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Datos categóricos y χ²

Objetivo

✨ Analizar relaciones entre variables categóricas (no numéricas) usando tablas de contingencia y la prueba χ² (chi-cuadrado).

Idea Clave 💡

Hasta ahora analizábamos variables numéricas (altura, peso, calificación). Pero ¿qué pasa si queremos estudiar la relación entre Género (Hombre/Mujer) y Preferencia de Programa (Python/R/Java)? Para esto usamos tablas de contingencia y la prueba χ².

Tablas de Contingencia

Definición

Una tabla de contingencia (o tabla de frecuencias cruzadas) muestra la frecuencia conjunta de dos variables categóricas.

Ejemplo: Género × Preferencia de Lenguaje

Python R Java Total
Hombre 30 15 25 70
Mujer 40 20 20 80
Total 70 35 45 150

Lectura: 30 hombres prefieren Python, 40 mujeres prefieren Python, etc.

Frecuencias Marginales

Las marginales son los totales por fila y columna:

  • Marginal de Género: 70 hombres, 80 mujeres
  • Marginal de Lenguaje: 70 Python, 35 R, 45 Java

Frecuencias Esperadas (Bajo Independencia)

Si Género y Lenguaje fueran independientes, esperaríamos:

\[E_{ij} = \frac{\text{Total fila}_i \times \text{Total columna}_j}{\text{Total general}}\]

Ejemplo: Para (Hombre, Python):

\[E_{HP} = \frac{70 \times 70}{150} = \frac{4900}{150} = 32.67\]

La tabla completa de frecuencias esperadas:

Python R Java Total
Hombre 32.67 16.33 20.67 70
Mujer 37.33 18.67 23.33 80
Total 70 35 45 150

Compara con observadas: Vemos diferencias, p. ej. Python: observado 30 vs esperado 32.67 (hombres); observado 40 vs esperado 37.33 (mujeres).

Prueba χ² (Chi-Cuadrado)

Hipótesis

  • H₀ (Nula): Las dos variables son independientes (no hay asociación)
  • H₁ (Alternativa): Las dos variables están asociadas (hay dependencia)

Estadístico de Prueba

\[\chi^2 = \sum_{i,j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}\]

donde:

  • \(O_{ij}\) = Frecuencia observada
  • \(E_{ij}\) = Frecuencia esperada

Distribución: Bajo H₀, χ² sigue una distribución chi-cuadrado con (filas - 1) × (columnas - 1) grados de libertad.

Regla de decisión:

  • Si χ² > valor crítico (de tablas) ⟹ Rechazamos H₀ (hay asociación)
  • Si χ² ≤ valor crítico ⟹ No rechazamos H₀ (no hay evidencia de asociación)

O usando p-value:

  • Si p-value < 0.05 ⟹ Rechazamos H₀
  • Si p-value ≥ 0.05 ⟹ No rechazamos H₀
Calcular χ² en Nuestro Ejemplo

Usando las tablas observadas y esperadas anteriores:

Celda O E (O-E)² (O-E)²/E
H, Python 30 32.67 7.13 0.218
H, R 15 16.33 1.77 0.108
H, Java 25 20.67 18.78 0.908
M, Python 40 37.33 7.13 0.191
M, R 20 18.67 1.77 0.095
M, Java 20 23.33 11.09 0.475
\[\chi^2 = 0.218 + 0.108 + 0.908 + 0.191 + 0.095 + 0.475 = 1.995\]

Grados de libertad: (2-1) × (3-1) = 1 × 2 = 2

Valor crítico (α=0.05, g.l.=2): 5.99

Como χ² = 1.995 < 5.99, no rechazamos H₀. No hay evidencia de que Género y Preferencia de Lenguaje estén asociados. 🤔

Condiciones para la Prueba χ²

La prueba χ² es válida si:

  1. Frecuencias esperadas suficientes: Todas las E_ij ≥ 5 (generalmente)
  2. Si hay celdas con E_ij < 5, la prueba puede no ser confiable

  3. En tablas 2×2, algunos aceptan E_ij ≥ 1

  4. Muestra aleatoria: Los datos provienen de una muestra aleatoria

  5. Independencia de observaciones: Cada observación es independiente (sin repeticiones)

Si se violan condiciones

Si muchas celdas tienen E_ij < 5, considera: - Agrupar categorías (p. ej. combinar "Raramente" + "Nunca") - Usar la prueba exacta de Fisher (para tablas 2×2)

Medidas de Asociación

Cuando χ² es significativo (p < 0.05), queremos cuantificar la fuerza de la asociación.

Coeficiente Φ (Phi)

Para tablas 2×2:

\[\phi = \sqrt{\frac{\chi^2}{n}}\]

Rango: [0, 1], donde 0 = sin asociación, 1 = asociación perfecta

V de Cramér

Para tablas de cualquier tamaño:

\[V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n(m-1)}}\]

donde m = mín(filas, columnas)

Interpretación (regla aproximada):

  • V < 0.1: Asociación débil
  • 0.1 ≤ V < 0.3: Asociación moderada
  • V ≥ 0.3: Asociación fuerte
Calcular V de Cramér

Usando nuestro ejemplo (aunque χ² no fue significativo, calculamos por ilustración):

n = 150, filas = 2, columnas = 3, m = min(2,3) = 2

\[V = \sqrt{\frac{1.995}{150 \times (2-1)}} = \sqrt{\frac{1.995}{150}} = \sqrt{0.0133} = 0.115\]

V = 0.115, que sería asociación débil (pero no significativa en la prueba χ²).

Tabla Resumen: Análisis de Datos Categóricos

Concepto Fórmula / Cálculo Interpretación
Tabla Contingencia Frecuencias conjuntas O_ij Resumen de relación bivariante
Frecuencia Esperada \(E_{ij} = \frac{n_i \times n_j}{N}\) Qué esperaríamos si independencia
Estadístico χ² \(\chi^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E}\) Mide desviación de independencia
p-value De tablas o software Probabilidad de χ² si H₀ verdadera
V de Cramér \(V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n(m-1)}}\) Fuerza de asociación (0-1)

⚠️ Trampa Común: Confundir χ² con Causalidad

❌ Incorrecto: "χ² significativo prueba que X causa Y"

✅ Correcto: "χ² significativo indica que X e Y no son independientes, pero NO sabemos quién causa quién (o si hay una causa común)."

Ejemplo: Si hallamos asociación entre "Tener tatuaje" y "Fumador", esto NO significa que los tatuajes causen fumar.

💡 Checklist

Antes de síntesis

  • [ ] ¿Sabes leer una tabla de contingencia?
  • [ ] ¿Entiendes la hipótesis nula de χ²?
  • [ ] ¿Sabes calcular frecuencias esperadas?
  • [ ] ¿Puedes interpretar χ² > valor crítico como "hay asociación"?
  • [ ] ¿Sabes la diferencia entre "estadísticamente significativo" y "asociación fuerte"?

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