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Ejercicios — UD2

Objetivo

✨ Practicar cálculos de probabilidades, aplicar distribuciones y usar fórmulas en contextos reales.

Eventos y Probabilidad

Ejercicio 1: Probabilidad Condicional

Una empresa fabrica componentes. El 2% tiene defecto, y el 90% de defectos se detectan en control.

Pregunta: Si un componente pasó el control (sin detectar defecto), ¿cuál es la probabilidad de que realmente esté defectuoso?

Solución — Ejercicio 1

Definir eventos: - D = componente defectuoso - + = detectado en control

Datos: - P(D) = 0.02 - P(+|D) = 0.90 (sensibilidad) - P(-|¬D) = 0.99 (especificidad, aproximada)

Usamos Bayes para P(D|-): $\(P(D|-) = \frac{P(-|D) \cdot P(D)}{P(-)}\)$

P(-|D) = 1 - 0.90 = 0.10

P(-) = P(-|D)·P(D) + P(-|¬D)·P(¬D) = 0.10 × 0.02 + 0.99 × 0.98 = 0.002 + 0.9702 = 0.9722

\[P(D|-) = \frac{0.10 \times 0.02}{0.9722} = \frac{0.002}{0.9722} ≈ 0.00206\]

Interpretación: Aunque solo 2% es defectuoso, si un componente pasó el control, la probabilidad de que sea realmente defectuoso es ~0.2%. El control es muy efectivo.

Ejercicio 2: Teorema de Bayes con Test Médico

Un test para covid-19 tiene:

  • Sensibilidad: 95% (P(+|E) = 0.95)
  • Especificidad: 98% (P(-|¬E) = 0.98)
  • Prevalencia en población: 1% (P(E) = 0.01)

Pregunta: Si das positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente tengas covid?

Solución — Ejercicio 2

Definir: - E = tienes covid - + = test positivo

P(E|+) = ?

\[P(E|+) = \frac{P(+|E) \cdot P(E)}{P(+|E) \cdot P(E) + P(+|¬E) \cdot P(¬E)}\]

P(+|¬E) = 1 - 0.98 = 0.02 (tasa falsos positivos)

\[P(E|+) = \frac{0.95 \times 0.01}{0.95 \times 0.01 + 0.02 \times 0.99}\]
\[= \frac{0.0095}{0.0095 + 0.0198} = \frac{0.0095}{0.0293} ≈ 0.324\]

¡SOLO 32.4%! Aunque el test es muy bueno (95% sensibilidad), como covid es raro (1%), más de 2/3 de positivos son falsos.

Lección clave: Cuando P(E) es bajo, incluso tests buenos tienen muchos falsos positivos.

Variables Aleatorias y Esperanza

Ejercicio 3: Calcular Esperanza y Varianza

Una variable aleatoria X toma valores:

X 1 2 3 4
P(X) 0.1 0.3 0.4 0.2

Pregunta: Calcula E[X], E[X²], Var(X).

Solución — Ejercicio 3

Esperanza:

\[E[X] = 1(0.1) + 2(0.3) + 3(0.4) + 4(0.2)\]
\[= 0.1 + 0.6 + 1.2 + 0.8 = 2.7\]

Segundo momento:

\[E[X^2] = 1^2(0.1) + 2^2(0.3) + 3^2(0.4) + 4^2(0.2)\]
\[= 1(0.1) + 4(0.3) + 9(0.4) + 16(0.2)\]
\[= 0.1 + 1.2 + 3.6 + 3.2 = 8.1\]

Varianza:

\[\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 8.1 - (2.7)^2 = 8.1 - 7.29 = 0.81\]

Desviación típica:

\[\sigma = \sqrt{0.81} = 0.9\]

Distribución Binomial

Ejercicio 4: Lanzamientos de Moneda

Lanzas una moneda justa 10 veces. X = número de caras.

Preguntas:

  • a) P(X = 5)?
  • b) P(X ≤ 3)?
  • c) E[X] y Var(X)?
Solución — Ejercicio 4

X ~ Binomial(n=10, p=0.5)

a) P(X = 5):

\[P(X=5) = \binom{10}{5} (0.5)^5 (0.5)^5 = 252 \times (0.5)^{10}\]
\[= 252 \times 0.00098 ≈ 0.246\]

b) P(X ≤ 3):

\[P(X \leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\]
\[P(X=0) = \binom{10}{0}(0.5)^{10} ≈ 0.00098\]
\[P(X=1) = \binom{10}{1}(0.5)^{10} = 10 \times 0.00098 ≈ 0.00977\]
\[P(X=2) = \binom{10}{2}(0.5)^{10} = 45 \times 0.00098 ≈ 0.04395\]
\[P(X=3) = \binom{10}{3}(0.5)^{10} = 120 \times 0.00098 ≈ 0.11719\]
\[P(X \leq 3) ≈ 0.00098 + 0.00977 + 0.04395 + 0.11719 ≈ 0.172\]

c) Momentos:

\[E[X] = np = 10 \times 0.5 = 5\]
\[\text{Var}(X) = np(1-p) = 10 \times 0.5 \times 0.5 = 2.5\]

Ejercicio 5: Control de Calidad

En una fábrica, 3% de piezas salen defectuosas. Revisas un lote de 50 piezas.

Preguntas:

  • a) ¿Cuántos defectos esperas en promedio?
  • b) P(exactamente 2 defectos)?
  • c) P(al menos 1 defecto)?
Solución — Ejercicio 5

X ~ Binomial(n=50, p=0.03)

a) Esperanza:

\[E[X] = np = 50 \times 0.03 = 1.5\]

Esperamos 1-2 defectos por lote.

b) P(X = 2):

\[P(X=2) = \binom{50}{2}(0.03)^2(0.97)^{48}\]
\[= \frac{50 \times 49}{2} \times 0.0009 \times 0.2223\]
\[= 1225 \times 0.0009 \times 0.2223 ≈ 0.245\]

c) P(X ≥ 1):

\[P(X \geq 1) = 1 - P(X=0)\]
\[P(X=0) = \binom{50}{0}(0.03)^0(0.97)^{50} = (0.97)^{50} ≈ 0.222\]
\[P(X \geq 1) ≈ 1 - 0.222 = 0.778\]

Distribución Poisson

Ejercicio 6: Llamadas Telefónicas

Un call center recibe en promedio 5 llamadas por minuto. X = número de llamadas en 1 minuto.

Preguntas:

  • a) P(X = 3)?
  • b) P(X = 0)?
  • c) P(X > 5)?
Solución — Ejercicio 6

X ~ Poisson(λ = 5)

a) P(X = 3):

\[P(X=3) = e^{-5} \frac{5^3}{3!} = e^{-5} \times \frac{125}{6}\]
\[= 0.0067 \times 20.83 ≈ 0.140\]

b) P(X = 0):

\[P(X=0) = e^{-5} \times \frac{5^0}{0!} = e^{-5} ≈ 0.0067\]

Muy raro (0.67%) que no haya llamadas en 1 minuto.

c) P(X > 5):

\[P(X > 5) = 1 - P(X \leq 5)\]

Calcular P(X ≤ 5) sumando P(0) + P(1) + ... + P(5): - P(0) ≈ 0.0067 - P(1) = e^(-5) × 5 ≈ 0.0337 - P(2) = e^(-5) × 25/2 ≈ 0.0842 - P(3) ≈ 0.1404 - P(4) = e^(-5) × 625/24 ≈ 0.1755 - P(5) = e^(-5) × 3125/120 ≈ 0.1755

\[P(X \leq 5) ≈ 0.616\]
\[P(X > 5) ≈ 0.384\]

Ejercicio 7: Defectos en Cable

Un cable de 1000 metros tiene en promedio 2 defectos. ¿Cuál es la probabilidad de que un tramo de 100 metros tenga 0 defectos?

Solución — Ejercicio 7

Si λ = 2 defectos por 1000 metros, entonces: $\(\lambda_{100} = 2 \times \frac{100}{1000} = 0.2\)$

X ~ Poisson(λ = 0.2)

\[P(X=0) = e^{-0.2} \times \frac{0.2^0}{0!} = e^{-0.2} ≈ 0.819\]

Aproximadamente 82% de chance de no tener defectos.

Distribución Normal

Ejercicio 8: Alturas de Estudiantes

Las alturas en una universidad siguen N(170 cm, 8²).

Preguntas:

  • a) P(altura < 170)?
  • b) P(160 < altura < 180)?
  • c) ¿Qué altura corresponde al percentil 90?
Solución — Ejercicio 8

X ~ N(170, 64), μ = 170, σ = 8

a) P(X < 170): $\(Z = \frac{170-170}{8} = 0\)$ $\(P(X < 170) = P(Z < 0) = 0.5\)$

50% de estudiantes mide menos de 170 cm (por simetría).

b) P(160 < X < 180): $\(Z_1 = \frac{160-170}{8} = -1.25\)$ $\(Z_2 = \frac{180-170}{8} = 1.25\)$

P(160 < X < 180) = P(-1.25 < Z < 1.25) = P(Z < 1.25) - P(Z < -1.25) = 0.8944 - 0.1056 = 0.7888

Aproximadamente 79% de estudiantes mide entre 160-180 cm.

c) Percentil 90 (z = 1.645): $\(x = \mu + z \times \sigma = 170 + 1.645 \times 8\)$ $\(= 170 + 13.16 ≈ 183.16 \text{ cm}\)$

El 90% de estudiantes mide menos de 183 cm.

Ejercicio 9: Pesos y Control de Calidad

Pesos de cajas ~ N(500, 30²) gramos.

Preguntas:

  • a) P(peso > 550)?
  • b) P(450 < peso < 550)?
Solución — Ejercicio 9

X ~ N(500, 900), μ = 500, σ = 30

a) P(X > 550): $\(Z = \frac{550-500}{30} = \frac{50}{30} = 1.67\)$

P(X > 550) = P(Z > 1.67) = 1 - P(Z < 1.67) = 1 - 0.9525 = 0.0475

Aproximadamente 4.75% de cajas pesan más de 550 g.

b) P(450 < X < 550): $\(Z_1 = \frac{450-500}{30} = -1.67\)$ $\(Z_2 = \frac{550-500}{30} = 1.67\)$

P(450 < X < 550) = P(-1.67 < Z < 1.67) = P(Z < 1.67) - P(Z < -1.67) = 0.9525 - 0.0475 = 0.905

Aproximadamente 90.5% de cajas pesan entre 450-550 g.

Análisis Bivariante

Ejercicio 7: Calcular Correlación

Datos de 5 estudiantes (Horas Estudiadas, Calificación):

X (Horas):     [2, 4, 6, 8, 10]
Y (Notas):     [3, 5, 6, 8, 9]

Pregunta: Calcula la correlación de Pearson r.

Solución — Ejercicio 7

Paso 1: Calcular medias - \(\bar{x} = 6\) - \(\bar{y} = 6.2\)

Paso 2: Calcular varianzas y covarianza - \(\sum (x_i - 6)^2 = 28\) - \(\sum (y_i - 6.2)^2 = 23.37\) - \(\sum (x_i - 6)(y_i - 6.2) = 30\)

Paso 3: Calcular correlación $\(r = \frac{30}{\sqrt{28 \times 23.37}} = \frac{30}{25.58} ≈ 0.852\)$

Interpretación: r ≈ 0.85 indica relación positiva fuerte.

Ejercicio 8: Regresión Lineal Simple

Usando los datos del Ejercicio 7, estima la recta Y = β₀ + β₁X y predice para 7 horas.

Solución — Ejercicio 8

Calcular pendiente: $\(\hat{\beta}_1 = \frac{30/5}{28/5} = 1.071\)$

Calcula Calcula Calcula Calc 6.2 - 1 Calcula Cal$

Ecuación: $\hat{Y} = -0.23 + 1. Ecuación: \(\hat{Y} = -0.23 + 1. **Ecuación.23 + 1.071 \times 7 = 7.27\)$

Ejercicio 9: Tabla de Contingencia y χ²

Tabla Género × Lenguaje (n=100):

| | | | | | | | | ----| | | | | ombre| | | || | | 30 | | | | | | | | | | 2| | | | | ¿H| | | | | | α=0.| | | | | | | rci| | | | | | |adas:** $\(E_{HP} = \frac{50 \times 55}{100} = 27.5, \quad E_{HR} = 11, \quad E_{HJ} = 11.5\)$

**Calcular χ²:**
$$\chi^2 = \frac{(25-27.5)^2}{27.5    $$\chi^2 = \frac{(25-27.5)^2}{271)(3-1)    $$\chi^2 = \frac{(25-27.5)^2}{27.5    $$\chi^2 = \frac{(25-27.5)^2}{271)(3-1)    $$\chitiva**.

Síntesis y Checklist

Resumen de Estrategias

Identifica el tipo de problema:

  • 🎲 ¿Probabilidad condicional? → Usa Bayes
  • 📊 ¿Conteo de eventos, n fijo? → Binomial
  • 📞 ¿Conteo en intervalo continuo? → Poisson
  • 📏 ¿Variable continua, campana? → Normal
  • ⏱️ ¿Tiempo hasta evento? → Exponencial

Checklist de cálculo:

  • [ ] Identifica la distribución (¿X ~ Binomial, Poisson, Normal?)
  • [ ] Escribe los parámetros (n, p, λ, μ, σ)
  • [ ] Aplica la fórmula correspondiente
  • [ ] Usa tabla Z (Normal) o calculadora
  • [ ] Interpreta el resultado en contexto

📝 Ejercicios Propuestos

Práctica Adicional

  1. Binomial: 8 lanzamientos de dados. X = número de seises. P(X ≤ 2)?
  2. Poisson: Centro de ER recibe 10 llamadas/hora. P(>15 en una hora)?
  3. Normal: Edad de población ~ N(45, 15²). P(20 < edad < 70)?
  4. Bayes: Test tiene 85% sens, 90% esp, prev 5%. Si das positivo, P(realmente tengas)?

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