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Ejercicios — UD5

Objetivo

✨ Practicar cálculos de estimadores puntuales, intervalos de confianza y contrastes de hipótesis. Aplicar conceptos en problemas reales de inferencia estadística.

Práctica guiada

  1. Estimador de proporción y su ECM
  2. Una encuesta obtiene 84 éxitos en 280 encuestas.
  3. Calcula \(\hat{p}\), su varianza y el ECM de \(\hat{p}\).
Solución

\(\hat{p}=0.30\), \(\operatorname{Var}(\hat{p})=\dfrac{p(1-p)}{n}\approx\dfrac{0.3\cdot0.7}{280}=0.00075\). Si \(p=0.3\) es el valor verdadero, el sesgo es 0 y el ECM coincide con la varianza.

  1. IC para la media con \(\sigma\) conocida
  2. \(n=60\), \(\bar{x}=12.4\), \(\sigma=3.0\), \(\alpha=0.05\).
Solución

\(Z_{0.975}=1.96\). IC: \(12.4\pm1.96\cdot3/\sqrt{60}=12.4\pm0.76\Rightarrow(11.64,13.16)\).

  1. IC de proporción
  2. \(n=180\), éxitos \(x=54\), \(\alpha=0.10\).
Solución

\(\hat{p}=0.30\), \(Z_{0.95}=1.645\). IC: \(0.30\pm1.645\sqrt{0.3\cdot0.7/180}=0.30\pm0.058\Rightarrow(0.242,0.358)\).

  1. IC de varianza (chi-cuadrado)
  2. \(n=22\), \(s^2=2.9\), \(\alpha=0.05\).
Solución

\(\chi^2_{0.975;21}\) y \(\chi^2_{0.025;21}\). IC: \(\left(\dfrac{21\cdot2.9}{\chi^2_{0.975;21}},\dfrac{21\cdot2.9}{\chi^2_{0.025;21}}\right)\).

  1. Contrastando una media (t)
  2. \(n=15\), \(\bar{x}=52\), \(s=9\), \(\mu_0=50\), \(H_1: \mu>50\), \(\alpha=0.05\).
Solución

\(t=\dfrac{52-50}{9/\sqrt{15}}=0.86\), g.l. 14, \(t_{0.95;14}\approx1.76\). No se rechaza \(H_0\).

  1. Proporción unilateral (Z)
  2. \(n=320\), \(x=68\), \(p_0=0.18\), \(H_1: p>p_0\), \(\alpha=0.05\).
Solución

\(\hat{p}=0.2125\), \(Z=\dfrac{0.2125-0.18}{\sqrt{0.18\cdot0.82/320}}=1.53\), \(Z_{0.95}=1.645\), no se rechaza \(H_0\).

  1. Varianza bilateral (chi-cuadrado)
  2. \(n=28\), \(s^2=5.5\), \(\sigma_0^2=4.0\), \(\alpha=0.05\).
Solución

\(\chi^2=\dfrac{27\cdot5.5}{4}=37.13\). Compara con \(\chi^2_{0.975;27}\) y \(\chi^2_{0.025;27}\).

  1. Dos medias (t con varianzas iguales)
  2. Muestra 1: \(n_1=24\), \(\bar{x}_1=15.3\), \(s_1^2=9.0\).
  3. Muestra 2: \(n_2=26\), \(\bar{x}_2=13.8\), \(s_2^2=8.1\).
  4. \(H_1: \mu_1>\mu_2\), \(\alpha=0.05\).
Solución

\(s_p^2=\dfrac{(23\cdot9.0)+(25\cdot8.1)}{24+26-2}=8.53\), \(s_p=2.92\).

\(t=\dfrac{15.3-13.8}{2.92\sqrt{1/24+1/26}}=2.02\). g.l. \(24+26-2=48\). \(t_{0.95;48}\approx1.68\), se rechaza \(H_0\).

  1. Dos proporciones (Z)
  2. Grupo A: \(n_1=180\), \(x_1=54\).
  3. Grupo B: \(n_2=160\), \(x_2=32\).
  4. \(H_1: p_1\ne p_2\), \(\alpha=0.05\).
Solución

\(\hat{p}_1=0.30\), \(\hat{p}_2=0.20\), \(\hat{p}=\dfrac{54+32}{180+160}=0.255\).

\(Z=\dfrac{0.30-0.20}{\sqrt{0.255\cdot0.745(1/180+1/160)}}=2.41\), \(Z_{0.975}=1.96\), se rechaza \(H_0\).

  1. F para varianzas
    • \(n_1=20\), \(s_1^2=6.0\); \(n_2=18\), \(s_2^2=3.6\).
Solución

Ordena \(S_1^2\ge S_2^2\): \(F=6.0/3.6=1.67\), g.l. \((19,17)\), compara con tabla F al 5% bilateral (usa simetría si necesitas la cola inferior).