Examen UD2 (medio)

Duración estimada: 60 minutos.

Instrucciones

• Responde marcando la opción correcta (a, b, c, d). Puede haber más de una correcta: marca todas las que correspondan.
• En las preguntas de cálculo se pide elegir la(s) opción(es) correcta(s); debajo de cada pregunta se incluye la solución desarrollada para estudiar.

---

#

Pregunta 1

Se lanza un dado justo de 6 caras. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?

1/6

1/3

1/2

2/3

Explicación: Hay 3 caras pares (2, 4, 6) de 6 posibles, por tanto P = 3/6 = 1/2.

#

Pregunta 2

Se lanzan dos dados justos. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea exactamente 5?

1/6

1/9

1/12

1/18

Explicación: Las combinaciones que suman 5 son (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) = 4 casos de 36 posibles, P = 4/36 = 1/9.

#

Pregunta 3

Un test médico tiene sensibilidad 90% (detecta enfermedad si está presente) y especificidad 95% (negativo si no hay enfermedad). La prevalencia de la enfermedad es 2%. Si una persona da positivo, ¿cuál es aproximadamente la probabilidad de que tenga la enfermedad usando Bayes?

90%

50%

≈ 27%

95%

Explicación: P(E)=0.02, P(+|E)=0.90, P(+|¬E)=0.05; P(E|+) = (0.90×0.02)/(0.90×0.02 + 0.05×0.98) = 0.018/(0.018+0.049) ≈ 0.27.

#

Pregunta 4

Una variable aleatoria discreta X toma valores 0, 2 y 5 con probabilidades 0.5, 0.3 y 0.2 respectivamente. ¿Cuál es la esperanza E[X]?

2.0

1.6

2.5

1.0

Explicación: E[X] = 0×0.5 + 2×0.3 + 5×0.2 = 0 + 0.6 + 1.0 = 1.6.

#

Pregunta 5

Para la misma variable del ejercicio anterior (X: 0, 2, 5 con prob. 0.5, 0.3, 0.2), calcula la varianza Var(X).

≈ 3.64

2.56

4.00

1.60

Explicación: E[X²] = 0²×0.5 + 2²×0.3 + 5²×0.2 = 0 + 1.2 + 5.0 = 6.2; Var(X) = 6.2 - (1.6)² = 6.2 - 2.56 = 3.64.

#

Pregunta 6

En un proceso de producción, el 5% de las piezas son defectuosas. Si inspeccionamos 10 piezas, ¿cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 0 defectuosas usando la distribución binomial?

≈ 0.60

0.95

0.50

0.05

Explicación: X ~ Bin(10, 0.05); P(X=0) = (0.95)^10 ≈ 0.5987 ≈ 0.60.

#

Pregunta 7

Para el mismo proceso (5% defectuosas, n=10), ¿cuál es la esperanza del número de piezas defectuosas?

10

1

0.5

5

Explicación: E[X] = n×p = 10×0.05 = 0.5.

#

Pregunta 8

En una centralita telefónica llegan en promedio 4 llamadas por minuto siguiendo una distribución de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto lleguen exactamente 2 llamadas?

e^(-4)

≈ 0.147

≈ 0.195

2/4 = 0.5

Explicación: P(X=2) = e^(-4) × 4²/2! = e^(-4) × 16/2 = e^(-4) × 8 ≈ 0.0183 × 8 ≈ 0.147.

#

Pregunta 9

Para la misma distribución Poisson con λ=4, ¿cuál es la probabilidad de que NO llegue ninguna llamada en un minuto?

≈ 0.018

0.25

0.50

0

Explicación: P(X=0) = e^(-4) × 4^0/0! = e^(-4) ≈ 0.0183.

#

Pregunta 10

El tiempo de espera en una cola sigue una distribución exponencial con media de 10 minutos. ¿Cuál es el parámetro λ de la distribución?

10

0.1

1

0.01

Explicación: Para exponencial, media = 1/λ; si media = 10, entonces λ = 1/10 = 0.1.

#

Pregunta 11

Con el mismo tiempo exponencial (λ=0.1 por minuto), ¿cuál es la probabilidad de que la espera sea menor de 5 minutos?

0.5

≈ 0.39

≈ 0.61

0.10

Explicación: P(X<5) = 1 - e^(-0.1×5) = 1 - e^(-0.5) ≈ 1 - 0.6065 ≈ 0.3935 ≈ 0.39.

#

Pregunta 12

Una variable aleatoria sigue una distribución normal N(100, 16). ¿Cuál es la desviación típica σ?

16

100

4

256

Explicación: La notación N(μ, σ²) indica varianza σ²=16, por tanto σ = √16 = 4.

---

Los resultados del cuestionario se guardan en el almacenamiento local de tu navegador y persistirán entre sesiones.

Reiniciar cuestionario

Progreso del cuestionario

0 / 0 preguntas respondidas (0%)

0 correctas

¡Cuestionario completado!

0%

Reiniciar cuestionario

---

Soluciones desarrolladas

Solución pregunta 1 — Probabilidad básica: número par

Espacio muestral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, todos con probabilidad 1/6.

Evento A = {2, 4, 6} (números pares).

P(A) = 3/6 = 1/2.

Solución pregunta 2 — Suma de dados igual a 5

Al lanzar dos dados hay 36 resultados equiprobables.

Combinaciones que suman 5: - (1,4) - (2,3) - (3,2) - (4,1)

Total: 4 casos favorables.

P(suma=5) = 4/36 = 1/9 ≈ 0.111.

Solución pregunta 3 — Bayes: test médico

Datos: - P(E) = 0.02 (prevalencia) - P(+|E) = 0.90 (sensibilidad) - P(+|¬E) = 1 - 0.95 = 0.05 (falso positivo)

Por teorema de Bayes:

\[P(E|+) = \frac{P(+|E) \cdot P(E)}{P(+|E) \cdot P(E) + P(+|\neg E) \cdot P(\neg E)}\]

\[= \frac{0.90 \times 0.02}{0.90 \times 0.02 + 0.05 \times 0.98}\]

\[= \frac{0.018}{0.018 + 0.049} = \frac{0.018}{0.067} \approx 0.269 \approx 27\%\]

Aunque la sensibilidad es alta (90%), debido a la baja prevalencia (2%) y el 5% de falsos positivos, la probabilidad posterior es solo ~27%.

Solución pregunta 4 — Esperanza variable discreta

Variable X con distribución: - P(X=0) = 0.5 - P(X=2) = 0.3 - P(X=5) = 0.2

Esperanza:

\[E[X] = \sum x_i \cdot P(X=x_i) = 0 \times 0.5 + 2 \times 0.3 + 5 \times 0.2\]

\[= 0 + 0.6 + 1.0 = 1.6\]

Solución pregunta 5 — Varianza variable discreta

Primero calculamos E[X²]:

\[E[X^2] = 0^2 \times 0.5 + 2^2 \times 0.3 + 5^2 \times 0.2\]

\[= 0 + 4 \times 0.3 + 25 \times 0.2 = 0 + 1.2 + 5.0 = 6.2\]

Varianza:

\[Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 6.2 - (1.6)^2 = 6.2 - 2.56 = 3.64\]

Desviación típica: σ = √3.64 ≈ 1.91.

Solución pregunta 6 — Binomial: 0 defectuosas

X ~ Bin(n=10, p=0.05) cuenta el número de piezas defectuosas.

P(X=0):

\[P(X=0) = \binom{10}{0} (0.05)^0 (0.95)^{10} = 1 \times 1 \times (0.95)^{10}\]

\[(0.95)^{10} \approx 0.5987 \approx 0.60\]

Solución pregunta 7 — Esperanza binomial

Para X ~ Bin(n, p), la esperanza es:

\[E[X] = n \times p = 10 \times 0.05 = 0.5\]

Se espera encontrar en promedio media pieza defectuosa en 10 inspeccionadas.

Solución pregunta 8 — Poisson: 2 llamadas

X ~ Poisson(λ=4 llamadas por minuto).

\[P(X=2) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} = \frac{e^{-4} \cdot 4^2}{2!}\]

\[= \frac{e^{-4} \cdot 16}{2} = e^{-4} \cdot 8\]

\[\approx 0.0183 \times 8 \approx 0.1465 \approx 0.147\]

Solución pregunta 9 — Poisson: 0 llamadas

X ~ Poisson(λ=4).

\[P(X=0) = \frac{e^{-4} \cdot 4^0}{0!} = e^{-4} \cdot 1 = e^{-4}\]

\[\approx 0.0183 \approx 0.018\]

Hay aproximadamente 1.8% de probabilidad de que no llegue ninguna llamada en un minuto.

Solución pregunta 10 — Parámetro exponencial

Para la distribución exponencial con parámetro λ:

• Función de densidad: \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\)
• Media: \(E[X] = \frac{1}{\lambda}\)

Si la media es 10 minutos:

\[\frac{1}{\lambda} = 10 \implies \lambda = \frac{1}{10} = 0.1\]

Solución pregunta 11 — Exponencial: P(X<5)

Con λ = 0.1, la función de distribución acumulada:

\[F(x) = P(X \le x) = 1 - e^{-\lambda x}\]

Para x=5:

\[P(X < 5) = 1 - e^{-0.1 \times 5} = 1 - e^{-0.5}\]

\[e^{-0.5} \approx 0.6065\]

\[P(X < 5) \approx 1 - 0.6065 = 0.3935 \approx 0.39\]

Hay aproximadamente 39% de probabilidad de esperar menos de 5 minutos.

Solución pregunta 12 — Desviación típica normal

La distribución normal se denota N(μ, σ²) donde: - μ es la media - σ² es la varianza

Para N(100, 16): - μ = 100 - σ² = 16 - σ = √16 = 4

La desviación típica es 4.

---

Sección Bivariante

#

Pregunta 13

Pregunta 9. Interpretación de Correlación

Dos variables tienen correlación de Pearson r = -0.78. ¿Qué significa?

No hay relación

Relación lineal negativa fuerte

Relación no lineal débil

Causalidad

Explicación: r = -0.78 indica relación lineal negativa fuerte. Correlación ≠ causación.

#

Pregunta 14

Pregunta 10. Covarianza

X = [1, 2, 3], Y = [2, 4, 5]. ¿Cov(X,Y)?

-0.67

0

1.33

2.67

Explicación: Medias: x̄ = 2, ȳ = 3.67. Cov(X,Y) = 1.33

#

Pregunta 15

Pregunta 11. Regresión

Y = 25 + 3.5X. β₁ = 3.5 significa:

Salario promedio

Por cada año, salario +3.5 mil euros

Correlación es 3.5

35% variación

Explicación: β₁ es pendiente: cambio en Y por unidad X.

#

Pregunta 16

Pregunta 12. R²

r = 0.6. ¿R²?

R² = 0.6

R² = 0.36

R² = 1.2

R² = 0

Explicación: R² = r² = 0.36. El 36% variación explicada.

#

Pregunta 17

Pregunta 13. Independencia

¿Tabla balanceada garantiza independencia?

Sí

No, requiere prueba χ²

Variables dependientes

Covarianza cero

Explicación: Prueba χ² verifica independencia.

#

Pregunta 18

Pregunta 14. χ² Test

χ² = 4.2, crítico = 3.84. Conclusión:

Rechazar H₀: asociación significativa

No rechazar

χ² > crítico = independencia

Información insuficiente

Explicación: 4.2 > 3.84 → Rechazamos H₀.

#

Pregunta 19

Pregunta 15. Restricciones χ²

Requisito mínimo:

Frecuencias > 10

Frecuencias esperadas ≥ 5

n > 200

Variables cuantitativas

Explicación: Si Eᵢⱼ < 5, combinar o usar Fisher.

#

Pregunta 20

Pregunta 16. Residuos

¿Qué es residuo eᵢ?

Pendiente

Diferencia: eᵢ = yᵢ - ŷᵢ

Error estándar

Covarianza

Explicación: Residuos miden desviaciones. Suma ≈ 0.

Solución 9: Correlación negativa

r = -0.78 es fuerte (|r| > 0.7) y negativa.

Respuesta: B

Solución 10: Covarianza

x̄ = 2, ȳ = 3.67 Cov ≈ 1.33

Respuesta: C

Solución 11: β₁ pendiente

Cambio estimado en Y por unidad X.

Respuesta: B

Solución 12: R² coeficiente

R² = r² = 0.36

Respuesta: B

Solución 13: Independencia

Prueba χ² necesaria.

Respuesta: B

Solución 14: Decisión χ²

4.2 > 3.84, rechazar H₀.

Respuesta: A

Solución 15: Requisito χ²

Eᵢⱼ ≥ 5.

Respuesta: B

Solución 16: Residuos

eᵢ = yᵢ - ŷᵢ

Respuesta: B