Contrastes de hipótesis

Objetivo

✨ Formular y ejecutar contrastes de hipótesis para media, proporción y varianza. Interpretar p-valores, calcular potencia y tomar decisiones estadísticas correctamente.

1) Esquema general

Plantea \(H_0\) y \(H_1\) (bilateral o unilateral).
Elige nivel \(\alpha\).
Selecciona el estadístico pivote según el parámetro y la información (Z, t, \(\chi^2\), F).
Define región crítica (valor crítico) o calcula p-valor.
Decide: rechaza \(H_0\) si estadístico cae en región crítica (o p-valor < \(\alpha\)).

2) Casos frecuentes

Media, \(\sigma\) conocida (Z):

\[ Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}. \]

Media, \(\sigma\) desconocida (t):

\[ T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}. \]

Proporción (Z):

\[ Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}. \]

Varianza (Chi-cuadrado):

\[ \chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2_{n-1}. \]

Comparar varianzas (F):

\[ F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1). \]

3) Tablas de apoyo

📊 Tabla Normal estándar

Ver tabla Normal (PDF)

📊 Tabla t de Student

Ver tabla t (PDF)

📊 Tabla Chi-cuadrado

Ver tabla \(\chi^2\) (PDF)

📊 Tabla F de Snedecor

Ver tabla F (PDF)

4) Checklist

Tipo de prueba: bilateral o unilateral.
Conocida \(\sigma\)? ¿Tamaños muestrales? Elige Z o t.
Varianzas: \(\chi^2\) (una muestra), F (dos varianzas).
Proporciones: usa Z con \(p_0\).
Decide con valor crítico o p-valor.

!!! warning "Errores comunes" - Usar \(p\)-valor sin comparar con \(\alpha\). - Olvidar grados de libertad en t, \(\chi^2\) o F. - No ordenar \(S_1^2\ge S_2^2\) antes de usar F.

Ejercicios rápidos

Ejercicio 1 — t bilateral

\(n=22\), \(\bar{x}=101\), \(s=9\), \(\mu_0=98\), \(\alpha=0.05\). Calcula \(t\) y concluye.

Solución: \(t=\dfrac{101-98}{9/\sqrt{22}}=\dfrac{3}{1.92}=1.56\). Con g.l. 21, \(t_{0.975}\approx2.08\), no se rechaza \(H_0\).

Ejercicio 2 — Proporción unilateral

\(n=300\), \(x=78\) éxitos, \(p_0=0.22\), \(H_1: p>p_0\), \(\alpha=0.05\).

Solución: \(\hat{p}=0.26\), \(Z=\dfrac{0.26-0.22}{\sqrt{0.22\cdot0.78/300}}=1.75\), valor crítico \(Z_{0.95}=1.645\), se rechaza \(H_0\).

Ejercicio 3 — Varianza

\(n=16\), \(s^2=4.2\), \(\sigma_0^2=3.0\), \(\alpha=0.05\) bilateral. Calcula \(\chi^2\).

Solución: \(\chi^2=\dfrac{15\cdot4.2}{3.0}=21.0\), compara con \(\chi^2_{0.975;15}\) y \(\chi^2_{0.025;15}\).

Ejercicio 4 — Dos varianzas

\(n_1=18\), \(s_1^2=5.1\) y \(n_2=15\), \(s_2^2=3.0\). Calcula \(F\).

Solución: ordenar: \(s_1^2>s_2^2\). \(F=5.1/3.0=1.70\), g.l. \((17,14)\); compara con tabla F al 5% bilateral (usa reciprocidad si aplicas cola superior).