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Correlación y covarianza

Objetivo

✨ Entender cómo cuantificar la fuerza y dirección de la relación lineal entre dos variables, usando covarianza y correlación de Pearson.

Idea Clave 💡

Sabemos que X e Y pueden estar relacionadas (no ser independientes), pero ¿cuánto de relacionadas? Covarianza y correlación nos dicen si tienden a crecer juntas, decrecer juntas, o si no hay relación lineal.

Covarianza

Definición

La covarianza entre dos variables X e Y mide cómo varían conjuntamente:

\[\text{Cov}(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]\]

Cálculo directo (para datos):

\[\text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\]

O equivalentemente (fórmula computacional más rápida):

\[\text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]\]

Interpretación

  • Cov(X,Y) > 0: X e Y tienden a crecer juntas (relación positiva)
  • Cov(X,Y) < 0: Cuando X crece, Y tiende a decrecer (relación negativa)
  • Cov(X,Y) ≈ 0: No hay relación lineal (o muy débil)

Problema: La escala de covarianza depende de las unidades de X e Y, así que es difícil comparar covarianzas de distintos pares de variables.

Calcular Covarianza

Datos: 

X: [1, 2, 3, 4, 5]
Y: [2, 4, 5, 4, 6]

Paso 1: Calcular medias

  • \(\bar{x} = (1+2+3+4+5)/5 = 3\)
  • \(\bar{y} = (2+4+5+4+6)/5 = 4.2\)

Paso 2: Calcular desviaciones y producto

i x_i y_i x_i - 3 y_i - 4.2 Producto
1 1 2 -2 -2.2 4.4
2 2 4 -1 -0.2 0.2
3 3 5 0 0.8 0
4 4 4 1 -0.2 -0.2
5 5 6 2 1.8 3.6

Paso 3: Sumar y dividir

\[\text{Cov}(X, Y) = \frac{4.4 + 0.2 + 0 - 0.2 + 3.6}{5} = \frac{8.0}{5} = 1.6\]

Resultado: Covarianza = 1.6 > 0, relación positiva ✅

Coeficiente de Correlación de Pearson

Definición

r de Pearson normaliza la covarianza para que esté entre -1 y 1:

\[r_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\]

donde \(\sigma_X\) y \(\sigma_Y\) son las desviaciones típicas de X e Y.

Cálculo directo:

\[r_{XY} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2}}\]

Interpretación

  • r = 1: Relación lineal perfecta positiva (puntos alineados con pendiente positiva)
  • r = -1: Relación lineal perfecta negativa (puntos alineados con pendiente negativa)
  • r = 0: No hay relación lineal
  • 0 < r < 1: Relación positiva (débil si r < 0.3, moderada si 0.3-0.7, fuerte si r > 0.7)
  • -1 < r < 0: Relación negativa (igual escala de fuerza)

Ventaja: Es adimensional (sin unidades), así puedes comparar correlaciones directamente.

Calcular Correlación de Pearson

Usando los datos anteriores (X, Y):

  • \(\text{Cov}(X, Y) = 1.6\) (ya calculado)
  • \(\sigma_X^2 = E[X^2] - (E[X])^2 = (1+4+9+16+25)/5 - 3^2 = 11 - 9 = 2\), así \(\sigma_X = \sqrt{2} ≈ 1.414\)
  • \(\sigma_Y^2 = E[Y^2] - (E[Y])^2 = (4+16+25+16+36)/5 - 4.2^2 = 19.4 - 17.64 = 1.76\), así \(\sigma_Y = \sqrt{1.76} ≈ 1.327\)
\[r_{XY} = \frac{1.6}{1.414 \times 1.327} = \frac{1.6}{1.876} ≈ 0.852\]

Resultado: r ≈ 0.85, relación positiva fuerte ✅

Propiedades de la Correlación

  1. Simetría: \(r_{XY} = r_{YX}\) (la correlación de X en Y es igual que la de Y en X)

  2. Rango: \(-1 \leq r \leq 1\)

  3. Escala invariante: Si transformas X e Y linealmente (p. ej. cambiar de cm a m), r no cambia

  4. No implica causalidad: Correlación alta NO significa que X cause Y (pueden tener una causa común, o ser coincidencia)

  5. Detecta relaciones lineales: Si X e Y tienen una relación cuadrática fuerte (p. ej. Y = X²), r podría ser cercano a 0. Así que r NO detecta todas las dependencias.

Ejemplo: Y = X² (relación no lineal) 
X: [-2, -1, 0, 1, 2]
Y: [4, 1, 0, 1, 4]

Claramente Y depende de X, pero:

  • \(\bar{x} = 0\)
  • Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0 - 0 = 0 (porque los términos negativos y positivos se anulan)
  • r ≈ 0

Conclusión: Aunque hay una relación fuerte (cuadrática), la correlación lineal es 0. No uses r si sospechas relaciones no lineales.

⚠️ Trampa Común: Correlación ≠ Causalidad

❌ Incorrecto: "Si r(Altura, Salario) = 0.6, entonces la altura CAUSA el salario"

✅ Correcto: "Altura y salario están relacionados (correlación = 0.6), pero esto NO prueba que uno cause el otro. Podrían ambos estar relacionados con la edad, o ser coincidencia."

Ejemplo histórico: Hay correlación entre número de iglesias y tasa de criminalidad en ciudades. Pero las iglesias no causan crimen; ambas aumentan porque hay más población.

Tabla Comparativa: Covarianza vs Correlación

Aspecto Covarianza Correlación de Pearson
Fórmula \(\text{Cov}(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]\) \(r_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\)
Rango \((-\infty, +\infty)\) \([-1, 1]\)
Unidades Producto de unidades de X e Y Adimensional
Interpretabilidad Difícil (depende de la escala) Fácil (siempre entre -1 y 1)
Comparación Difícil entre pares distintos Fácil, comparable directamente

💡 Checklist

Antes de regresión

  • [ ] ¿Sabes calcular covarianza manualmente?
  • [ ] ¿Entiendes que la correlación normaliza la covarianza?
  • [ ] ¿Reconoces qué valores de r indican relación fuerte/débil?
  • [ ] ¿Sabes que correlación NO implica causalidad?
  • [ ] ¿Puedes interpretar r = -0.8 como relación negativa fuerte?

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