Distribuciones discretas

Objetivo

✨ Dominar las dos distribuciones discretas más importantes en estadística: binomial (intentos fijos) y Poisson (eventos raros en tiempo/espacio).

Idea Clave 💡

Distinguir entre "n intentos fijos" y "eventos raros en intervalo" es la clave. Muchos errores vienen de confundir cuándo usar cada distribución. Una vez identificado el escenario, todo lo demás sigue de fórmulas estándar.

Distribución Binomial

Definición y Caracterización

Modelo: Repetir n intentos independientes, cada uno con probabilidad p de éxito, contar número total de éxitos.

Ejemplos:

🪙 Lanzar una moneda 10 veces, contar caras
✅ En una muestra de 50, contar defectuosos (p=2%)
🎯 En 20 disparos, contar blancos acertados (p=0.7)
📊 En 100 clientes, contar satisfechos (p=0.8)

Condiciones (criterios MUST):

✅ Número fijo de intentos (n)
✅ Cada intento: éxito (p) o fracaso (1-p)
✅ Intentos independientes
✅ Probabilidad constante en todos

Fórmula

Si $X \sim \text{Binomial}(n, p)$:

\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n\]

Donde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ = número de formas de elegir k de n

Media y Varianza: $$E[X] = np, \quad \text{Var}(X) = np(1-p)$$

Ejemplo 1: Moneda Justa

Lanzar moneda 5 veces, X = número de caras

n = 5, p = 0.5

P(X = 3) = $\binom{5}{3}$ × 0.5³ × 0.5² = 10 × 0.03125 = 0.3125

E[X] = 5 × 0.5 = 2.5 (esperamos ~2-3 caras)

Var(X) = 5 × 0.5 × 0.5 = 1.25

Ejemplo 2: Control de Calidad

Fábrica: 2% de piezas defectuosas

Revisar lote de 10 piezas, X = número defectuosas

n = 10, p = 0.02

P(X = 0) = $\binom{10}{0}$ × 0.02⁰ × 0.98¹⁰ ≈ 0.8171

P(X = 1) = $\binom{10}{1}$ × 0.02¹ × 0.98⁹ ≈ 0.1667

E[X] = 10 × 0.02 = 0.2 (esperamos ~0 defectos)

Cuándo Usarla

✅ USA BINOMIAL SI:

Hay número fijo de intentos
Cada intento es sí/no (binario)
Intentos son independientes
p es constante

NO USES BINOMIAL SI:

❌ El número de intentos NO es fijo ("hasta obtener 3 éxitos")
❌ p cambia entre intentos
❌ Los intentos no son independientes
❌ Habla de "tasa" o "eventos por unidad" (usa Poisson)

Aproximación a Normal

Regla Práctica: Si $n > 30$ y $0.1 < p < 0.9$:

\[\text{Binomial}(n, p) \approx N(\mu = np, \sigma^2 = np(1-p))\]

Ventaja: Calcular probabilidades sin números enormes (factoriales).

Ejemplo: Encuesta Grande

n = 100, p = 0.6

X ~ Binomial(100, 0.6)

Aproximar a: X ~ N(60, 24)

P(X < 65) ≈ P(Z < (65-60)/√24) ≈ P(Z < 1.02)

Distribución Poisson

Definición y Caracterización

Modelo: Contar eventos raros que ocurren en un intervalo (tiempo, espacio, longitud) con tasa constante λ.

Ejemplos:

📞 Número de llamadas en 1 hora (λ = 3 llamadas/hora)
🐛 Defectos en 10 metros de cable (λ = 0.5 defectos/metro)
🚗 Accidentes en una carretera por mes (λ = 2 accidentes/mes)
💻 Errores de servidor en 1 día (λ = 5 errores/día)

Condiciones:

✅ Eventos ocurren con tasa λ constante
✅ Eventos independientes
✅ No hay "simultaneidad" (2+ eventos mismo instante improbable)
✅ Intervalo es continuo (tiempo/espacio)

Fórmula

Si $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$:

\[P(X = k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots\]

Nota: e ≈ 2.71828

Media y Varianza (¡iguales!): $$E[X] = \lambda, \quad \text{Var}(X) = \lambda$$

¡Característica unique! En Poisson, media = varianza.

Ejemplo 1: Llamadas Telefónicas

Tasa: λ = 3 llamadas/hora

¿Probabilidad de 5 llamadas en una hora?

P(X = 5) = e⁻³ × 3⁵ / 5! = 0.0498 × 243 / 120 ≈ 0.1008

E[X] = 3, Var(X) = 3

Ejemplo 2: Defectos en Cable

Tasa: λ = 2 defectos por 100 metros

¿Probabilidad de 0 defectos en 100 metros?

P(X = 0) = e⁻² × 2⁰ / 0! = 0.1353 ≈ 13.53%

Cuándo Usarla

✅ USA POISSON SI:

Hay tasa λ (eventos por unidad: tiempo/espacio)
Eventos son independientes
Queremos contar eventos en intervalo continuo
Para eventos raros (p pequeño, n grande)

Regla Rápida

Si el enunciado dice "por hora", "por metro", "por día" → Piensa Poisson

Si dice "en n intentos con prob p" → Piensa Binomial

Poisson como Límite de Binomial

Si n → ∞ y p → 0, pero np = λ es constante:

Binomial(n, p) → Poisson(λ)

Práctica: Usa Poisson si n > 100 y p < 0.01

Tabla Comparativa: Binomial vs Poisson

Aspecto	Binomial	Poisson
Parámetros	n (intentos), p (prob)	λ (tasa)
¿Qué modela?	n intentos, contar éxitos	Eventos raros, contar eventos
Rango	0 a n	0 a ∞
Media	np	λ
Varianza	np(1-p)	λ
Cuándo	n fijo	Intervalo continuo
Ejemplo	10 lanzamientos	Llamadas por hora

Diagrama de Decisión: ¿Binomial o Poisson?

graph TD
    A["¿Cuál es el escenario?"] -->|Número fijo de intentos| B["¿Cada intento es<br/>éxito/fracaso?"]
    A -->|Eventos en intervalo<br/>continuo| C["¿Tasa constante?"]

    B -->|SÍ| D["BINOMIAL<br/>Parámetros: n, p"]
    B -->|NO| E["Otro modelo"]

    C -->|SÍ| F["POISSON<br/>Parámetro: λ"]
    C -->|NO| G["Otro modelo"]

Diagrama de Decisión de Aproximación

graph TB
    B["<b>Binomial</b><br/>n, p"]
    P["<b>Poisson</b><br/>λ"]
    N["<b>Normal</b><br/>μ, σ"]

    CB1{{"<b>Condición:</b><br/>n > 100<br/>p < 0.05<br/>np ≤ 5 (ó 10)"}}
    AB1["<b>Usar:</b><br/>λ = np"]

    CB2{{"<b>Condición:</b><br/>np > 5<br/>n(1-p) > 5"}}
    AB2["<b>Usar:</b><br/>μ = np<br/>σ = √np(1-p)"]

    CP{{"<b>Condición:</b><br/>λ > 5"}}
    AP["<b>Usar:</b><br/>μ = λ<br/>σ = √λ"]

    B --> CB1
    CB1 -->|"✓ Se cumple"| AB1
    AB1 --> P

    B --> CB2
    CB2 -->|"✓ Se cumple"| AB2
    AB2 --> N

    P --> CP
    CP -->|"✓ Se cumple"| AP
    AP --> N

    style B fill:#90EE90,stroke:#333,stroke-width:2px
    style P fill:#F5DEB3,stroke:#333,stroke-width:2px
    style N fill:#87CEEB,stroke:#333,stroke-width:2px
    style CB1 fill:#FFE4B5,stroke:#333,stroke-width:1px
    style CB2 fill:#FFE4B5,stroke:#333,stroke-width:1px
    style CP fill:#FFE4B5,stroke:#333,stroke-width:1px
    style AB1 fill:#E0F7FA,stroke:#333,stroke-width:1px
    style AB2 fill:#E0F7FA,stroke:#333,stroke-width:1px
    style AP fill:#E0F7FA,stroke:#333,stroke-width:1px

⚠️ Trampas Comunes

Trampa 1: Confundir "n intentos" con "tasa"

❌ INCORRECTO: "Un servidor recibe 5 solicitudes. ¿Prob de 3 solicitudes?" → No está claro si son fijas o por unidad tiempo

✅ CORRECTO: "Un servidor recibe 5 solicitudes/minuto (λ=5). ¿Prob de 3 en un minuto?" → Poisson

Trampa 2: Asumir Poisson cuando hay n pequeño

❌ INCORRECTO: "5 lanzamientos de moneda, 1% de caras" → No es Poisson (n pequeño)

✅ CORRECTO: "1000 lanzamientos de moneda, 0.1% de caras" → Poisson aproximadamente

Trampa 3: Olvidar que Var(X) = λ en Poisson

Si observas media ≈ varianza, es fuerte indicador de Poisson.

Si observas varianza >> media, podría ser sobre-dispersión (binomial negativa u otro).

💡 Checklist: Identificar Distribución

Antes de Calcular

¿Hay "n intentos"?
Sí → Binomial
No → Poisson
Si Binomial:
[ ] n es fijo
[ ] p es constante
[ ] Intentos independientes
[ ] Cada intento es sí/no
Si Poisson:
[ ] Hay tasa λ (eventos/unidad)
[ ] Intervalo continuo (tiempo/espacio)
[ ] Eventos independientes
[ ] Sin simultaneidad probable

📝 Ejercicios Prácticos

Práctica

20 monedas, P(X=10 caras)? → Binomial
Centro de llamadas recibe 4 llamadas/minuto, P(X>5)? → Poisson
1000 emails, 2% spam, P(exactamente 20 spam)? → Binomial o Poisson (ambos aproximan)

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