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"Variables aleatorias y esperanza matemática"

Objetivo

✨ Entender qué es una variable aleatoria, calcular su esperanza (media teórica) y varianza, y visualizar distribuciones de probabilidad.

Idea Clave 💡

Una variable aleatoria transforma incertidumbre en números. En lugar de trabajar con eventos abstractos, usamos variables aleatorias para modelar cantidades reales (altura, ingresos, número de clientes). La esperanza es la "media teórica" — dónde esperamos que caiga la variable.

¿Qué es una Variable Aleatoria?

Definición: Una función que asigna un número real a cada resultado de un experimento aleatorio.

Intuición: Transforma eventos en números, permitiendo usar matemática y estadística.

Ejemplo: Lanzar Dos Dados

Experimento: Lanzar dos dados

Ω = {(1,1), (1,2), ..., (6,6)}

Variable aleatoria: X = suma de los dos dados

Asignaciones: - (1,1) → X = 2 - (1,2), (2,1) → X = 3 - ... - (6,6) → X = 12

Rango: X ∈ {2, 3, 4, ..., 12}

Tipos de Variables Aleatorias

Discreta

Definición: Toma valores aislados contables — típicamente números enteros.

Característica: Se describe con función de masa de probabilidad (PMF):

\[P(X = x_k) = p_k\]

donde \(\sum_k p_k = 1\)

Ejemplos:

  • 🎲 Número en un dado: X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  • 📞 Llamadas recibidas en 1 hora: X ∈ {0, 1, 2, ...}
  • 🎯 Número de intentos hasta éxito: X ∈ {1, 2, 3, ...}
Ejemplo: Lanzar Moneda Cargada

X = número de caras en 2 lanzamientos

Ω = {CC, CX, XC, XX}

P(C) = 0.6, P(X) = 0.4

Distribución de X: - P(X=0) = P(XX) = 0.4² = 0.16 - P(X=1) = P(CX) + P(XC) = 0.6×0.4 + 0.4×0.6 = 0.48 - P(X=2) = P(CC) = 0.6² = 0.36

Continua

Definición: Toma infinitos valores en un intervalo — puede asumir cualquier valor real en un rango.

Característica: Se describe con función de densidad de probabilidad (PDF):

\[f_X(x)\]

donde \(\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \, dx = 1\)

Probabilidad en intervalo:

\[P(a < X < b) = \int_a^b f_X(x) \, dx\]

Ejemplos:

  • 📏 Altura: X ∈ (0, 300) cm
  • ⏱️ Tiempo de respuesta: X ∈ (0, ∞) segundos
  • 💰 Salario: X ∈ (0, ∞) euros
Ejemplo: Normal (Campana de Gauss)

Distribución normal: \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)

PDF: $\(f_X(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)$

P(altura entre 170-175 cm) = área bajo la curva entre 170 y 175

Función de Distribución Acumulada (CDF)

Definición: Para cualquier variable (discreta o continua):

\[F_X(x) = P(X \leq x)\]

Propiedades:

  • Comienza en 0: \(F_X(-\infty) = 0\)
  • Termina en 1: \(F_X(+\infty) = 1\)
  • Monótona creciente
  • \(P(a < X \leq b) = F_X(b) - F_X(a)\)
Ejemplo: Dado Justo

X = resultado del dado

CDF: - F(1) = P(X≤1) = 1/6 - F(2) = P(X≤2) = 2/6 - ... - F(6) = P(X≤6) = 1

Esperanza Matemática (Media Teórica)

Definición

Pregunta: "¿Dónde espero que caiga X en promedio?"

Para variables discretas:

\[E[X] = \sum_{k} x_k \cdot P(X = x_k)\]

Para variables continuas:

\[E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x) \, dx\]

Intuición: Es un promedio ponderado por probabilidad. Si X toma valores 0 y 10 con probabilidades 0.9 y 0.1, la esperanza es 1, no 5.

Ejemplo 1: Discreta

X toma: - 0 con probabilidad 0.7 - 5 con probabilidad 0.3

E[X] = 0 × 0.7 + 5 × 0.3 = 1.5

Ejemplo 2: Dado Justo

X = número en un dado

E[X] = 1×(1/6) + 2×(1/6) + ... + 6×(1/6)

E[X] = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

Varianza y Desviación Típica

Definición

Pregunta: "¿Cuánto se dispersa X alrededor de su media?"

\[\text{Var}(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2\]

Desviación típica: \(\sigma_X = \sqrt{\text{Var}(X)}\)

Interpretación:

  • Varianza baja → valores cercanos a E[X]
  • Varianza alta → valores muy dispersos
Ejemplo: Dos Variables Aleatorias

X: toma 0, 1, 2 con prob 1/3 cada una

Y: toma 1 siempre

E[X] = (0+1+2)/3 = 1

E[Y] = 1

Var(X) = [(0-1)² + (1-1)² + (2-1)²]/3 = [1+0+1]/3 = 2/3

Var(Y) = 0 (sin variabilidad)

Conclusión: X e Y tienen igual media pero Var(X) >> Var(Y)

Tabla Comparativa: Discreta vs Continua

Aspecto Discreta Continua
Valores Contables Intervalo (a,b)
Descripción PMF: P(X=k) PDF: f_X(x)
Suma/Integral \(\sum_k P = 1\) \(\int f = 1\)
Media \(\sum x_k p_k\) \(\int x f(x) dx\)
Varianza \(\sum (x_k - \mu)^2 p_k\) \(\int (x - \mu)^2 f(x) dx\)
Ejemplo Binomial, Poisson Normal, Exponencial

Propiedades de Esperanza y Varianza

Propiedad Fórmula Nota
Linealidad E[aX + b] = aE[X] + b Siempre cierto
Suma E[X + Y] = E[X] + E[Y] Siempre cierto
Varianza (escala) Var(aX + b) = a²Var(X) Constante no afecta
Varianza (suma) Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) Si X, Y independientes
Ejemplo: Aplicar Linealidad

X = altura (cm), E[X] = 170, Var(X) = 25

Definir Y = X/100 (altura en metros)

E[Y] = E[X/100] = E[X]/100 = 170/100 = 1.7 m

Var(Y) = Var(X/100) = (1/100)² × Var(X) = 0.01 × 25 = 0.25

⚠️ Trampa Común: E[X²] ≠ (E[X])²

❌ INCORRECTO: Var(X) = E[X²] - (E[X])²

Esto es correcto, pero:

✅ Recuerda: E[X²] es diferente de (E[X])²

Ejemplo

X = 2 ó 3 con prob 1/2 cada una

E[X] = 2.5

E[X²] = 4×0.5 + 9×0.5 = 6.5

(E[X])² = 2.5² = 6.25

Var(X) = 6.5 - 6.25 = 0.25 ✓

💡 Checklist: Variable Aleatoria

Verificar

  • [ ] ¿Es discreta o continua?
  • [ ] ¿Cuál es su rango?
  • [ ] ¿Suma/integral de probabilidades = 1?
  • [ ] ¿He calculado E[X] correctamente?
  • [ ] ¿He calculado Var(X) usando E[X²] - (E[X])²?
  • [ ] ¿Tiene sentido la varianza?

Conexión con Distribuciones

Las variables aleatorias discretas/continuas toman distribuciones específicas (binomial, normal, etc.). Próximo tema: casos específicos y sus características.

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