UD4 - Modelos de probabilidad

Aquí tienes la información principal de la Unidad 4: Modelos de Probabilidad, extraída de los documentos proporcionados, organizada por tipos de distribuciones, términos clave y ejercicios.

Tablas de Referencia Rápida

1. Distribuciones Discretas (Conteos)

Se utilizan cuando la variable aleatoria toma valores en un conjunto numerable (puntos aislados), generalmente resultados de "contar" sucesos.

Distribución	Puntos clave y Cuándo usarla	Esperanza \(E[X]\)	Varianza \(Var(X)\)	Función de Probabilidad / Uso
Bernoulli	Experimento con dos resultados posibles (éxito/fracaso). Ej: Un email es spam (1) o no (0).	\(p\)	\(p(1-p)\)	\(P(X=x) = p^x(1-p)^{1-x}\)
Binomial	Número de éxitos en \(n\) ensayos independientes. Ej: Contar errores en un batch de 20 imágenes.	\(np\)	\(np(1-p)\)	\(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)
Geométrica	Número de ensayos hasta el primer éxito. Ej: Intentos de conexión hasta que el servidor responde.	\(\frac{1}{p}\)	\(\frac{1-p}{p^2}\)	\(P(X=k) = (1-p)^{k-1}p\)
Poisson	Eventos en un intervalo fijo (tiempo/espacio). Ej: Peticiones web recibidas por minuto.	\(\lambda\)	\(\lambda\)	\(P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\)

2. Distribuciones Continuas (Mediciones)

Se aplican cuando la variable puede tomar cualquier valor en un intervalo real (tiempo, peso, intensidad), siendo la probabilidad de un punto exacto siempre cero.

Distribución	Puntos clave y Cuándo usarla	Esperanza \(E[X]\)	Varianza \(Var(X)\)	Función de Densidad / Propiedad
Uniforme	Probabilidad constante en el intervalo \([a, b]\). Ej: Inicializar pesos de una neurona entre 0 y 1.	\(\frac{a+b}{2}\)	\(\frac{(b-a)^2}{12}\)	\(f(x) = \frac{1}{b-a}\)
Exponencial	Tiempo entre eventos. Tiene "falta de memoria". Ej: Segundos entre la llegada de dos paquetes de red.	\(\frac{1}{\lambda}\)	\(\frac{1}{\lambda^2}\)	\(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\)
Normal	Simétrica, forma de campana (Gauss). Ej: Distribución de las notas medias de una facultad.	\(\mu\)	\(\sigma^2\)	\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)

3. Distribuciones de Inferencia (Muestreo)

Estas distribuciones derivan de la Normal estándar y son los pilares para tomar decisiones estadísticas sobre poblaciones a partir de muestras.

Distribución	Puntos clave y Cuándo usarla	Esperanza \(E[X]\)	Varianza \(Var(X)\)	Uso Principal en IA / Ciencia de Datos
\(\chi^2\) (Chi-cuadrado)	Suma de normales al cuadrado. Solo valores positivos. Ej: Validar si un generador es uniforme.	\(k\)	\(2k\)	Bondad de ajuste e independencia de variables categóricas.
t de Student	Similar a la Normal pero con colas más pesadas. Ej: Comparar precisión de modelos con pocos datos (\(n<30\)).	\(0\) (si \(k > 1\))	\(\frac{k}{k-2}\) (si \(k > 2\))	Inferencia sobre la media poblacional con varianza desconocida.
F de Snedecor	Cociente de dos Chi-cuadrados. Ej: Evaluar si dos modelos de IA tienen la misma estabilidad.	\(\frac{k_2}{k_2-2}\)	(compleja)	Comparación de varianzas y análisis ANOVA en regresión.

Contenido Detallado

📊 I. Distribuciones Discretas — Explicación Ampliada

Las distribuciones discretas modelan experimentos donde contamos algo: número de errores, intentos hasta ganar, eventos en un periodo, etc. La variable aleatoria toma valores en un conjunto finito o infinito numerable.

Distribución de Bernoulli

💡 Intuición

Un único experimento con dos posibles resultados: éxito (1) o fracaso (0). Como lanzar una moneda, validar si un email es spam, o que un modelo acierte su predicción.

Definición Formal

\[X \sim \text{Bernoulli}(p) \implies P(X=x) = p^x(1-p)^{1-x} \quad \text{para } x \in \{0, 1\}\]

donde \(p = P(\text{éxito})\) es el parámetro.

Propiedades Clave

Propiedad	Valor
Esperanza	\(E[X] = p\)
Varianza	\(\text{Var}(X) = p(1-p)\)
Desv. Estándar	\(\sigma = \sqrt{p(1-p)}\)

📌 Nota importante

Bernoulli es el "bloque de construcción" de la Binomial. Si repites el experimento \(n\) veces de forma independiente, obtienes una Binomial.

Distribución Binomial

💡 Intuición

Repites un experimento de Bernoulli \(n\) veces de forma independiente y cuentas cuántos éxitos obtienes. Ejemplo: lanzar una moneda 10 veces y contar cuántas caras salen.

Definición Formal

\[X \sim \text{Binomial}(n, p) \implies P(X=k) = \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \quad \text{para } k = 0, 1, \ldots, n\]

donde:

\(n\) = número de ensayos
\(p\) = probabilidad de éxito en cada ensayo
\(k\) = número de éxitos que queremos contar

Propiedades Clave

Propiedad	Valor
Esperanza	\(E[X] = np\)
Varianza	\(\text{Var}(X) = np(1-p)\)
Moda	\(\lfloor (n+1)p \rfloor\)

⚠️ Condición de aplicación

Úsala cuando:

Tienes \(n\) ensayos independientes.
Cada ensayo tiene solo dos resultados (éxito/fracaso).
La probabilidad \(p\) es igual en todos los ensayos.

Distribución Geométrica

💡 Intuición

¿Cuántos intentos necesitas hasta conseguir tu primer éxito? Lanzas un dado hasta sacar un 6; intenta conectar a un servidor hasta que responde; pruebas un código hasta que funciona.

Definición Formal

\[X \sim \text{Geométrica}(p) \implies P(X=k) = (1-p)^{k-1}p \quad \text{para } k = 1, 2, 3, \ldots\]

donde \(k\) es el número del ensayo en el cual obtienes el primer éxito.

Propiedades Clave

Propiedad	Valor
Esperanza	\(E[X] = \frac{1}{p}\)
Varianza	\(\text{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2}\)
Falta de Memoria	\(P(X > n+m \mid X > n) = P(X > m)\)

✨ Falta de Memoria

Si ya has fallado \(n\) veces, el número de fallos futuros no depende de \(n\). El proceso "olvida" el pasado. Es la única distribución discreta con esta propiedad.

Distribución de Poisson

💡 Intuición

Cuentas eventos aleatorios en un intervalo fijo (un minuto, una hora, un metro cuadrado). Ejemplos: llamadas telefónicas por minuto, accesos a un servidor por segundo, defectos en una pieza de tela.

Definición Formal

\[X \sim \text{Poisson}(\lambda) \implies P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \quad \text{para } k = 0, 1, 2, \ldots\]

donde \(\lambda > 0\) es la tasa media de eventos en el intervalo.

Propiedades Clave

Propiedad	Valor
Esperanza	\(E[X] = \lambda\)
Varianza	\(\text{Var}(X) = \lambda\)
Coincidencia especial	La media y varianza son iguales

🔗 Límite de la Binomial

Si \(n\) es muy grande, \(p\) es muy pequeño y \(np \approx \lambda\), entonces:

\[\text{Binomial}(n, p) \approx \text{Poisson}(\lambda)\]

Regla práctica: úsalo cuando \(n \ge 30\), \(p \le 0.1\) y \(np < 10\).

📈 II. Distribuciones Continuas — Explicación Ampliada

Las distribuciones continuas modelan variables que pueden tomar cualquier valor real en un intervalo: tiempos, pesos, intensidades, voltajes, etc. La probabilidad de un punto exacto es siempre cero; solo tiene sentido hablar de probabilidades en intervalos.

Distribución Uniforme Continua

💡 Intuición

Todos los valores en el intervalo \([a, b]\) tienen exactamente la misma probabilidad. Densidad constante. Ejemplo: elegir un número al azar entre 0 y 1 para inicializar pesos de una neurona; tiempo de espera uniformemente distribuido.

Definición Formal

\[X \sim U(a, b) \implies f(x) = \frac{1}{b-a} \quad \text{si } a \le x \le b\]

Propiedades Clave

Propiedad	Valor
Esperanza	\(E[X] = \frac{a+b}{2}\) (punto medio)
Varianza	\(\text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\)
Probabilidad en \([c, d] \subseteq [a, b]\)	\(P(c \le X \le d) = \frac{d-c}{b-a}\)

Distribución Exponencial

💡 Intuición

Tiempo entre eventos en un proceso sin memoria. Si una estación de tren recibe pasajeros al azar, la distribución del tiempo entre dos llegadas consecutivas es exponencial. También modeliza tiempo de vida de componentes electrónicos.

Definición Formal

\[X \sim \text{Exp}(\lambda) \implies f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad \text{para } x \ge 0\]

donde \(\lambda > 0\) es la tasa de eventos (inversa del tiempo medio).

Propiedades Clave

Propiedad	Valor
Esperanza	\(E[X] = \frac{1}{\lambda}\)
Varianza	\(\text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}\)
Coincidencia especial	\(E[X] = \sqrt{\text{Var}(X)}\) (media = desv. estándar)
Falta de Memoria	\(P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)\)

✨ Relación con Poisson

Si cuentas eventos según una Poisson con tasa \(\lambda\), el tiempo entre eventos consecutivos sigue una Exponencial con el mismo \(\lambda\).

Distribución Normal (Gaussiana)

💡 Intuición

La distribución más importante en estadística. Forma de campana simétrica centrada en la media \(\mu\). Aparece naturalmente en muchísimas situaciones reales: alturas, pesos, errores de medición, notas de exámenes, salarios, etc. Gracias al Teorema Central del Límite, es el límite de casi todas las demás distribuciones.

Definición Formal

\[X \sim N(\mu, \sigma^2) \implies f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \quad \text{para } x \in \mathbb{R}\]

donde:

\(\mu\) = media (centra la campana)
\(\sigma^2\) = varianza (controla la amplitud)

Propiedades Clave

Propiedad	Valor
Esperanza	\(E[X] = \mu\)
Varianza	\(\text{Var}(X) = \sigma^2\)
Simetría	Simétrica respecto a \(\mu\)

Estandarización a Normal Estándar

Cualquier Normal se transforma a la Normal Estándar \(N(0, 1)\) mediante:

\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)\]

📌 Por qué es importante

Solo existe una tabla para \(N(0, 1)\). Si tu variable es \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\), estandariza, busca en la tabla y luego "destandardiza" para obtener tu respuesta.

Regla Empírica (68-95-99.7)

\[ P(\mu - k\sigma \le X \le \mu + k\sigma) = \begin{cases} 0.683 & \text{si } k=1 \\ 0.954 & \text{si } k=2 \\ 0.997 & \text{si } k=3 \end{cases} \]

✨ Uso práctico

68.3% de los datos en \([\mu - \sigma, \mu + \sigma]\).
95.4% en \([\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]\) (casi todos).
99.7% en \([\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]\) (prácticamente todos).

Teorema Central del Límite (TCL)

Si \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) son variables independientes e idénticamente distribuidas con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\), entonces:

\[\bar{X} = \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n} \xrightarrow{d} N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \quad \text{cuando } n \to \infty\]

En la práctica, para \(n \ge 30\) ya es una muy buena aproximación.

🎯 III. Distribuciones de Inferencia — El Triángulo de Fisher

Estas distribuciones surgen al procesar muestras de una Normal. Son las herramientas para:

Contrastar hipótesis sobre la media (t de Student)
Contrastar hipótesis sobre la varianza (Chi-cuadrado, F de Snedecor)
Validar modelos (bondad de ajuste)

Todas derivan de la transformación de una Normal Estándar \(Z \sim N(0, 1)\).

Distribución Chi-Cuadrado (\(\chi^2\))

💡 Intuición

Suma de cuadrados de variables normales estándar independientes. Ejemplo: tomas \(k\) valores normales estándar, los elevas al cuadrado y los sumas. El resultado sigue una \(\chi^2_k\).

Definición Formal

Si \(Z_1, Z_2, \ldots, Z_k\) son \(k\) variables independientes \(N(0, 1)\), entonces:

\[\chi^2_k = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_k^2\]

Propiedades Clave

Propiedad	Valor
Esperanza	\(E[X] = k\)
Varianza	\(\text{Var}(X) = 2k\)
Dominio	Solo \(x \ge 0\)
Forma	Asimétrica positiva (cola hacia la derecha)

!!! warning "⚠️ Comportamiento" - Para \(k\) pequeño: muy asimétrica. - Conforme \(k\) crece: se va "normalizando" gracias al TCL.

Teorema de Fisher (Distribución de la Varianza Muestral)

Si tienes una muestra \(X_1, \ldots, X_n\) de \(N(\mu, \sigma^2)\) con varianza muestral \(S^2\), entonces:

\[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}\]

🔗 Uso en intervalos de confianza para varianzas

Este resultado es fundamental para construir intervalos de confianza para \(\sigma^2\) y contrastar si la varianza de una población tiene un valor específico.

Distribución t de Student

💡 Intuición

Parece a la Normal Estándar, pero con colas más pesadas (cola más gorda). Cuando estimamos la media con varianza desconocida y muestra pequeña, el estadístico sigue una t, no una Normal.

Definición Formal

Si \(Z \sim N(0, 1)\) y \(V \sim \chi^2_k\) son independientes, entonces:

\[t_k = \frac{Z}{\sqrt{V/k}} \sim t_k\]

Propiedades Clave

Propiedad	Valor
Esperanza	\(E[X] = 0\) (si \(k > 1\))
Varianza	\(\text{Var}(X) = \frac{k}{k-2}\) (si \(k > 2\))
Dominio	Todo \(x \in \mathbb{R}\)
Forma	Simétrica, como la Normal
Colas	Más pesadas que la Normal

✨ Convergencia a la Normal

Conforme \(k \to \infty\), la \(t_k\) converge a \(N(0, 1)\). En la práctica:

Si \(k < 30\): usa \(t_k\) (más conservador).
Si \(k \ge 30\): puedes usar \(N(0, 1)\) como aproximación.

Caso de uso: Estimación de la media con varianza desconocida

Si tienes una muestra \(X_1, \ldots, X_n\) de \(N(\mu, \sigma^2)\) (varianza desconocida), el estadístico:

\[T = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}\]

🔗 Úsalo para IC y contrastes

Todo intervalo de confianza para la media con \(\sigma\) desconocida utiliza esta distribución.

Distribución F de Snedecor

💡 Intuición

Cociente de dos varianzas muestrales independientes (escaladas por sus grados de libertad). Se usa para comparar la variabilidad de dos grupos o para ANOVA (análisis de varianza).

Definición Formal

Si \(U \sim \chi^2_{k_1}\) y \(V \sim \chi^2_{k_2}\) son independientes, entonces:

\[F = \frac{U / k_1}{V / k_2} \sim F(k_1, k_2)\]

Propiedades Clave

Propiedad	Valor
Esperanza	\(E[X] = \frac{k_2}{k_2 - 2}\) (si \(k_2 > 2\))
Dominio	Solo \(x > 0\)
Forma	Asimétrica positiva
Relación recíproca	\(F_{1-\alpha; k_1, k_2} = \frac{1}{F_{\alpha; k_2, k_1}}\)

📌 Nota

Los dos grados de libertad importan: \(F(2, 30)\) es diferente de \(F(30, 2)\).

Caso de uso: Comparar varianzas (ANOVA)

Si quieres contrastar si dos grupos tienen la misma varianza, o si en ANOVA hay diferencias significativas entre medias de grupos, usarás la F.

📋 Ejercicios Resueltos y Propuestos

✅ Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1: Binomial (Lectura de Tabla)

Enunciado

Calcular \(P(X \le 3)\) para \(X \sim \text{Binomial}(10, 0.3)\).

Solución

Identificamos los parámetros:

\(n = 10\) ensayos
\(p = 0.3\) probabilidad de éxito
Queremos \(P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\)

Buscamos en la tabla acumulada de la Binomial para \(n=10, p=0.3\) y \(k=3\):

\[P(X \le 3) = \mathbf{0.6496}\]

Interpretación: Hay aproximadamente un 65% de probabilidad de obtener 3 o menos éxitos en 10 ensayos con probabilidad 0.3.

Ejercicio 2: Poisson (Complementario)

Enunciado

Calcular \(P(X \ge 3)\) para \(X \sim \text{Poisson}(2.5)\).

Solución

Identificamos: \(\lambda = 2.5\), queremos la cola derecha.

Usamos el complemento:

\[P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)\]

De la tabla de Poisson acumulada para \(\lambda = 2.5\):

\[P(X \le 2) = 0.5438\]

Por lo tanto:

\[P(X \ge 3) = 1 - 0.5438 = \mathbf{0.4562}\]

Interpretación: Hay aproximadamente un 45.6% de probabilidad de que ocurran 3 o más eventos.

Ejercicio 3: Chi-Cuadrado (Generación a partir de Normales)

Enunciado

Dados 5 valores normales estándar: \(Z_1=1.2, Z_2=-0.8, Z_3=0.5, Z_4=-1.1, Z_5=0.3\), calcula la realización de \(\chi^2_5\).

Solución

Por definición, \(\chi^2_5 = Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2 + Z_4^2 + Z_5^2\).

Calculamos cada término:

\[Z_1^2 = 1.2^2 = 1.44\]

\[Z_2^2 = (-0.8)^2 = 0.64\]

\[Z_3^2 = 0.5^2 = 0.25\]

\[Z_4^2 = (-1.1)^2 = 1.21\]

\[Z_5^2 = 0.3^2 = 0.09\]

Suma:

\[\chi^2_5 = 1.44 + 0.64 + 0.25 + 1.21 + 0.09 = \mathbf{3.63}\]

Interpretación: La realización es 3.63. Comparando con \(E[\chi^2_5] = 5\), está por debajo de lo esperado en promedio.

Ejercicio 4: Teorema de Fisher — Intervalo de Confianza para la Varianza

Enunciado

Tiempos de ejecución de un algoritmo (en ms) con \(n=6\) observaciones: \(\{12.3, 13.8, 11.5, 14.2, 12.9, 13.1\}\). Sabemos que \(\sigma^2 = 4\) (conocida). Construye un IC al 95% para \(\sigma^2\).

Solución

Paso 1: Calcular la media muestral

\[\bar{X} = \frac{12.3 + 13.8 + 11.5 + 14.2 + 12.9 + 13.1}{6} = \frac{77.8}{6} = 12.97\]

Paso 2: Calcular la varianza muestral

\[S^2 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n-1}\]

Desviaciones: \(-0.67, 0.83, -1.47, 1.23, -0.07, 0.13\). Desviaciones al cuadrado: \(0.4489, 0.6889, 2.1609, 1.5129, 0.0049, 0.0169\). Suma: \(4.8334\).

\[S^2 = \frac{4.8334}{5} = 0.9667\]

Paso 3: Aplicar Teorema de Fisher

\[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{5 \times 0.9667}{4} = 1.208 \sim \chi^2_5\]

Paso 4: Construir el IC

Para un IC al 95%, buscamos \(\chi^2_{0.025, 5}\) y \(\chi^2_{0.975, 5}\):

\(\chi^2_{0.025, 5} = 0.831\)
\(\chi^2_{0.975, 5} = 12.833\)

El intervalo es:

\[\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.975, 5}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0.025, 5}} \right] = \left[ \frac{4.8335}{12.833}, \frac{4.8335}{0.831} \right]\]

\[= \mathbf{[0.377, 5.814]}\]

Interpretación: Con 95% de confianza, la varianza real está entre 0.377 y 5.814 ms².

Ejercicio 5: F de Snedecor — ANOVA Simple

Enunciado

Se prueban 4 learning rates diferentes en un modelo de IA. Se calcula ANOVA y se obtiene:

Media de cuadrados entre grupos: \(MS_{\text{entre}} = 0.00817\)
Media de cuadrados dentro de grupos: \(MS_{\text{dentro}} = 0.00098\)

¿Hay diferencias significativas entre los learning rates al nivel 0.05?

Solución

Paso 1: Calcular el estadístico F

\[F = \frac{MS_{\text{entre}}}{MS_{\text{dentro}}} = \frac{0.00817}{0.00098} = 8.34\]

Con \(k_1 = 3\) (4 grupos - 1) y \(k_2 = 16\) (grados de libertad del error).

Paso 2: Comparar con el valor crítico

Del tabla F al nivel 0.05: \(F_{0.95; 3, 16} = 3.24\).

Paso 3: Decisión

Como \(F = 8.34 > 3.24\), rechazamos la hipótesis nula.

\[\text{Conclusión: Hay diferencias significativas entre los learning rates.}\]

Interpretación: La variabilidad entre grupos es mucho mayor que dentro de grupos, sugiriendo que los learning rates tienen efectos realmente distintos en el modelo.

Ejercicio 6: Chi-Cuadrado de Bondad de Ajuste

Enunciado

Se genera una secuencia de números pseudo-aleatorios y se clasifica en 10 categorías. Las frecuencias observadas vs esperadas (uniforme) son:

Categoría	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
\(O_i\)	105	98	102	96	101	99	104	97	103	95
\(E_i\)	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100

¿Es razonable asumir que el generador es uniforme?

Solución

Paso 1: Aplicar la fórmula de Chi-Cuadrado

\[\chi^2 = \sum_{i=1}^{10} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}\]

Calculamos cada término:

\[\begin{align} &\frac{(105-100)^2}{100} = 0.25, \quad \frac{(98-100)^2}{100} = 0.04, \quad \ldots \\ &\chi^2 = 0.25 + 0.04 + 0.04 + 0.16 + 0.01 + 0.01 + 0.16 + 0.09 + 0.09 + 0.25 = 0.82 \end{align}\]

Paso 2: Comparar con el valor crítico

Grados de libertad: \(df = 10 - 1 = 9\). Valor crítico al nivel 0.05: \(\chi^2_{0.95, 9} = 16.92\).

Paso 3: Decisión

Como \(\chi^2 = 0.82 < 16.92\), no rechazamos la hipótesis nula.

\[\text{Conclusión: No hay evidencia contra que el generador sea uniforme.}\]

🎯 Ejercicios Propuestos (Para Practicar)

Bernoulli/Binomial: De 100 predicciones de un modelo de IA, cada una es correcta con probabilidad 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de tener más de 85 aciertos?
Poisson: Un servidor recibe en promedio 50 peticiones por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de recibir exactamente 45 en un minuto?
Geométrica: Intentas conectarte a una base de datos. Cada intento falla con probabilidad 0.1. ¿Cuál es el número medio de intentos hasta conectarse?
Exponencial: El tiempo entre llegadas de clientes es exponencial con media 10 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que pasen más de 15 minutos entre dos llegadas?
Normal + TCL: Tienes una muestra de 50 datos. Aunque no sabes la distribución original, ¿por qué puedes asumir que la media muestral es aproximadamente normal?
t de Student vs Normal: Compara un IC al 95% para la media usando t de Student vs Normal. ¿Cuál es más ancho? ¿Por qué?
Chi-Cuadrado: Simula 10,000 realizaciones de \(\chi^2_{10}\) sumando 10 normales estándar al cuadrado cada vez. Dibuja un histograma.
F de Snedecor: Tienes dos muestras de tamaño 20 cada una. La primera tiene varianza muestral 4.5 y la segunda 2.1. ¿Puedes rechazar que ambas poblaciones tienen igual varianza?

🎓 Resumen Ejecutivo — Lo Imprescindible para el Examen

📍 Condiciones Críticas

Aproximaciones Clave

Binomial → Poisson: Úsala cuando \(n \ge 30\), \(p \le 0.1\) y \(np < 10\).
Cualquier distribución → Normal: Por el TCL, si \(n \ge 30\), la media muestral es aproximadamente Normal.

Propiedades Únicas (¡No las olvides!)

Propiedad	Distribuciones
Falta de Memoria	Geométrica (discreto) + Exponencial (continuo)
Media = Varianza	Poisson (\(\lambda\)) + Exponencial (\(1/\lambda^2\))
Insesgadez	\(E[\bar{X}] = \mu\) y \(E[S^2] = \sigma^2\)

⚠️ Errores Comunes

Confundir Bernoulli con Binomial: Bernoulli es UN ensayo; Binomial es la suma de \(n\) Bernoulli.
Olvidar estandarizar la Normal: Siempre convierte \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) a \(Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)\) para usar la tabla.
Usar Normal cuando la varianza es desconocida: En muestras pequeñas (\(n < 30\)), usa \(t\) de Student, no Normal.
Confundir \(\chi^2\) con Normal: \(\chi^2\) es asimétrica; solo toma valores \(\ge 0\).

✨ Estrategia en el Examen

Diferenciación Rápida

1) ¿Cuento algo discreto?

Número de éxitos → Binomial
Eventos en un intervalo → Poisson
Intentos hasta éxito → Geométrica

2) ¿Mido algo continuo?

Uniformemente distribuido → Uniforme
Tiempo entre eventos → Exponencial
Campana simétrica → Normal

3) ¿Me piden inferencia (IC, test)?

Media con \(\sigma\) desconocida → t de Student
Varianza → \(\chi^2\)
Comparar dos varianzas → F de Snedecor
¿Es uniforme un generador? → \(\chi^2\) de bondad de ajuste

🔗 Relaciones Entre Distribuciones

graph LR
    A[Bernoulli] -->|suma n| B[Binomial]
    B -->|n grande| C[Normal]
    B -->|p pequeño| D[Poisson]
    D -->|tiempos| E[Exponencial]
    C -->|elevar| F[Chi-cuadrado]
    F -->|k grande| C
    G[t de Student] -->|k grande| C
    H[F Snedecor] -->|grande| C

📌 Intuición de los Límites

¿Por qué ocurren estas convergencias?

Binomial → Normal: Cuando sumas muchas variables independientes (teorema central del límite).
Poisson → Normal: Misma razón; es un caso especial del TCL.
\(\chi^2_k\) → Normal: Estás sumando \(k\) variables al cuadrado; conforme \(k\) crece, el TCL aplica.
\(t_k\) → Normal: La \(\chi^2_k\) en el denominador se estabiliza cuando \(k\) es grande.

📚 Consejos Adicionales para Dominar el Tema

💡 Ejercicios Típicos de Examen

Tipo 1: Reconocer la distribución

Problema: "Un sistema recibe 100 peticiones por hora. ¿Cuál es la probabilidad de recibir más de 120?"

Solución: - "100 por hora" → tasa constante → Poisson con \(\lambda = 100\). - Calculas \(P(X > 120)\).

Tipo 2: Estimación puntual e intervalo

Problema: "De 50 mediciones, \(\bar{X} = 10.5\), \(S^2 = 2.1\). Intervalo de confianza para \(\mu\) al 95%."

Solución: - \(n = 50 \ge 30\) → Puedes usar Normal O t de Student (este es más conservador). - Fórmula: \(\bar{X} \pm t_{49, 0.975} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}\).

Tipo 3: Test de hipótesis

Problema: "¿Es la media igual a 0?" → Contraste \(H_0: \mu = 0\) vs \(H_1: \mu \neq 0\).

Estadístico: \(T = \frac{\bar{X} - 0}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}\) bajo \(H_0\).

✨ Manejo de Tablas

Tabla Normal estándar: Búscala en columnas (dos primeros decimales) y filas (tercero).
Tabla t de Student: Elige fila por grados de libertad y columna por nivel (0.025, 0.05, etc.).
Tabla \(\chi^2\): Fila = grados de libertad, columna = nivel.
Tabla F: Requiere dos grados de libertad: \((k_1, k_2)\).

🎯 Mapa Mental Final

graph TB
    subgraph Discretas
        BERN["Bernoulli: 1 ensayo; Salida {0,1}; P(X=1)=p; E=p; Var=p(1-p)"]
        BIN["Binomial: n ensayos independientes; Salida k=0..n; P=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k); E=np; Var=np(1-p)"]
        GEO["Geométrica: hasta 1er éxito; Salida k=1..; P=(1-p)^(k-1)p; E=1/p; Var=(1-p)/p^2"]
        POIS["Poisson: conteos por intervalo (λ); Salida k=0..; P=λ^k e^-λ / k!; E=λ; Var=λ"]
    end

    subgraph Continuas
        UNIF["Uniforme U(a,b): a<=x<=b; f=1/(b-a); E=(a+b)/2; Var=(b-a)^2/12"]
        EXP["Exponencial Exp(λ): x>=0; f=λ e^-λx; E=1/λ; Var=1/λ^2"]
        NORM["Normal N(μ,σ²): x∈R; f=(1/(√(2π)σ)) e^{-(x-μ)^2/(2σ^2)}; E=μ; Var=σ^2"]
    end

    subgraph Inferencia
        CHI["Chi-cuadrado χ²: suma de Z_i^2; x>=0; E=k; Var=2k"]
        T["t Student: media con σ desconocida; x∈R; E=0 (k>1); Var=k/(k-2) (k>2)"]
        F["F Snedecor: cociente de varianzas; x>0; E=k2/(k2-2) (k2>2)"]
    end

    Distrib["Distribuciones"]
    Distrib --> Discretas
    Distrib --> Continuas
    Distrib --> Inferencia

    BERN --> BIN
    BIN --> NORM
    BIN --> POIS
    POIS --> EXP
    CHI --> F
    CHI --> NORM
    T --> NORM
    F --> NORM

✅ Checklist Final Antes del Examen

[ ] ¿Reconozco cuando usar Bernoulli, Binomial, Geométrica y Poisson?
[ ] ¿Puedo estandarizar una Normal y leer la tabla?
[ ] ¿Sé cuándo aplicar TCL?
[ ] ¿Conozco las propiedades de falta de memoria?
[ ] ¿Sé construir intervalos de confianza con \(t\), \(\chi^2\) y \(F\)?
[ ] ¿Entiendo la diferencia entre varianza conocida vs desconocida?
[ ] ¿Puedo interpretar el resultado de un test de hipótesis?
[ ] ¿Manejo bien las tablas estadísticas?