(99\%\).

8. Fórmula del intervalo (σ conocida)

\[\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

1. Cálculo numérico.

2. Error estándar: \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{6}{\sqrt{100}} = \dfrac{6}{10} = 0{.}6\).

3. Margen de error: \(E = z_{0{.}005}\times 0{.}6 \approx 2{.}5758\times 0{.}6 \approx 1{.}5455\).

Intervalo de confianza al 99%:

\[\left(\bar{x}-E\; ,\; \bar{x}+E\right)=\left(14{.}35-1{.}5455\; ,\; 14{.}35+1{.}5455\right)\approx (12{.}8045\; ,\; 15{.}8955).\]

Redondeando a dos decimales: \(\boxed{(12{.}80\; ,\; 15{.}90)}\) minutos.

1. Interpretación

2. Podemos decir con un 99% de confianza que la verdadera media poblacional de la duración del componente está entre aproximadamente 12{.}80 y 15{.}90 minutos, bajo las hipótesis del modelo (normalidad y σ conocida).

3. Nota: si \(\sigma\) no fuese conocida, usaríamos la distribución \(t\) de Student con \(n-1\) grados de libertad y el valor crítico \(t_{\alpha/2,n-1}\) en lugar de \(z_{\alpha/2}\).

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Resumen final (para estudiar rápido)

1- Teoría (resumen de cada término utilizado):

• Media: promedio ponderado de los puntos medios en datos agrupados; fórmula \(\mu=\dfrac{\sum f_i x_i}{N}\).
• Mediana: valor que divide la distribución en dos partes iguales; en datos agrupados se interpola en la clase mediana con \(\mathrm{Med}=L+\dfrac{\tfrac{N}{2}-F_a}{f_m}h\).
• Varianza: medida de dispersión promedio; para población \(\sigma^2=\dfrac{\sum f_i x_i^2}{N}-\mu^2\).
• Desviación típica: raíz cuadrada de la varianza, expresa dispersión en las mismas unidades: \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\).
• Cuartil 3º (Q3): valor por debajo del cual están el 75% de observaciones; interpolación: \(Q_3=L+\dfrac{0{.}75N-F_a}{f_c}h\).
• Distribución Normal: modelo continuo para variables como duración; notación \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\). Estandarización: \(Z=(X-\mu)/\sigma\) y uso de la función de distribución estándar \(\Phi\) para probabilidades.
• Distribución Binomial: modelo discreto para contar éxitos independientes en \(n\) ensayos con probabilidad \(p\) de éxito; \(Y\sim \mathrm{Bin}(n,p)\) y \(P(Y=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\).

2- Tabla con los términos y las funciones utilizadas:

Término	Fórmula / función utilizada
Media (μ)	\(\mu=\dfrac{\sum f_i x_i}{N}\)
Mediana	\(\mathrm{Med}=L+\dfrac{\tfrac{N}{2}-F_a}{f_m}h\)
Varianza (pobl.)	\(\sigma^2=\dfrac{\sum f_i x_i^2}{N}-\mu^2\)
Desviación típica	\(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\)
Cuartil 3º (Q3)	\(Q_3=L+\dfrac{0{.}75N-F_a}{f_c}h\)
Distribución Normal	Estandarización: \(Z=(X-\mu)/\sigma\), \(P(X>a)=1-\Phi\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)\)
Distribución Binomial	\(P(Y=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)