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Medias: geométrica y armónica

Objetivo

✨ Aprender cuándo y por qué usar medias especializadas más allá de la media aritmética común — herramientas avanzadas para datos reales.

Idea Clave 💡

No todas las "medias" son iguales. La media aritmética es la más común, pero para ciertos tipos de datos (tasas, ratios, crecimiento), usar otra media es metodológicamente correcto y numéricamente diferente.

Las Tres Medias Principales

Media Aritmética (La Común)

Definición:

\[\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\]

Uso: Datos normales, donde sumamos valores.

Ejemplo: Altura promedio de clase

Media Geométrica

Definición:

\[G = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} = \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}\]

O equivalentemente: \(\log G = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log x_i\)

Intuición: Promedio de multiplicaciones, no sumas. Ideal para tasas de crecimiento.

Propiedades:

  • ✅ Siempre ≤ media aritmética
  • ✅ Menos sensible a valores muy grandes
  • ✅ Requiere valores positivos
  • ⚠️ Más complicada de calcular

Cuándo usarla:

  • 📈 Tasas de crecimiento anual (TCA)
  • 💹 Retorno promedio de inversión
  • 📊 Índices y proporciones
  • ⚡ Cualquier producto multiplicativo
Ejemplo 1: Crecimiento de Inversión

Capital inicial: €1000

Año 1: Crece 10% → Factor = 1.10

Año 2: Crece 20% → Factor = 1.20

Año 3: Decrece 5% → Factor = 0.95

Media aritmética de factores: (1.10 + 1.20 + 0.95)/3 = 1.0833 → 8.33%

❌ INCORRECTO: Ignora que los crecimientos se acumulan multiplicativamente

Media geométrica de factores: $\(G = \sqrt[3]{1.10 \times 1.20 \times 0.95} = \sqrt[3]{1.254} \approx 1.0784 \rightarrow 7.84\%\)$

✅ CORRECTO: Crecimiento medio anual compuesto = 7.84%

Verificación: €1000 × 1.0784³ ≈ €1254 ✓

Ejemplo 2: Índices de Precios

Precio Año 1: €100 (índice = 1.00)

Precio Año 2: €120 (índice = 1.20)

Precio Año 3: €130 (índice = 1.30)

Media aritmética: (1.00 + 1.20 + 1.30)/3 = 1.1667 → 16.67%

Media geométrica: \(\sqrt[3]{1.00 \times 1.20 \times 1.30} \approx 1.1878\) → 18.78%

La geométrica refleja mejor cómo evolucionó el precio

Media Armónica

Definición:

\[H = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}\]

Intuición: Promedio de razones/velocidades, no sumas. Cuando el denominador es lo importante.

Propiedades:

  • ✅ Siempre ≤ media geométrica
  • ✅ Penaliza valores pequeños
  • ⚠️ Requiere valores positivos
  • ⚠️ Más complicada aún

Cuándo usarla:

  • 🚗 Velocidad promedio en trayectos iguales (km)
  • 💰 Costo promedio por unidad
  • ⏱️ Tiempo promedio (cuando distancia es fija)
  • 📊 Ratios y proporciones
Ejemplo: Velocidad Promedio en Distancia Fija

Trayecto total: 200 km

Primera 100 km: Velocidad = 50 km/h → Tiempo = 2h

Segunda 100 km: Velocidad = 100 km/h → Tiempo = 1h

Total: 200 km en 3h

Velocidad promedio correcta: 200/3 ≈ 66.67 km/h

Media aritmética (INCORRECTA): (50 + 100)/2 = 75 km/h ❌

Media armónica (CORRECTA): $\(H = \frac{2}{\frac{1}{50} + \frac{1}{100}} = \frac{2}{0.02 + 0.01} = \frac{2}{0.03} \approx 66.67 \text{ km/h}\)$ ✅

Relación entre las Tres Medias

Desigualdad de Medias:

Para valores positivos siempre se cumple:

\[H \leq G \leq A\]

(Armónica ≤ Geométrica ≤ Aritmética)

Igualdad solo si: Todos los valores son idénticos

Ejemplo: Verificar Desigualdad

Datos: 2, 4, 8

Aritmética: \(\bar{x} = \frac{2+4+8}{3} = \frac{14}{3} \approx 4.67\)

Geométrica: \(G = \sqrt[3]{2 \times 4 \times 8} = \sqrt[3]{64} = 4\)

Armónica: \(H = \frac{3}{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}} = \frac{3}{0.875} \approx 3.43\)

Verificación: 3.43 ≤ 4.0 ≤ 4.67 ✅

Tabla Comparativa: Las Tres Medias

Media Fórmula Uso Principal Sensibilidad Requisitos
Aritmética \(\sum x_i / n\) Sumas directas Alta (outliers) Reales
Geométrica \(\sqrt[n]{\prod x_i}\) Tasas multiplicativas Media Positivos
Armónica \(\frac{n}{\sum 1/x_i}\) Ratios/velocidades Baja (pequeños) Positivos

Cuándo Usar Cada Una

Usa Media Aritmética Si...

  • ✅ Sumas directas (edades, pesos, salarios)
  • ✅ Distribuciones aproximadamente normales
  • ✅ Contexto aditivo

Ejemplo: Temperatura promedio de la semana

Usa Media Geométrica Si...

  • ✅ Crecimientos o tasas anuales
  • ✅ Índices o proporciones acumulativas
  • ✅ Contexto multiplicativo

Ejemplo: Tasa de crecimiento de población

Usa Media Armónica Si...

  • ✅ Promedio de velocidades (distancia fija)
  • ✅ Promedio de ratios (mismo denominador)
  • ✅ Contexto de razones

Ejemplo: Velocidad promedio en varios trayectos iguales

⚠️ Trampa Común: No Confundir Contextos

❌ INCORRECTO:

Velocidades: 60 km/h, 100 km/h, 80 km/h (3 trayectos de 100 km)
Media aritmética = 80 km/h ← FALSA

✅ CORRECTO:

Usar media armónica = 81.08 km/h ← VERDADERA
(porque tiempo total ≠ 3 × tiempo promedio)

💡 Checklist: ¿Qué Media Debo Usar?

Decisión Rápida

  1. ¿Sumando valores? → Media aritmética
  2. ¿Multiplicando/tasas? → Media geométrica
  3. ¿Velocidades/ratios? → Media armónica

Cuando dudes, piensa en la naturaleza física de los datos: - Aditiva → Aritmética - Multiplicativa → Geométrica - Razones → Armónica

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