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Ejercicios — UD4

Objetivo

✨ Practicar el cálculo de probabilidades con distribuciones discretas, continuas y derivadas de la normal. Aplicar conceptos clave: binomial, Poisson, Normal, TCL, χ², t y F.

Instrucciones

Resuelve cada ejercicio mostrando todos tus cálculos. Haz clic en "Solución" para ver la respuesta. Consulta las fórmulas en los artículos correspondientes de UD4.

1) Binomial — acumulada

Sea \(X\sim\mathrm{Bin}(12,0.25)\). Calcula \(P(X\le 3)\).

Solución
\[ P(X\le3)=\sum_{k=0}^3 \binom{12}{k}0.25^k 0.75^{12-k}. \]

Sustituye \(k=0,1,2,3\) y suma. Puedes usar tabla o calculadora.

2) Geométrica — al menos

Si \(X\sim\mathrm{Geom}(p=0.15)\), calcula \(P(X\ge 5)\).

Solución
\[ P(X\ge5)=P(X>4)=(1-p)^4=0.85^4=0.5220. \]

3) Poisson — intervalo

La media de defectos por metro es \(\lambda=1.2\). ¿Probabilidad de observar al menos 3 defectos en un metro?

Solución
\[ P(X\ge3)=1-P(X\le2)=1-\left(e^{-1.2}\sum_{k=0}^{2}\frac{1.2^k}{k!}\right). \]

4) Uniforme — probabilidad y esperanza

Si \(X\sim U(4,10)\), calcula \(P(5\le X\le 7)\) y \(E[X]\).

Solución
\[ P(5\le X\le7)=\frac{7-5}{10-4}=\frac{2}{6}=0.3333,\quad E[X]=\frac{4+10}{2}=7. \]

5) Normal — estandarización

\(X\sim N(60,9^2)\). Calcula \(P(51\le X\le 66)\).

Solución
\[ z_1=\frac{51-60}{9}=-1,\; z_2=\frac{66-60}{9}=\frac{2}{3}\approx0.667.\\ P=\Phi(0.667)-\Phi(-1)\approx0.7475-0.1587=0.5888. \]

6) TCL — probabilidad sobre la media

Variable con \(\mu=100\), \(\sigma=20\). Muestra de tamaño \(n=50\). Calcula \(P(\bar X>105)\).

Solución
\[ Z=\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{105-100}{20/\sqrt{50}}=\frac{5}{2.828}=1.768.\\ P(\bar X>105)=P(Z>1.768)\approx0.0385. \]

7) \(\chi^2\) — IC para varianza

\(n=15\), \(s^2=1.8\), asume normalidad. IC 95% para \(\sigma^2\).

Solución
\[ \Big[\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.975;14}},\; \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.025;14}}\Big]. \]

8) t — contraste una muestra

\(n=20\), \(\bar x=52\), \(s=5\), \(\mu_0=50\). Contrasta al 5% bilateral.

Solución
\[ t=\frac{52-50}{5/\sqrt{20}}=\frac{2}{1.118}=1.789.\;\; |t|\stackrel{?}{>}t_{0.975;19}. \]

Conclusión según tabla.

9) F — comparación de varianzas

Dos muestras normales: \(n_1=12\), \(s_1^2=2.2\) y \(n_2=10\), \(s_2^2=1.1\). Contrasta \(H_0\!:\sigma_1^2=\sigma_2^2\) (5%).

Solución

Ordena \(s_1^2\ge s_2^2\). Estadístico \(F=\dfrac{s_1^2}{s_2^2}=2.0\) con g.l. \((11,9)\). Compara con \(F_{0.95;11,9}\).

10) Mixto — decisión de modelo

Para cada situación, elige el modelo y parámetro correcto: (a) número de emails por hora, (b) tiempo hasta primera venta, (c) aciertos en 30 lanzamientos con \(p=0.2\).

Solución

(a) Poisson con \(\lambda\) (conteo en intervalo), (b) Geométrica o Exponencial según discreto/continuo, (c) Binomial con \(n=30\), \(p=0.2\).