Skip to content

UD2 - Probabilidad y análisis bivariante

Objetivo

✨ Comprender cómo analizar dos variables simultáneamente — distribuciones conjuntas, marginales y condicionales, y cómo entrelazarlas.

Idea Clave 💡

Hasta ahora estudiamos una variable a la vez. Bivariante es el paso siguiente: ¿qué pasa cuando estudiamos dos variables juntas? Por ejemplo, altura y peso, salario e experiencia, o calificación en examen e horas estudiadas.

De Univariante a Bivariante

Univariante (lo que ya sabes)

Una variable X con su distribución de frecuencias o probabilidades:

X Frecuencia
1 10
2 15
3 25

Total: 50 observaciones

Bivariante (lo nuevo)

Dos variables X e Y simultáneamente. Una tabla de doble entrada (contingencia):

X \ Y Y=A Y=B Y=C Total
X=1 3 5 2 10
X=2 4 8 3 15
X=3 7 12 6 25
Total 14 25 11 50

Interpretación: 3 observaciones tienen X=1 Y Y=A, 5 tienen X=1 Y Y=B, etc.

Distribución Conjunta

Definición

La distribución conjunta de (X, Y) es la función que asigna probabilidad a cada pareja de valores:

\[P(X = x_i, Y = y_j) = \frac{\text{Frecuencia conjunta}_{ij}}{\text{Total}}\]

En el ejemplo anterior:

\[P(X=1, Y=A) = \frac{3}{50} = 0.06\]
\[P(X=1, Y=B) = \frac{5}{50} = 0.10\]

Propiedad fundamental: Todas las probabilidades suman 1:

\[\sum_i \sum_j P(X = x_i, Y = y_j) = 1\]
Tabla de Probabilidad Conjunta (Ejemplo)

A partir de la tabla anterior (N=50), calculamos probabilidades dividiendo cada celda entre 50:

X \ Y Y=A Y=B Y=C
X=1 0.06 0.10 0.04
X=2 0.08 0.16 0.06
X=3 0.14 0.24 0.12

Verificación: 0.06 + 0.10 + 0.04 + ... + 0.12 = 1.00 ✅

Distribuciones Marginales

Definición

La distribución marginal de X es la distribución de X ignorando Y. Se obtiene sumando por filas:

\[P(X = x_i) = \sum_j P(X = x_i, Y = y_j)\]

De forma similar para Y, sumando por columnas:

\[P(Y = y_j) = \sum_i P(X = x_i, Y = y_j)\]

Intuición: Es como si "colapsamos" la tabla en una sola dimensión.

Distribuciones Marginales

Del ejemplo anterior:

Marginal de X: - P(X=1) = 0.06 + 0.10 + 0.04 = 0.20 - P(X=2) = 0.08 + 0.16 + 0.06 = 0.30 - P(X=3) = 0.14 + 0.24 + 0.12 = 0.50

Marginal de Y: - P(Y=A) = 0.06 + 0.08 + 0.14 = 0.28 - P(Y=B) = 0.10 + 0.16 + 0.24 = 0.50 - P(Y=C) = 0.04 + 0.06 + 0.12 = 0.22

Verificación: 0.20 + 0.30 + 0.50 = 1.00 ✅ (y lo mismo para Y)

Distribuciones Condicionales

Definición

La distribución condicional de X dado Y es la distribución de X cuando sabemos el valor de Y:

\[P(X = x_i | Y = y_j) = \frac{P(X = x_i, Y = y_j)}{P(Y = y_j)}\]

Intuición: Restriccionamos el espacio muestral a "Y = y_j" y vemos cómo se distribuye X dentro.

Distribución Condicional

Continuando el ejemplo, calcular P(X | Y=A):

P(X=1 | Y=A) = \(\frac{P(X=1, Y=A)}{P(Y=A)} = \frac{0.06}{0.28} = 0.214\)

P(X=2 | Y=A) = \(\frac{P(X=2, Y=A)}{P(Y=A)} = \frac{0.08}{0.28} = 0.286\)

P(X=3 | Y=A) = \(\frac{P(X=3, Y=A)}{P(Y=A)} = \frac{0.14}{0.28} = 0.500\)

Verificación: 0.214 + 0.286 + 0.500 = 1.00 ✅

Interpretación: Si sabemos que Y=A, hay 50% de probabilidad de que X=3.

Independencia Estadística

Definición

Dos variables X e Y son independientes si:

\[P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i) \cdot P(Y = y_j)\]

para todo \(x_i, y_j\).

O equivalentemente (usando probabilidades condicionales):

\[P(X = x_i | Y = y_j) = P(X = x_i)\]

Intuición: El valor de Y NO afecta a la distribución de X (y viceversa).

No confundir con dependencia causal

Independencia estadística NO significa causalidad. Dos variables pueden ser independientes aunque una tenga influencia en la otra en la vida real. La independencia es una propiedad matemática/estadística.

Verificar Independencia

En nuestro ejemplo, ¿son X e Y independientes?

Checamos si \(P(X=1, Y=A) = P(X=1) \cdot P(Y=A)\):

Izquierda: 0.06 Derecha: 0.20 × 0.28 = 0.056

No son iguales (0.06 ≠ 0.056), así que X e Y NO son independientes 🚫

Tabla Resumen: Conceptos Principales

Concepto Fórmula Interpretación
Conjunta \(P(X=x_i, Y=y_j)\) Probabilidad de que X=x_i Y Y=y_j simultáneamente
Marginal de X \(P(X=x_i) = \sum_j P(X=x_i, Y=y_j)\) Probabilidad de X ignorando Y
Condicional \(P(X=x_i \| Y=y_j) = \frac{P(X=x_i, Y=y_j)}{P(Y=y_j)}\) Probabilidad de X dado que Y=y_j
Independencia \(P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i) \cdot P(Y=y_j)\) X e Y no se influyen mutuamente

⚠️ Trampa Común: Confundir Marginal y Condicional

❌ INCORRECTO: "P(X=1) es lo mismo que P(X=1 | Y=A)"

✅ CORRECTO:

  • P(X=1) es la marginal (consideramos todos los valores de Y)
  • P(X=1 | Y=A) es la condicional (solo consideramos Y=A)

En general, P(X=1 | Y=A) ≠ P(X=1) cuando hay dependencia.

💡 Checklist Bivariante

Antes de proceder a correlación y regresión

  • [ ] ¿Entiendes qué es una tabla de doble entrada?
  • [ ] ¿Sabes calcular la marginal de X sumando filas?
  • [ ] ¿Sabes calcular una condicional usando la fórmula de Bayes?
  • [ ] ¿Reconoces cuándo dos variables son independientes?
  • [ ] ¿Puedes interpretar una celda de probabilidad conjunta?

📖 Enlaces Relacionados