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Derivadas de la normal (χ², t, F)

Objetivo

✨ Comprender cómo surgen χ², t y F a partir de variables normales y cómo se utilizan en estimación de varianzas, pruebas de hipótesis e intervalos de confianza.

Idea Clave 💡

Las distribuciones χ², t y F son transformaciones de variables normales estándar. Surgen naturalmente en inferencia estadística: χ² para varianzas, t para medias con σ desconocida, F para comparar varianzas.

Árbol de Decisión: ¿Qué Distribución Usar?

graph TD
    A["¿Qué necesitas inferir<br/>sobre variable Normal?"] -->|Media| B["¿σ conocida?"]
    A -->|Varianza| C["Usa χ²"]
    A -->|Cociente de varianzas| D["Usa F"]

    B -->|Sí| E["Usa z"]
    B -->|No<br/>muestra pequeña| F["Usa t"]
    B -->|No<br/>muestra grande| E

    C --> G["gl = n - 1"]
    F --> H["gl = n - 1"]
    D --> I["gl = n₁-1, n₂-1"]

Distribución Chi-Cuadrado (χ²)

Construcción: Si \(Z_1,\dots,Z_\nu\stackrel{iid}{\sim}N(0,1)\), entonces:

\[X=\sum_{i=1}^{\nu} Z_i^2 \sim \chi^2_{\nu}\]

Propiedades

Propiedad Valor
Media E[X] = ν
Varianza Var(X) = 2ν
Soporte x > 0
Simetría Asimétrica positiva

Teorema de Fisher (Varianza Muestral)

Si \(X_1,\dots,X_n\sim N(\mu,\sigma^2)\), entonces:

\[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}\]

Esto permite intervalos de confianza para σ² y contrastes sobre varianza.

IC para σ²

Con n=6 y s²=0.967:

\[IC = \left[\frac{5 \cdot 0.967}{12.833}, \frac{5 \cdot 0.967}{0.831}\right] = [0.377, 5.814]\]

Па Tabla de distribución Chi-cuadrado

Puedes consultar la tabla de valores críticos de \(\chi^2_\nu\):

Ver tabla Chi-cuadrado (PDF)

Para usar la tabla: busca la fila con tus grados de libertad \(\nu\) y la columna con el nivel \(\alpha\) (p.ej. 0.025, 0.975).

Distribución t de Student

Construcción: Si \(Z\sim N(0,1)\) y \(V\sim\chi^2_\nu\) independientes, entonces:

\[t=\frac{Z}{\sqrt{V/\nu}}\sim t_\nu\]

Propiedades

Propiedad Valor
Media E[t] = 0
Varianza Var(t) = ν/(ν-2) para ν > 2
Forma Simétrica, colas pesadas
Límite Conforme ν → ∞, t → N(0,1)

Interpretación: Como Normal pero con colas más pesadas para reflejar mayor incertidumbre en muestras pequeñas.

Teorema de la Media Muestral

Si \(X_1,\dots,X_n\sim N(\mu,\sigma^2)\) con σ desconocida:

\[t=\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}\]
Contraste t bilateral

Datos: n=20, x̄=52, s=8, H₀: μ=50, α=0.05

\[t = \frac{52-50}{8/\sqrt{20}} = 1.118\]

Con gl=19 y t₀.₉₇₅ ≈ 2.093: |1.118| < 2.093 → No rechazar H₀

Па Tabla de distribución t de Student

Puedes consultar la tabla de valores críticos de \(t_\nu\):

Ver tabla t de Student (PDF)

Para usar la tabla: busca la fila con tus grados de libertad \(\nu=n-1\) y la columna con el nivel \(\alpha/2\) para test bilateral.

Distribución F de Snedecor

Construcción: Si \(V_1\sim\chi^2_{m}\) y \(V_2\sim\chi^2_{n}\) independientes:

\[F=\frac{V_1/m}{V_2/n}\sim F_{m,n}\]

Propiedades

Propiedad Valor
Media E[F] = n/(n-2) para n > 2
Varianza Var(F) = \(\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}\)
Rango [0, ∞)
Simetría Asimétrica derecha

Propiedad importante: Si F ~ F*{m,n}, entonces \(\frac{1}{F}\sim F*{n,m}\)

Teorema: Cociente de Varianzas

Si \(X_1,\dots,X_m\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)\) y \(Y_1,\dots,Y_n\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\) independientes:

\[F=\frac{S_X^2/\sigma_1^2}{S_Y^2/\sigma_2^2}\sim F_{m-1,n-1}\]
Contraste de igualdad de varianzas

Datos: Muestra X: n=15, s_X²=12 | Muestra Y: n=12, s_Y²=8

H₀: σ₁²=σ₂², H₁: σ₁²≠σ₂², α=0.05

\[F = \frac{12}{8} = 1.5\]

Con gl=(14,11) y F₀.₉₇₅ ≈ 2.95: 1.5 < 2.95 → No rechazar H₀ (varianzas iguales)

Па Tabla de distribución F de Snedecor

Puedes consultar la tabla de valores críticos de \(F(\nu_1,\nu_2)\):

Ver tabla F de Snedecor (PDF)

Para usar la tabla: busca los grados de libertad del numerador \(\nu_1\) y denominador \(\nu_2\), y el nivel de significación.

📊 Comparación: χ², t y F

Aspecto χ² t de Student F
Construida de Una \(\chi^2_\nu\) Normal/χ² Dos \(\chi^2\)
Parámetro Grados de libertad (ν) Grados de libertad (n-1) Dos grados de libertad (m, n)
Rango [0, ∞) (-∞, ∞) [0, ∞)
Simetría Asimétrica derecha Simétrica Asimétrica derecha
E[X] ν 0 n/(n-2)
Var(X) 2ν ν/(ν-2) \(\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}\)
Uso Principal Varianzas, bondad de ajuste Media (σ desconocida) Cociente de varianzas
Supuesto Población Normal Población Normal Dos poblaciones Normales

⚠️ Trampas Comunes

Trampa 1: Confundir grados de libertad

  • ❌ Incorrecto: Usar ν=n en una t de Student
  • ✅ Correcto: Usar gl=n-1 (los grados de libertad se pierden al estimar σ con S)

Trampa 2: No verificar normalidad

  • ❌ Incorrecto: Usar t sin verificar normalidad en población origen
  • ✅ Correcto: Verificar con gráficos Q-Q o tests de normalidad (n pequeña)

Trampa 3: Invertir la razón F

  • ❌ Incorrecto: Usar F = S₂²/S₁² sin cuidado con los gl
  • ✅ Correcto: Si pones S₁² en numerador, gl₁ = n₁-1 en el numerador

Trampa 4: IC para una media usando z en lugar de t

  • ❌ Incorrecto: IC = x̄ ± 1.96(S/√n) cuando σ es desconocida
  • ✅ Correcto: IC = x̄ ± t_{α/2,n-1}(S/√n)

Trampa 5: Contrastar bilateralmente cuando esperabas unilateral

  • ❌ Incorrecto: Usar t_{0.975} para un contraste H₁: μ > μ₀
  • ✅ Correcto: Usar t_{0.95} (en la cola derecha solamente)

💡 Checklist: Inferencia con χ², t y F

Paso a Paso

  1. Verificar supuestos: ¿Población(es) Normal(es)?
  2. Identificar parámetro: ¿Inferir sobre media, varianza o ambos?
  3. Definir hipótesis: H₀ y H₁ (bilateral o unilateral)
  4. Elegir distribución:
  5. Media con σ desconocida → t de Student
  6. Varianza → χ²
  7. Cociente de varianzas → F
  8. Calcular grados de libertad: n-1 para una muestra, (n₁-1, n₂-1) para dos
  9. Obtener valor crítico: De tablas o software
  10. Calcular estadístico: Con datos muestrales
  11. Decidir: Comparar estadístico con crítico, reportar p-valor y conclusión

Procedimiento general (checklist)

  • Identifica tamaños muestrales y grados de libertad.
  • Para varianza: usa \(\chi^2\) con \((n-1)\) g.l.
  • Para media con \(\sigma\) desconocida y \(n\) pequeña: usa \(t\).
  • Para comparar varianzas (o ANOVA): usa \(F\) y su propiedad recíproca si la cola no coincide.

Errores comunes

  • Usar normal en lugar de \(t\) cuando \(\sigma\) es desconocida y \(n\) pequeña.
  • Olvidar los grados de libertad correctos en \(\chi^2\) y \(t\). - No verificar independencia para aplicar \(F\).

Relación con otras unidades

  • UD3: estimación e intervalos; pruebas de hipótesis sobre medias y varianzas.
  • UD4 (continuas): normal subyace a la construcción de \(\chi^2\), \(t\) y \(F\).

Ejercicios rápidos

Muestra normal \(n=12\), \(s^2=2.1\). Calcula el IC 95% para \(\sigma^2\).

Ejercicio 1 — IC para varianza

Usa \(\chi^2_{0.975;11}\) y \(\chi^2_{0.025;11}\). El IC es $\(\Big[\frac{11\cdot2.1}{\chi^2_{0.975;11}},\; \frac{11\cdot2.1}{\chi^2_{0.025;11}}\Big]\)$

Sustituye con valores de tabla.

\(n=9\), \(\bar x=101\), \(s=6\), \(\mu_0=98\). Contrasta al 5%.

Ejercicio 2 — t una muestra
\[t=\frac{101-98}{6/\sqrt{9}}=\frac{3}{2}=1.5\]
\[|t|=1.5< t_{0.975;8}\Rightarrow\text{no se rechaza }H_0\]