📝 Ejercicios: Variables Aleatorias

🎯 Objetivo

Practicar conceptos de variables aleatorias, distribuciones, esperanza y varianza mediante ejercicios completos resueltos.

Bloque 1: Conceptos Fundamentales

Ej. 1 - Clasificación de Variables

Enunciado: Identifica si las siguientes variables son discretas o continuas. Explica brevemente.

Número de errores en clasificación de imágenes
Tiempo de respuesta de un servidor (en ms)
Puntuación de sentimiento (0-10)
Temperatura promedio diaria
Resultado de lanzar un dado

Solución

Número de errores: DISCRETA. Se cuenta (1, 2, 3, ...)
Tiempo de respuesta: CONTINUA. Se mide, puede ser 1.234ms, 1.235ms, etc.
Puntuación (0-10): DISCRETA. Aunque es "escala", típicamente toma valores enteros finitos
Temperatura diaria: CONTINUA. Se mide en rango real, ej. 23.4°C, 23.5°C
Resultado dado: DISCRETA. Valores finitos {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ej. 2 - Espacio Muestral y Sucesos

Enunciado: Define el espacio muestral y 3 sucesos para el experimento: "Lanzar una moneda 2 veces"

Solución

Espacio muestral: $$\Omega = \{CC, C+, +C, ++\}$$

(donde C = cara, + = cruz)

Sucesos posibles: - $A$ = "al menos una cara": $A = \{CC, C+, +C\}$ - $B$ = "exactamente 1 cara": $B = \{C+, +C\}$ - $C$ = "dos caras": $C = \{CC\}$

Bloque 2: PMF y Probabilidad Discreta

Ej. 3 - Función de Masa de Probabilidad

Enunciado: Sea $X$ = número de caras en 2 lanzamientos. Calcula:

a) La PMF de $X$
b) $P(X \leq 1)$
c) $E[X]$

Solución

a) PMF de X:

$x$	0	1	2
$p_X(x)$	1/4	2/4	1/4

Cálculo: - $P(X=0)$: solo ++ → 1/4 - $P(X=1)$: C+ o +C → 2/4 - $P(X=2)$: solo CC → 1/4 - Suma: 1/4 + 2/4 + 1/4 = 1 ✓

b) $P(X \leq 1)$: $$P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1) = 1/4 + 2/4 = 3/4 = 0.75$$

c) $E[X]$: $$E[X] = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{2}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 0 + \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1$$

Ej. 4 - CDF de Variable Discreta

Enunciado: Para el ejercicio anterior, dibuja la CDF $F_X(x) = P(X \leq x)$ y calcula:

a) $F_X(0.5)$
b) $F_X(1.5)$
c) $F_X(3)$

Solución

CDF (función escalonada):

\[F_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 1/4 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 3/4 & \text{si } 1 \leq x < 2 \\ 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}\]

Cálculos: - $F_X(0.5) = 1/4$ (solo valor $\leq 0.5$ es 0) - $F_X(1.5) = 3/4$ (valores $\leq 1.5$ son 0 y 1) - $F_X(3) = 1$ (todos los valores $\leq 3$)

Bloque 3: PDF y Probabilidad Continua

Ej. 5 - Distribución Normal Estándar

Enunciado: Sea $X \sim N(0, 1)$ (normal estándar). Usa tabla normal para calcular:

a) $P(X \leq 0.5)$
b) $P(-1 < X < 1)$
c) $P(X > 2)$

Solución

De tabla normal estándar (Φ): - $Φ(0.5) \approx 0.6915$ - $Φ(1) \approx 0.8413$ - $Φ(2) \approx 0.9772$

a) $P(X \leq 0.5)$: $$P(X \leq 0.5) = Φ(0.5) = 0.6915$$

b) $P(-1 < X < 1)$: $$P(-1 < X < 1) = Φ(1) - Φ(-1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826 \approx 68\%$$

(Regla empírica: 1σ contiene ~68%)

c) $P(X > 2)$: $$P(X > 2) = 1 - Φ(2) = 1 - 0.9772 = 0.0228 \approx 2.3\%$$

Ej. 6 - PDF de Distribución Uniforme

Enunciado: Sea $X \sim \text{Uniforme}(a=0, b=10)$. Calcula:

a) La PDF $f_X(x)$
b) $P(2 < X < 7)$
c) $E[X]$ y $\text{Var}(X)$

Solución

a) PDF: $$f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{10} = 0.1 & \text{si } 0 \leq x \leq 10 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}$$

b) $P(2 < X < 7)$: $$P(2 < X < 7) = \int_2^7 0.1 \, dx = 0.1 \cdot (7-2) = 0.1 \cdot 5 = 0.5$$

c) Medidas: $$E[X] = \frac{a+b}{2} = \frac{0+10}{2} = 5$$ $$\text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{100}{12} \approx 8.33$$

Bloque 4: Esperanza y Varianza

Ej. 7 - Cálculo de Esperanza

Enunciado: En un juego, ganas €10 con prob. 0.3 y pierdes €5 con prob. 0.7. Calcula $E[\text{Ganancia}]$.

Solución

\[E[X] = 10 \cdot 0.3 + (-5) \cdot 0.7 = 3 - 3.5 = -0.5 \text{ euros}\]

Interpretación: A largo plazo, pierdes €0.50 en promedio por partida. El juego es injusto (negativo para ti).

Ej. 8 - Cálculo de Varianza

Enunciado: Para el ejercicio 7, calcula $\text{Var}(X)$ y $\sigma_X$.

Solución

Primer momento: $$E[X^2] = 10^2 \cdot 0.3 + (-5)^2 \cdot 0.7 = 100 \cdot 0.3 + 25 \cdot 0.7 = 30 + 17.5 = 47.5$$

Varianza: $$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 47.5 - (-0.5)^2 = 47.5 - 0.25 = 47.25$$

Desviación típica: $$\sigma_X = \sqrt{47.25} \approx 6.87 \text{ euros}$$

Interpretación: Aunque pierdes €0.50 en promedio, la variabilidad es alta (±€6.87), indicando riesgo significativo.

Ej. 9 - Propiedades de Esperanza y Varianza

Enunciado: Si $X$ tiene $E[X] = 50$ y $\text{Var}(X) = 16$, calcula para $Y = 3X + 10$:

a) $E[Y]$
b) $\text{Var}(Y)$
c) $\sigma_Y$

Solución

a) Esperanza de Y: $$E[Y] = E[3X + 10] = 3 \cdot E[X] + 10 = 3 \cdot 50 + 10 = 150 + 10 = 160$$

b) Varianza de Y: $$\text{Var}(Y) = \text{Var}(3X + 10) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) = 9 \cdot 16 = 144$$

(Nota: sumar constante no afecta varianza)

c) Desviación típica: $$\sigma_Y = \sqrt{144} = 12$$

🎓 Ejercicios Integradores

Ej. 10 - Inicialización Xavier (Aplicación IA)

Enunciado: Una red neuronal inicializa pesos entre capas 256 → 128 usando Xavier. Calcula:

a) La varianza de inicialización
b) La desviación típica
c) Rango típico de pesos

Solución

a) Varianza Xavier: $$\sigma^2 = \frac{2}{n_{in} + n_{out}} = \frac{2}{256 + 128} = \frac{2}{384} \approx 0.00521$$

b) Desviación típica: $$\sigma = \sqrt{0.00521} \approx 0.0722$$

c) Rango típico (±3σ): $$[-3 \cdot 0.0722, 3 \cdot 0.0722] = [-0.217, 0.217]$$

Los pesos se inicializan en este rango para garantizar flujo de gradientes estable.

📌 Consejos para Resolver Ejercicios

✅ Discretas (PMF):

Enumera todos los valores posibles
Verifica que suma de probabilidades = 1
Calcula esperanza como suma ponderada

✅ Continuas (PDF):

Integra para obtener probabilidades
Verifica que integral = 1
Esperanza es integral de $x \cdot f(x)$

✅ Varianza:

Usa siempre $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$
Recuerda: $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$
Varianza de suma solo es aditiva si variables independientes