"UD3 — Eventos y probabilidad básica"

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Objetivo

✨ Comprender los fundamentos de la probabilidad — espacios muestrales, eventos, axiomas y probabilidad condicional — bases para toda inferencia estadística.

Idea Clave 💡

La probabilidad cuantifica incertidumbre. Desde juegos de dados hasta diagnósticos médicos, la probabilidad nos permite modelar eventos inciertos con rigor matemático. Sin entender probabilidad, no puedes hacer inferencia válida.

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Conceptos Fundamentales

Espacio Muestral (Ω)

Definición: El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Ejemplos:

• 🎲 Lanzar un dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• 🪙 Lanzar una moneda 2 veces: Ω = {CC, CX, XC, XX}
• 📞 Número de llamadas en 1 hora: Ω = {0, 1, 2, 3, ...}
• 📏 Altura de estudiantes: Ω = (140, 210) cm (intervalo continuo)

Características:

• ✅ Debe ser exhaustivo (cubre todos los casos)
• ✅ Mutuamente excluyente (ninguna superposición)
• ✅ Nivel de detalle depende del problema

Ejemplo: Lanzar Dos Dados

Ω = {(1,1), (1,2), ..., (1,6), (2,1), ..., (6,6)}

|Ω| = 36 resultados posibles

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Evento (A)

Definición: Un subconjunto de Ω — una colección de resultados de interés.

Tipos:

• 🔴 Evento simple: Un único resultado (p.ej., sacar un 6)
• 🟠 Evento compuesto: Varios resultados (p.ej., sacar número par)
• ⚫ Evento seguro: Ω completo (probabilidad = 1)
• 💨 Evento imposible: ∅ vacío (probabilidad = 0)

Ejemplo: Lanzar Un Dado

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = "sacar un número par" = {2, 4, 6}

B = "sacar mayor que 4" = {5, 6}

A ∩ B = {6} (intersección)

A ∪ B = {2, 4, 5, 6} (unión)

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Axiomas de Kolmogorov (Fundamentos)

La probabilidad debe cumplir 3 axiomas fundamentales:

Axioma	Fórmula	Interpretación
1️⃣ No negatividad	\(P(A) \geq 0\)	Probabilidad nunca es negativa
2️⃣ Certeza	\(P(\Omega) = 1\)	Seguro de que ocurre algo
3️⃣ Aditividad	\(P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2)\) si disjuntos	Suma de eventos disjuntos

De estos axiomas se derivan:

• \(P(\emptyset) = 0\) (imposible)
• \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\) (complemento)
• \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) (inclusión-exclusión)

Ejemplo: Baraja de Cartas

Ω = 52 cartas

A = "as de cualquier palo" = 4 cartas

P(A) = 4/52 = 1/13 ≈ 0.077

P(no as) = 1 - 1/13 = 12/13 ≈ 0.923

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Probabilidad Condicional

Definición

Pregunta: "Dado que pasó B, ¿cuál es la probabilidad de A?"

Intuición: Restriccionamos el espacio muestral a B, y calculamos qué fracción de B está también en A.

Ejemplo: Dos Dados

Ω = {(1,1), (1,2), ..., (6,6)} = 36 resultados

A = "suma = 7" = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} → 6 resultados

B = "primer dado = 3" = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)} → 6 resultados

A ∩ B = {(3,4)} → 1 resultado

P(A) = 6/36 = 1/6

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = (1/36)/(6/36) = 1/6

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Independencia

Definición: A y B son independientes si:

O equivalentemente: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)

Intuición: El hecho de que B ocurra no afecta la probabilidad de A.

Ejemplo: Lanzamientos Independientes

Lanzar dos dados justos son eventos independientes:

P(dado1 = 5 Y dado2 = 3) = P(dado1=5) × P(dado2=3) = (1/6) × (1/6) = 1/36 ✅

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Teorema de Bayes 🔮

Fórmula:

Componentes:

• P(A) = Probabilidad a priori (antes de ver evidencia)
• P(B|A) = Verosimilitud (evidencia dada A)
• P(B) = Probabilidad de la evidencia
• P(A|B) = Probabilidad a posteriori (después de ver B)

¿Por qué importa? Permite actualizar creencias con nueva información.

Ejemplo Crucial: Test Médico

Un test detecta enfermedad E: - Sensibilidad: P(+|E) = 95% (detecta 95% de enfermos) - Especificidad: P(-|¬E) = 90% (detecta 90% de sanos) - Prevalencia: P(E) = 1% (1 de 100 tiene la enfermedad)

Pregunta: ¿Si doy positivo, realmente tengo la enfermedad?

Solución: $\(P(E|+) = \frac{P(+|E) \cdot P(E)}{P(+)}\)$

Primero calcular P(+): $\(P(+) = P(+|E) \cdot P(E) + P(+|\neg E) \cdot P(\neg E)\)$ $\(= 0.95 \times 0.01 + 0.10 \times 0.99 = 0.0095 + 0.099 = 0.1085\)$

Luego: $\(P(E|+) = \frac{0.95 \times 0.01}{0.1085} = \frac{0.0095}{0.1085} \approx 0.0876 \approx 8.76\%\)$

¡Sorpresa! A pesar de 95% de sensibilidad, un positivo solo significa ~9% de probabilidad de tener la enfermedad (porque es muy rara).

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Tabla Comparativa: Probabilidades

Concepto	Fórmula	Interpretación
Simple	P(A)	Probabilidad de un evento
Conjunta	P(A ∩ B)	Probabilidad de A y B
Unión	P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)	Probabilidad de A o B
Condicional	P(A|B) = P(A∩B)/P(B)	A dado que B
Bayes	P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)	Actualizar con evidencia

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Diagrama de Decisión: ¿Qué Fórmula Usar?

graph TD
    A["¿Qué probabilidad calcular?"] -->|Un evento A| B["P(A)"]
    A -->|Dos eventos A y B| C{"¿Qué relación?"}
    C -->|Ambos ocurren| D["P(A ∩ B)"]
    C -->|Al menos uno| E["P(A ∪ B)"]
    C -->|A dado B| F{"¿Independientes?"}
    F -->|SÍ| G["P(A|B) = P(A)"]
    F -->|NO| H["P(A|B) = P(A∩B)/P(B)"]
    A -->|Actualizar con evidencia| I["Teorema de Bayes"]

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⚠️ Trampa Común: Falacia del Fiscal

Confundir P(B|A) con P(A|B)

❌ INCORRECTO: "El test es 95% preciso, así que si doy positivo, tengo 95% de probabilidad de tener la enfermedad"

✅ CORRECTO: Usar Bayes. La probabilidad real depende de la prevalencia (como vimos, ~9%).

Lección: Siempre usa Bayes cuando quieras pasar de "evidencia dado hipótesis" a "hipótesis dada evidencia".

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💡 Tips Prácticos

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📝 Ejercicios Clave

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