Examen UD3 (teoría)

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title: Examen — Unidad 3: Variables aleatorias y medidas (UD3) (medio)

Duración estimada: 30 minutos.

Instrucciones

• Responde marcando la opción correcta (a, b, c, d). Puede haber más de una correcta: marca todas las que correspondan.
• En las preguntas de cálculo se pide elegir la(s) opción(es) correcta(s); debajo de cada pregunta se incluye la solución desarrollada para estudiar.

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Pregunta 1

¿Qué representa matemáticamente una variable aleatoria \(X\)?

Una constante que nunca cambia.

Una función que asigna un valor numérico a cada resultado de un experimento.

El error total de un modelo de regresión.

Un subconjunto del espacio muestral.

Explicación: Una variable aleatoria es una función que asigna números a los resultados del experimento; no es una constante ni un subconjunto.

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Pregunta 2

En probabilidad, ¿qué es el espacio muestral \(\Omega\)?

El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.

El grado de creencia racional en un suceso.

El valor promedio de una variable tras infinitos ensayos.

La suma de todas las frecuencias relativas.

Explicación: \(\Omega\) es por definición el conjunto de todos los resultados elementales posibles.

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Pregunta 3

¿Qué rango de valores puede tomar la probabilidad de un suceso \(A\)?

\([-1, 1]\)

\([0, \infty)\)

\([0, 1]\)

Cualquier valor real.

Explicación: Por axiomas de Kolmogorov, las probabilidades son números entre 0 y 1 inclusive.

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Pregunta 4

Según la interpretación Bayesiana, la probabilidad representa:

La frecuencia relativa tras infinitos ensayos.

Un grado de creencia racional que se actualiza con nueva evidencia.

El área bajo la curva de una función de masa.

Un suceso que es necesariamente seguro.

Explicación: La interpretación bayesiana ve la probabilidad como una medida de creencia actualizable con datos.

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Pregunta 5

Una variable aleatoria es "discreta" cuando:

Toma valores en un intervalo real continuo.

Solo puede tomar valores positivos.

Toma valores en un conjunto numerable o finito.

Su función de densidad es siempre una constante.

Explicación: Las variables discretas tienen un conjunto numerable de posibles valores con probabilidad positiva.

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Pregunta 6

¿Cuál de estos es un ejemplo de variable aleatoria continua en IA?

El número de imágenes correctamente clasificadas en un batch.

La capa seleccionada en un proceso de dropout.

El valor de activación de una neurona tras una función sigmoide.

El número de iteraciones hasta la convergencia.

Explicación: Las activaciones suelen ser valores reales continuos, a diferencia de conteos o índices.

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Pregunta 7

La Función de Distribución Acumulada (CDF), \(F_X(x)\), se define como:

\(P(X = x)\)

\(P(X \leq x)\)

La derivada de la función de masa.

La integral de la esperanza matemática.

Explicación: Por definición \(F_X(x)=P(X\le x)\), no es la probabilidad puntual ni su derivada necesariamente.

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Pregunta 8

¿Cuál es el valor del límite de la CDF (\(F_X(x)\)) cuando \(x\) tiende a \(+\infty\)?

0

0.5

\(\infty\)

1

Explicación: La CDF tiende a 1 cuando \(x\to+\infty\) ya que cubre todo el espacio muestral.

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Pregunta 9

Para variables aleatorias discretas, la Función de Masa de Probabilidad (PMF) cumple que:

La suma de todas las \(p_X(x)\) debe ser igual a 1.

Sus valores pueden ser negativos si la variable lo es.

Siempre es igual a la derivada de la CDF.

Solo toma valores entre -1 y 1.

Explicación: Las probabilidades puntuales suman 1; no pueden ser negativas ni derivadas de la CDF en general.

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Pregunta 10

En una variable aleatoria continua, ¿cuál es la probabilidad exacta de que \(X\) tome un valor específico \(x\) (\(P(X=x)\))?

Siempre 1.

0.

El valor de la densidad en ese punto.

Depende del ancho del intervalo.

Explicación: Para variables continuas la probabilidad puntual es 0; las densidades no son probabilidades directas.

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Pregunta 11

¿Qué indica la Función de Densidad de Probabilidad (PDF) en un punto \(x\)?

La probabilidad exacta de ese punto.

El valor acumulado hasta ese punto.

La concentración de probabilidad cerca de ese valor.

La media de la distribución.

Explicación: La PDF indica densidad o concentración local; las probabilidades se obtienen integrando sobre intervalos.

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Pregunta 12

La Esperanza Matemática (\(E[X]\)) se interpreta como:

El valor que ocurre con más frecuencia (moda).

El valor máximo que puede alcanzar la variable.

El valor promedio de la variable en un número infinito de realizaciones.

La dispersión de los datos respecto al centro.

Explicación: La esperanza es el valor esperado o media poblacional en el límite de muchas repeticiones.

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Pregunta 13

¿Cuál es la fórmula de la Esperanza para una variable discreta?

\(E[X] = \sum x_i \cdot P(X = x_i)\)

\(E[X] = \int f(x) dx\)

\(E[X] = E[X^2] - (E[X])^2\)

\(E[X] = \sqrt{Var(X)}\)

Explicación: La esperanza discreta es la suma ponderada de los valores por su probabilidad.

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Pregunta 14

Si \(c\) es una constante, ¿a qué es igual \(E[c]\)?

0

1

\(c\)

\(c^2\)

Explicación: La esperanza de una constante es la misma constante: \(E[c]=c\).

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Pregunta 15

La propiedad de linealidad de la esperanza establece que \(E[aX + bY]\) es:

\(a^2E[X] + b\)

\(aE[X] + bE[Y]\)

\(E[X] \cdot E[Y]\)

Siempre 1.

Explicación: La esperanza es lineal: \(E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]\).

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Pregunta 16

La Varianza (\(Var(X)\)) mide:

El valor central de la distribución.

La dispersión de los valores respecto a la esperanza.

La probabilidad de que \(X\) sea menor que cero.

La suma de los valores absolutos de \(X\).

Explicación: La varianza cuantifica la dispersión alrededor de la media (esperanza).

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Pregunta 17

¿Cuál es la fórmula operativa de la Varianza?

\(Var(X) = E[X] - E[X^2]\)

\(Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2\)

\(Var(X) = \sqrt{\sigma}\)

\(Var(X) = \sum (x_i \cdot p_i)\)

Explicación: La fórmula operativa relaciona el momento segundo con el cuadrado del momento primero.

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Pregunta 18

La Desviación Típica (\(\sigma_X\)) se define como:

El cuadrado de la varianza.

La diferencia entre el máximo y el mínimo.

La raíz cuadrada positiva de la varianza.

El inverso de la esperanza.

Explicación: La desviación típica es \(\sigma_X=\sqrt{Var(X)}\) y expresa dispersión en las mismas unidades que la variable.

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Pregunta 19

¿Cuál es el resultado de \(Var(aX + b)\) donde \(a\) y \(b\) son constantes?

\(a \cdot Var(X) + b\)

\(a^2 \cdot Var(X)\)

\(Var(X)\)

\(a^2 \cdot Var(X) + b^2\)

Explicación: La varianza escala con el cuadrado del factor multiplicativo y no depende del término constante \(b\).

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Pregunta 20

Si dos variables \(X\) e \(Y\) son independientes, la varianza de su suma es:

\(Var(X) + Var(Y)\)

\(Var(X) - Var(Y)\)

\((Var(X) + Var(Y))^2\)

\(Var(X) \cdot Var(Y)\)

Explicación: Para independientes, \(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\) ya que la covarianza es cero.

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Pregunta 21

¿Qué significa que \(Var(X) = 0\)?

Que la variable es altamente ruidosa.

Que la variable es en realidad una constante con probabilidad 1.

Que la esperanza es también cero.

Que el experimento no tiene resultados posibles.

Explicación: Varianza cero implica que \(X\) toma un valor fijo casi seguro (sin variabilidad).

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Pregunta 22

En IA, ¿para qué se utiliza la distribución Gaussiana (Normal) según los textos?

Para contar el número de aciertos en un batch.

Para inicializar los pesos (\(W\)) en redes neuronales.

Para definir el espacio muestral de una moneda.

Para eliminar la incertidumbre por completo.

Explicación: La normal se usa frecuentemente para inicializar pesos y modelar errores; no elimina incertidumbre.

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Pregunta 23

¿Qué herramienta de IA genera un vector de probabilidades que suma 1 (como una PMF)?

Una regresión lineal simple.

La función Softmax.

El cálculo de la covarianza.

La estandarización de variables.

Explicación: Softmax convierte logits en probabilidades positivas que suman 1.

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Pregunta 24

En Machine Learning, la varianza es fundamental porque mide:

La velocidad de entrenamiento.

El número de neuronas por capa.

La sensibilidad del modelo a fluctuaciones en los datos de entrenamiento.

La probabilidad de que el email sea spam.

Explicación: La varianza del modelo refleja cómo cambian las predicciones con pequeñas variaciones en los datos.

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Soluciones desarrolladas

Solución pregunta 1 — Definición variable aleatoria

Una variable aleatoria \(X\) es una función definida sobre el espacio muestral \(\Omega\) que asigna a cada resultado \(\omega\in\Omega\) un número real \(X(\omega)\). Por tanto la opción correcta es la que indica que es una función que asigna valores numéricos a los resultados.

Solución pregunta 2 — Espacio muestral

\(\Omega\) se define como el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Ejemplo: en lanzar una moneda \(\Omega=\{C, S\}\).

Solución pregunta 3 — Rango de probabilidades

Por los axiomas de probabilidad \(0\le P(A)\le1\) para cualquier suceso \(A\), luego el intervalo es \([0,1]\).

Solución pregunta 4 — Interpretación Bayesiana

La interpretación bayesiana trata la probabilidad como grado de creencia actualizable: \(P(\theta|D)\propto P(D|\theta)P(\theta)\).

Solución pregunta 5 — Variable discreta

Una variable es discreta si su conjunto de valores posibles es numerable. Ejemplo: número de éxitos en ensayos de Bernoulli.

Solución pregunta 6 — Ejemplo continuo

Activaciones neuronales toman valores reales continuos (p. ej. tras una sigmoide), por tanto son variables continuas.

Solución pregunta 7 — Definición CDF

\(F_X(x)=P(X\le x)\) por definición. Para variables continuas \(F_X'(x)=f_X(x)\) donde exista la derivada.

Solución pregunta 8 — Límite CDF

\(\lim_{x\to+\infty}F_X(x)=1\) porque la CDF acumula probabilidad sobre todo el soporte.

Solución pregunta 9 — PMF suma 1

Para variable discreta \(\sum_x p_X(x)=1\). Ejemplo: si \(X\) toma valores \(1,2,3\) con probabilidades \(0.2,0.3,0.5\) suman 1.

Solución pregunta 10 — Probabilidad puntual continua

Para variable continua \(P(X=x)=0\) para cada \(x\) individual; las probabilidades se obtienen por integrales \(P(a<X\le b)=\int_a^b f_X(t)dt\).

Solución pregunta 11 — Interpretación PDF

La PDF \(f_X(x)\) mide densidad; la probabilidad en un intervalo pequeño \([x,x+\Delta x]\approx f_X(x)\Delta x\).

Solución pregunta 12 — Interpretación esperanza

\(E[X]\) es el promedio teórico: si \(X_i\) son réplicas independientes, la media muestral converge a \(E[X]\) por la ley de los grandes números.

Solución pregunta 13 — Fórmula esperanza discreta

Definición: \(E[X]=\sum_i x_i P(X=x_i)\). Para continua se usa la integral \(\int x f_X(x)dx\).

Solución pregunta 14 — Esperanza de constante

Si \(X=c\) entonces \(E[X]=c\) trivialmente porque la variable toma siempre \(c\).

Solución pregunta 15 — Linealidad

Propiedad lineal: \(E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]\).

Solución pregunta 16 — Varianza

Varianza: \(Var(X)=E[(X-E[X])^2]\), mide dispersión en torno a la media.

Solución pregunta 17 — Fórmula operativa varianza

Identidad: \(Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2\). Se obtiene desarrollando \(E[(X-E[X])^2]\).

Solución pregunta 18 — Desviación típica

Definición: \(\sigma_X=\sqrt{Var(X)}\); es la desviación típica positiva asociada a \(X\).

Solución pregunta 19 — Varianza afín

Para \(Y=aX+b\) se tiene \(Var(Y)=a^2Var(X)\) porque el término constante no aporta variabilidad.

Solución pregunta 20 — Varianza suma independientes

Si \(X,Y\) independientes entonces \(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\) ya que \(Cov(X,Y)=0\).

Solución pregunta 21 — Varianza cero

\(Var(X)=0\) implica \(P(X=E[X])=1\), es decir \(X\) es constante casi segura.

Solución pregunta 22 — Uso gaussiana en IA

La normal se usa para modelar errores y para inicializar pesos (p. ej. muestreo de una normal con cierta varianza al crear pesos iniciales).

Solución pregunta 23 — Softmax

Softmax: \(\sigma(z)_i=\frac{e^{z_i}}{\sum_j e^{z_j}}\) produce un vector de probabilidades que suma 1.

Solución pregunta 24 — Importancia varianza ML

La varianza del modelo mide la sensibilidad a cambios en los datos de entrenamiento; modelos con alta varianza pueden sobreajustar.