Distribuciones continuas

Objetivo

✨ Dominar la distribución Normal (piedra angular de la estadística inferencial) y entender cuándo usar otras continuas como Exponencial, Uniforme.

Idea Clave 💡

La Normal es CENTRAL en estadística. Aparece en teoremas límite, intervalos de confianza, contrastes de hipótesis. Muchos procesos reales se distribuyen normalmente por ley natural: alturas, pesos, errores de medida. Dominarla es crítico para el examen.

Distribución Normal (Gaussiana)

Definición Matemática

Parámetros: media μ y desviación típica σ

Función de densidad:

\[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad x \in \mathbb{R}\]

Notación: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ o $X \sim N(\mu, \sigma)$

Gráficamente: Campana simétrica centrada en μ, anchura determinada por σ.

Propiedades Fundamentales

Simetría: Es simétrica alrededor de μ
Unimodal: Un único pico en x = μ
Media = Mediana = Moda = μ
68-95-99.7 (Regla Empírica):
P(μ - σ < X < μ + σ) ≈ 0.68 (68%)
P(μ - 2σ < X < μ + 2σ) ≈ 0.95 (95%)
P(μ - 3σ < X < μ + 3σ) ≈ 0.997 (99.7%)

Ejemplo: Alturas de Estudiantes

Altura ~ N(170 cm, 5² cm²)

μ = 170 cm, σ = 5 cm

68% entre 165 y 175 cm
95% entre 160 y 180 cm
99.7% entre 155 y 185 cm

Estandarización (Tipificación)

Transformar cualquier Normal a N(0,1):

\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\]

Ventajas:

Una única tabla Z para TODAS las normales
Z ~ N(0, 1) se llama distribución normal estándar

Ejemplo: Estandarizar Alturas

X ~ N(170, 5²), queremos P(X < 175)

Convertir a Z: $$Z = \frac{175 - 170}{5} = 1$$

P(X < 175) = P(Z < 1) ≈ 0.8413 (tabla Z)

Uso de Tabla Z

Tabla Z: Da P(Z < z) para valores z de 0 a 4 aprox.

z	P(Z < z)
0.00	0.5000
0.50	0.6915
1.00	0.8413
1.96	0.9750
2.00	0.9772

Críticos para el examen:

z = 1.96: 95% confianza
z = 2.576: 99% confianza
z = 1.645: 90% confianza

Calcular P(a < X < b)

Estandarizar: $Z_a = \frac{a-\mu}{\sigma}$, $Z_b = \frac{b-\mu}{\sigma}$
Buscar tabla: P(Z < Z_a) y P(Z < Z_b)
Restar: P(a < X < b) = P(Z < Z_b) - P(Z < Z_a)

Cuándo Usarla

✅ USA NORMAL SI:

Variable es continua
Forma de campana (válida con test normalidad)
Muchos factores pequeños afectan la variable (teorema central del límite)
Procesos naturales: alturas, pesos, errores, tiempos

NO USES NORMAL SI:

❌ Datos tienen asimetría clara (sesgados)
❌ Hay outliers extremos
❌ Variable es claramente discreta (aunque n grande puede aproximarse)
❌ Rango limitado pero Normal permite negativos (ej: porcentajes de 0-100)

Distribución Exponencial

Definición

Parámetro: λ (tasa, λ > 0)

Función de densidad:

\[f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0\]

Media y Varianza:

\[E[X] = \frac{1}{\lambda}, \quad \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}\]

Característica Unique: Sin Memoria

Propiedad de Pérdida de Memoria:

\[P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)\]

Interpretación: Si un evento no ha ocurrido en s unidades, la probabilidad de ocurrir en las próximas t unidades no depende de s.

Ejemplo: Vida de Componente

Vida útil ~ Exponencial(λ = 0.1 por año)

E[X] = 1/0.1 = 10 años

Si el componente ya ha durado 5 años, la probabilidad de durar 5 años más es igual a la de un componente nuevo durar 5 años (sin memoria).

Cuándo Usarla

✅ USA EXPONENCIAL SI:

Modelar tiempo hasta un evento (fallo, llegada, degradación)
Evento sigue proceso Poisson (relación: si conteos ~ Poisson(λ), tiempos entre eventos ~ Exponencial(λ))
Interés en propiedad sin memoria

Ejemplo: Tiempos de Llegada

Clientes llegan con tasa Poisson λ = 3 por hora

Tiempo entre llegadas ~ Exponencial(λ = 3)

E[tiempo] = 1/3 hora ≈ 20 minutos

Otras Distribuciones Continuas

Distribución Uniforme

Parámetros: a, b (límites del intervalo)

\[f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \leq x \leq b\]

Media: $(a+b)/2$ | Varianza: $(b-a)^2/12$

Cuándo: Cuando no hay razón para pensar que unos valores son más probables que otros (máxima entropía).

Ejemplo: Hora de Llegada

Bus llega uniformemente entre 14:00 y 14:20

X ~ Uniforme(0, 20 minutos)

Distribución t de Student

Parámetro: grados de libertad (df)

Característica: Similar a Normal, pero con colas más pesadas. Cuando df → ∞, converge a Normal.

Uso: Inferencia con muestras pequeñas (Tema UD3).

Tabla Comparativa: Normal vs Exponencial

Aspecto	Normal	Exponencial
Parámetros	μ (media), σ (desv)	λ (tasa)
Rango	(-∞, +∞)	[0, +∞)
Forma	Campana simétrica	Decreciente
Media	μ	1/λ
Varianza	σ²	1/λ²
Sin memoria	NO	SÍ
Ejemplo	Alturas, errores	Tiempos hasta fallo

Diagrama de Decisión: ¿Qué Continua?

graph TD
    A["¿Qué tipo de variable?"] -->|Campana simétrica<br/>muchos datos naturales| B["NORMAL<br/>μ, σ"]
    A -->|Tiempo hasta evento<br/>sin memoria| C["EXPONENCIAL<br/>λ"]
    A -->|Uniforme<br/>sin preferencia| D["UNIFORME<br/>a, b"]
    A -->|Pequeña muestra<br/>Inferencia| E["t-STUDENT<br/>df"]

⚠️ Trampas Comunes

Trampa 1: Asumir Normalidad sin comprobar

❌ INCORRECTO: "Precio de casas" → Asumir Normal directamente

✅ CORRECTO: Hacer histograma, Q-Q plot, test Shapiro-Wilk. Los precios suelen ser sesgados (cola larga a la derecha).

Trampa 2: Olvidar estandarizar antes de tabla Z

❌ INCORRECTO: Buscar P(X < 175) directamente en tabla (tabla es solo para Z)

✅ CORRECTO: Primero Z = (175 - 170) / 5 = 1, luego P(Z < 1)

Trampa 3: Confundir Exponencial con Poisson

Poisson: Conteos (n de eventos en intervalo)

Exponencial: Tiempos entre eventos

Relación: Son conjugadas (duales). Si eventos siguen Poisson, tiempos siguen Exponencial.

Trampa 4: Aplicar z = 1.96 sin verificar confianza

El valor z = 1.96 es para 95% de confianza. Otros niveles requieren otros z:

90% → z ≈ 1.645
99% → z ≈ 2.576

💡 Checklist: Escoger Distribución Continua

Paso a Paso

¿Variable es continua? (sí → continúa)
¿Qué rango tiene?
Negativos posibles → Normal
Solo ≥ 0 → Exponencial, Uniforme, etc.
¿Qué forma esperada?
Campana → Normal
Decreciente → Exponencial
Plana → Uniforme
¿Necesitas tabla/calculadora?
Valores z para Normal
Valores λ para Exponencial

📝 Ejercicios Prácticos

Práctica

Pesos de adultos ~ N(70, 10²). P(peso < 90)? → Estandarizar y tabla Z
Vida componente ~ Exp(λ=0.05 por año). P(dure >20 años)? → Usar e^(-λt)
¿Qué diferencia hay entre Normal y Exponencial?

📖 Enlaces Relacionados

Variables aleatorias — Conceptos base
Distribuciones discretas — Binomial y Poisson
Estimación e intervalos — Cómo usar Normal en inferencia $P(X<5)=1-e^{-0.1*5}=1-e^{-0.5}\approx 0.3935$.

Consejo: para normal usa tablas o funciones acumuladas (p.ej. Python scipy.stats).