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Medidas de tendencia y dispersión

Objetivo

✨ Comprender y calcular correctamente las medidas de tendencia central (media, mediana, moda) y las medidas de dispersión (varianza, desviación típica), identificando cuándo usar cada una según el contexto.

Idea Clave 💡

Las medidas de tendencia central resumen dónde se concentran los datos. Las medidas de dispersión cuantifican cuánto se dispersan alrededor de ese centro. Juntas, describen completamente la forma y comportamiento de una distribución.

Medidas de Tendencia Central

Media (Promedio)

Definición: La suma de todos los valores dividida por el número de observaciones.

\[ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \]

Intuición: Es el "punto de equilibrio" de los datos. Si cada valor fuera un peso, la media es donde se equilibraría una balanza.

Propiedades:

  • ✅ Usa toda la información de los datos
  • ✅ Fácil de interpretar y calcular
  • ⚠️ Muy sensible a valores extremos (outliers)
Ejemplo: Salarios de un equipo

Equipo de 5 personas: 30k, 35k, 40k, 42k, 1000k (CEO)

\[\bar{x} = \frac{30+35+40+42+1000}{5} = \frac{1147}{5} = 229.4\text{ k€}\]

Problema: La media (229.4k€) NO representa bien el salario típico porque el CEO distorsiona el resultado. ⚠️

Mediana

Definición: El valor central cuando los datos están ordenados. Si hay número par de datos, es el promedio de los dos valores centrales.

\[ \text{Me} = \begin{cases} x_{\frac{n+1}{2}} & \text{si } n \text{ es impar} \\ \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2} & \text{si } n \text{ es par} \end{cases} \]

Intuición: Divide los datos en dos partes iguales: 50% por debajo, 50% por encima.

Propiedades:

  • ✅ Robusta ante outliers (valores extremos no la afectan)
  • ✅ Mejor que media con datos sesgados
  • ⚠️ No usa toda la información disponible
Ejemplo: Mismo equipo que antes

Datos ordenados: 30k, 35k, 40k, 42k, 1000k

\[\text{Me} = x_3 = 40\text{ k€}\]

Ventaja: La mediana (40k€) representa mucho mejor el salario típico. ✅

Moda

Definición: El valor (o valores) que aparecen con mayor frecuencia en la muestra.

Tipos de distribuciones: - Unimodal: Una única moda - Bimodal: Dos modas - Multimodal: Más de dos modas - Sin moda: Todos los valores aparecen igual número de veces

Para datos agrupados (interpolación lineal):

\[ \text{Moda} \approx L_m + \left(\frac{f_m - f_{m-1}}{2f_m - f_{m-1} - f_{m+1}}\right) \cdot h \]

Donde: - \(L_m\) = límite inferior de la clase modal - \(f_m\) = frecuencia de la clase modal - \(f_{m-1}\), \(f_{m+1}\) = frecuencias anterior y siguiente - \(h\) = amplitud del intervalo

Ejemplo: Datos no agrupados

Muestra: 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5

Moda = 4 (aparece 3 veces)

Medidas de Dispersión

Varianza

Definición: Promedio de las desviaciones al cuadrado respecto a la media.

\[ s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \quad \text{(muestra)} \]
\[ \sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2 \quad \text{(población)} \]

¿Por qué \(n-1\) en muestras? Para obtener un estimador insesgado de la varianza poblacional. Con \(N\) (población), usamos \(N\) porque tenemos todos los datos.

Intuición: Mide cuánto los datos se "dispersan" alrededor de la media. Valores altos = datos muy dispersos.

Propiedades:

  • ✅ Cuantifica la dispersión numéricamente
  • ⚠️ Unidades al cuadrado (difícil interpretación)
  • ⚠️ Sensible a outliers

Desviación Típica (Estándar)

Definición: La raíz cuadrada de la varianza. Devuelve las unidades originales.

\[ s = \sqrt{s^2} \quad \text{(muestra)} \]
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \quad \text{(población)} \]

Intuición: "Distancia típica" de los datos respecto a la media. Mismas unidades que los datos originales.

Ejemplo: Si \(\sigma = 5\) cm de altura, significa que típicamente los datos se desvían 5 cm de la media.

Tabla Comparativa: Cuándo Usar Cada Medida

Medida Uso Típico Fortalezas Debilidades
Media Datos normales, sin outliers Usa toda la información Muy sensible a extremos
Mediana Datos sesgados o con outliers Robusta, resistente Ignora parte de la info
Moda Datos categóricos o modas claras Intuitividad Puede no existir o múltiples
Varianza Análisis teórico, inferencia Matemáticamente conveniente Unidades al cuadrado
Desv. Típica Interpretación de dispersión Mismas unidades que datos Afectada por outliers

Ejemplo Integrado: Análisis Completo

Muestra: 5, 7, 8, 10, 20

Paso 1: Media

\[\bar{x} = \frac{5+7+8+10+20}{5} = \frac{50}{5} = 10\]

Paso 2: Mediana

Datos ordenados: 5, 7, 8, 10, 20 → Mediana = 8

Paso 3: Desviaciones y Varianza

Desviaciones: \((5-10)^2=25\), \((7-10)^2=9\), \((8-10)^2=4\), \((10-10)^2=0\), \((20-10)^2=100\)

\[s^2 = \frac{25+9+4+0+100}{5-1} = \frac{138}{4} = 34.5\]

Paso 4: Desviación Típica

\[s = \sqrt{34.5} \approx 5.87\]

Interpretación: Los datos varían típicamente 5.87 unidades respecto a la media (10).

⚠️ Trampa Común: Media vs Mediana con Outliers

Considera estos dos conjuntos:

Caso A: 1, 2, 3, 4, 5 → Media = 3, Mediana = 3 ✅

Caso B: 1, 2, 3, 4, 1000 → Media = 202, Mediana = 3 ⚠️

En Caso B, la media está completamente distorsionada por el outlier. Usa siempre la mediana con datos sesgados.

💡 Tips Prácticos

Regla General

  • Datos simétricos, sin outliers → Usa media
  • Datos sesgados o con outliers → Usa mediana + IQR
  • Datos categóricos → Usa moda

Notación

  • Muestra: \(\bar{x}\) (media), \(s\) (desv. típica), \(s^2\) (varianza)
  • Población: \(\mu\) (media), \(\sigma\) (desv. típica), \(\sigma^2\) (varianza)

Cuidado con Unidades

La varianza cambia sus unidades al cuadrado. Usa siempre desviación típica para interpretación en unidades originales.