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Examen UD4 (teoría)

title: Examen — Unidad 4: Modelos de probabilidad (UD4) (medio)

Duración estimada: 30 minutos.

Instrucciones

  • Responde marcando la opción correcta (a, b, c, d). Puede haber más de una correcta: marca todas las que correspondan.
  • En las preguntas de cálculo se pide elegir la(s) opción(es) correcta(s); debajo de cada pregunta se incluye la solución desarrollada para estudiar.
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Pregunta 1

  1. Si un modelo de IA realiza una clasificación binaria (ej. "Spam" o "No Spam"), ¿qué distribución modela un único intento?
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Pregunta 2

  1. ¿Cuál es la varianza (\(Var(X)\)) de una distribución Binomial con parámetros \(n\) y \(p\)?
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Pregunta 3

  1. La distribución de Poisson es única porque su Esperanza y su Varianza son iguales a:
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Pregunta 4

  1. ¿Qué distribución utilizarías para modelar el "número de intentos hasta lograr una conexión exitosa" en una red?
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Pregunta 5

  1. ¿Qué significa la "propiedad de falta de memoria" en las distribuciones Geométrica y Exponencial?
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Pregunta 6

  1. Para aproximar una Binomial a una Poisson, ¿qué condiciones suelen exigirse?
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Pregunta 7

  1. En una distribución Uniforme Continua \(U(a, b)\), ¿cuál es la fórmula de su esperanza (\(E[X]\))?
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Pregunta 8

  1. En el modelado de fiabilidad, si \(\lambda\) es la tasa de fallos, el tiempo medio hasta el fallo (\(E[X]\)) en una Exponencial es:
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Pregunta 9

  1. En una distribución Normal \(N(\mu, \sigma^2)\), ¿qué ocurre si cambiamos solo el parámetro \(\mu\)?
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Pregunta 10

  1. ¿Cuál es la fórmula para estandarizar una variable normal \(X\) y convertirla en una \(Z \sim N(0, 1)\)?
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Pregunta 11

  1. Según la Regla Empírica de la Normal, ¿qué porcentaje aproximado de datos cae dentro de \(\pm 2\sigma\) de la media?
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Pregunta 12

  1. Si sumamos dos variables normales independientes, \(X \sim N(\mu_x, \sigma_x^2)\) y \(Y \sim N(\mu_y, \sigma_y^2)\), la nueva varianza es:
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Pregunta 13

  1. El Teorema Central del Límite (TCL) afirma que la suma de variables independientes tiende a una Normal si:
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Pregunta 14

  1. ¿Para qué sirve la "corrección de continuidad" al aproximar una Binomial por una Normal?
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Pregunta 15

  1. La distribución Chi-cuadrado (\(\chi^2\)) con \(k\) grados de libertad se define como:
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Pregunta 16

  1. ¿Cuál es la esperanza (\(E[X]\)) de una variable \(\chi_k^2\)?
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Pregunta 17

  1. Comparada con la Normal Estándar, la distribución t de Student tiene:
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Pregunta 18

  1. ¿Cuándo es imprescindible usar la t de Student en lugar de la Normal para estimar una media?
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Pregunta 19

  1. La distribución F de Snedecor se utiliza principalmente para:
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Pregunta 20

  1. En un Test de Bondad de Ajuste de Pearson, ¿qué distribución se usa para ver si los datos siguen una Uniforme?
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Pregunta 21

  1. Para realizar un test de independencia entre dos variables (features) en Machine Learning, usamos:
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Pregunta 22

  1. ¿Qué distribución modela el número de peticiones que llegan a un servidor por minuto?
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Pregunta 23

  1. Si un componente de hardware tiene una tasa de fallo constante, el tiempo hasta que falla sigue una:
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Pregunta 24

  1. ¿Qué parámetro de la distribución Normal se conoce como "parámetro de escala"?

Los resultados del cuestionario se guardan en el almacenamiento local de tu navegador y persistirán entre sesiones.

Progreso del cuestionario

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0 correctas

Soluciones desarrolladas

Solución pregunta 1 — Bernoulli vs Binomial

Una prueba binaria individual se modela por Bernoulli (\(p\) probabilidad de éxito). La binomial es la suma de \(n\) Bernoulli.

Solución pregunta 2 — Varianza binomial

\(Var(X)=np(1-p)\) se obtiene de \(E[X]=np\) y \(E[X^2]=np(1-p)+n^2p^2\).

Solución pregunta 3 — Poisson momento

Para \(X\sim\mathrm{Pois}(\lambda)\): \(E[X]=\lambda\) y \(Var(X)=\lambda\) por propiedades de la Poisson.

Solución pregunta 4 — Geométrica

El número de intentos hasta el primer éxito es geométrico (soporta valores 1,2,... y \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\)).

Solución pregunta 5 — Falta de memoria

Para exponencial: \(P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)\); análogo para la geometrica discreta.

Solución pregunta 6 — Aproximación Binomial→Poisson

Si \(n\) grande y \(p\) pequeño con \(\lambda=np\) fijo, \(Bin(n,p)\approx Pois(\lambda)\).

Solución pregunta 7 — Esperanza uniforme

\(E[X]=(a+b)/2\) y \(Var(X)=(b-a)^2/12\) para \(U(a,b)\).

Solución pregunta 8 — Media exponencial

Para \(Exp(\lambda)\): \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\), \(E[X]=1/\lambda\).

Solución pregunta 9 — Efecto mu

Cambiar \(\mu\) traslada la densidad: \(f(x;\mu,\sigma)=f_0((x-\mu)/\sigma)/\sigma\).

Solución pregunta 10 — Estandarizar

\(Z=(X-\mu)/\sigma\) tiene media 0 y varianza 1.

Solución pregunta 11 — Regla empírica

Dentro de \(\pm2\sigma\) aproximadamente cae 95.4% de la probabilidad en una normal.

Solución pregunta 12 — Varianza suma normales

Para independientes, \(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=\sigma_x^2+\sigma_y^2\).

Solución pregunta 13 — TCL

El TCL: la suma (o media) de muchas variables independientes con media finita tiende a normal cuando \(n\) grande.

Solución pregunta 14 — Corrección continuidad

Al aproximar \(P(X\le k)\) con normal se usa \(P(X\le k+0.5)\) para compensar la discreción.

Solución pregunta 15 — Definición chi-cuadrado

\(\chi_k^2=\sum_{i=1}^k Z_i^2\) con \(Z_i\sim N(0,1)\) independientes.

Solución pregunta 16 — Esperanza chi-cuadrado

\(E[\chi_k^2]=k\), \(Var(\chi_k^2)=2k\).

Solución pregunta 17 — Colas t-Student

La t tiene colas más pesadas que la normal; esto refleja mayor incertidumbre para pocas d.f.

Solución pregunta 18 — Uso de t

Si la varianza poblacional es desconocida y la muestra pequeña se usa la t para construir intervalos y tests.

Solución pregunta 19 — Uso F

La F compara razones de varianzas; p.ej. en ANOVA se usa la F para comparar medias mediante varianzas explicada/ residual.

Solución pregunta 20 — Test de Pearson

La estadística de bondad de ajuste de Pearson sigue una \(\chi^2\) asintótica bajo la hipótesis nula.

Solución pregunta 21 — Test independencia

El test de independencia en tablas de contingencia usa la estadística \(\chi^2\) para evaluar independencia.

Solución pregunta 22 — Poisson para conteos

Conteos de eventos independientes en intervalos fijos (p. ej. peticiones por minuto) se modelan con Poisson.

Solución pregunta 23 — Exponencial tiempos

Tiempos entre fallos con tasa constante siguen exponencial; propiedad de falta de memoria.

Solución pregunta 24 — Parámetro escala normal

El parámetro de escala es la desviación típica \(\sigma\) (o la varianza \(\sigma^2\)) que controla la dispersión.

Test de Autoevaluación - Unidad 4

1. Si un modelo de IA realiza una clasificación binaria (ej. "Spam" o "No Spam"), ¿qué distribución modela un único intento? A) Binomial. B) Bernoulli. C) Poisson. D) Exponencial.

2. ¿Cuál es la varianza (\(Var(X)\)) de una distribución Binomial con parámetros \(n\) y \(p\)? A) \(np\). B) \(p(1-p)\). C) \(np(1-p)\). D) \(\sqrt{np}\).

3. La distribución de Poisson es única porque su Esperanza y su Varianza son iguales a: A) \(np\). B) \(\lambda\). C) \(1/p\). D) \(\sigma^2\).

4. ¿Qué distribución utilizarías para modelar el "número de intentos hasta lograr una conexión exitosa" en una red? A) Geométrica. B) Bernoulli. C) Normal. D) Chi-cuadrado.

5. ¿Qué significa la "propiedad de falta de memoria" en las distribuciones Geométrica y Exponencial? A) Que el modelo olvida los datos de entrenamiento cada 100 iteraciones. B) Que la probabilidad de un éxito futuro no depende del tiempo o intentos ya transcurridos. C) Que la varianza disminuye a medida que aumenta el tiempo. D) Que el sistema siempre falla después de un tiempo fijo.

6. Para aproximar una Binomial a una Poisson, ¿qué condiciones suelen exigirse? A) \(n\) pequeño y \(p\) muy grande. B) \(n \geq 30\) y \(p \leq 0,1\). C) Que la media sea igual a la desviación típica. D) Que los datos sean continuos.

7. En una distribución Uniforme Continua \(U(a, b)\), ¿cuál es la fórmula de su esperanza (\(E[X]\))? A) \((b - a) / 12\). B) \((a + b) / 2\). C) \(1 / (b - a)\). D) \(a \cdot b\).

8. En el modelado de fiabilidad, si \(\lambda\) es la tasa de fallos, el tiempo medio hasta el fallo (\(E[X]\)) en una Exponencial es: A) \(\lambda^2\). B) \(1 / \lambda\). C) \(e^{-\lambda}\). D) \(\lambda(1-\lambda)\).

9. En una distribución Normal \(N(\mu, \sigma^2)\), ¿qué ocurre si cambiamos solo el parámetro \(\mu\)? A) La curva se hace más alta y estrecha. B) La curva se desplaza lateralmente en el eje X (localización). C) La curva cambia su simetría. D) La varianza aumenta automáticamente.

10. ¿Cuál es la fórmula para estandarizar una variable normal \(X\) y convertirla en una \(Z \sim N(0, 1)\)? A) \(Z = (X - \mu) / \sigma\). B) \(Z = X^2 / \mu\). C) \(Z = \sigma / (X - \mu)\). D) \(Z = (X - \bar{x}) / S\).

11. Según la Regla Empírica de la Normal, ¿qué porcentaje aproximado de datos cae dentro de \(\pm 2\sigma\) de la media? A) 68,3%. B) 99,7%. C) 95,4%. D) 50%.

12. Si sumamos dos variables normales independientes, \(X \sim N(\mu_x, \sigma_x^2)\) y \(Y \sim N(\mu_y, \sigma_y^2)\), la nueva varianza es: A) \(\sigma_x + \sigma_y\). B) \(\sigma_x^2 + \sigma_y^2\). C) \((\sigma_x + \sigma_y)^2\). D) \(\sigma_x^2 - \sigma_y^2\).

13. El Teorema Central del Límite (TCL) afirma que la suma de variables independientes tiende a una Normal si: A) Las variables son cualitativas. B) El tamaño de la muestra \(n\) es suficientemente grande (típicamente \(n \geq 30\)). C) La varianza original es infinita. D) El modelo tiene pocos parámetros.

14. ¿Para qué sirve la "corrección de continuidad" al aproximar una Binomial por una Normal? A) Para eliminar los outliers. B) Para ajustar una variable discreta a un cálculo en un intervalo continuo. C) Para asegurar que la media sea cero. D) Para evitar que la varianza sea negativa.

15. La distribución Chi-cuadrado (\(\chi^2\)) con \(k\) grados de libertad se define como: A) El cociente entre dos normales. B) La suma de los cuadrados de \(k\) variables normales estándar independientes. C) La raíz cuadrada de la varianza muestral. D) Una normal con media \(k\).

16. ¿Cuál es la esperanza (\(E[X]\)) de una variable \(\chi_k^2\)? A) \(2k\). B) \(\sqrt{k}\). C) \(k\). D) \(k - 1\).

17. Comparada con la Normal Estándar, la distribución t de Student tiene: A) Colas más pesadas (más probabilidad en los extremos). B) Una forma asimétrica hacia la derecha. C) Siempre una media mayor que 1. D) Menos dispersión.

18. ¿Cuándo es imprescindible usar la t de Student en lugar de la Normal para estimar una media? A) Cuando la muestra es muy grande (\(n > 1000\)). B) Cuando la varianza poblacional es desconocida y la muestra es pequeña. C) Siempre que los datos sean discretos. D) Cuando queremos comparar dos varianzas.

19. La distribución F de Snedecor se utiliza principalmente para: A) Modelar el tiempo entre mensajes en una red. B) Comparar las varianzas de dos poblaciones distintas. C) Clasificar imágenes en una red neuronal. D) Calcular la mediana de una población normal.

20. En un Test de Bondad de Ajuste de Pearson, ¿qué distribución se usa para ver si los datos siguen una Uniforme? A) t de Student. B) F de Snedecor. C) Chi-cuadrado (\(\chi^2\)). D) Binomial.

21. Para realizar un test de independencia entre dos variables (features) en Machine Learning, usamos: A) La distribución Normal. B) La distribución Chi-cuadrado (\(\chi^2\)). C) La distribución de Bernoulli. D) La distribución Exponencial.

22. ¿Qué distribución modela el número de peticiones que llegan a un servidor por minuto? A) Geométrica. B) Poisson. C) Uniforme. D) Normal.

23. Si un componente de hardware tiene una tasa de fallo constante, el tiempo hasta que falla sigue una: A) Distribución Exponencial. B) Distribución de Poisson. C) Distribución Binomial. D) Distribución t de Student.

24. ¿Qué parámetro de la distribución Normal se conoce como "parámetro de escala"? A) La media (\(\mu\)). B) La varianza o desviación típica (\(\sigma\)). C) El coeficiente de curtosis. D) El número de grados de libertad.