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Estimación puntual

Objetivo

✨ Comprender qué es un estimador puntual, analizar sus propiedades deseables (insesgadez, eficiencia, consistencia) y usar el error cuadrático medio (ECM) para seleccionar el mejor estimador en cada situación.

Idea Clave 💡

Un estimador puntual es una función de la muestra que produce un único valor para aproximar un parámetro poblacional desconocido. La clave es elegir el estimador con mejores propiedades: insesgadez (no tiene error sistemático), eficiencia (menor varianza) y consistencia (mejora con más datos).

Árbol de Decisión: Elegir Estimador

graph TD
    A["¿Cuál estimador usar?"] -->|¿Parámetro es media?| B["Usa media muestral X̄"]
    A -->|¿Parámetro es varianza?| C["Usa S²/n-1"]
    A -->|¿Parámetro es proporción?| D["Usa p̂"]

    B --> E["Siempre insesgado"]
    C --> F["Insesgado si Normal"]
    D --> G["Insesgado"]

    E --> H["Varianza = σ²/n"]
    F --> I["ECM depende de sesgo"]
    G --> J["Varianza = p(1-p)/n"]

📌 Definiciones Básicas

Parámetro vs Estimador vs Estimación

Concepto Definición Ejemplo
Parámetro θ Valor fijo pero desconocido en población μ (media verdadera)
Estimador θ̂ Función de los datos (variable aleatoria) X̄ = (1/n)ΣX_i
Estimación Valor numérico concreto tras observar datos X̄ = 52.3

Nota: Estimador es función (cambia entre muestras); estimación es número (fijo para datos concretos).

Control de calidad

Parámetro: Diámetro medio verdadero μ de tuercas

Estimador: X̄ = (1/n)ΣX_i (varía según muestra)

Estimación: X̄ = 10.05 mm (resultado de esta muestra)

📊 Propiedades Deseables de Estimadores

1. Insesgadez

Un estimador es insesgado si \(E[\hat{\theta}] = \theta\) (no tiene error sistemático).

\[\text{Sesgo}(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta\]
Propiedad Interpretación
Sesgo = 0 Estimador centrado en verdadero valor
Sesgo > 0 Tiende a sobrestimar
Sesgo < 0 Tiende a subestimar
Media vs mediana

Para distribución Normal: X̄ es insesgada (E[X̄]=μ), mediana es insesgada (E[Md]=μ), ambas válidas.

Para distribución sesgada: X̄ es insesgada, pero mediana puede ser sesgada.

2. Eficiencia

Un estimador es más eficiente si tiene menor varianza entre estimadores insesgados de la misma clase.

\[\text{Var}(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}^2] - (E[\hat{\theta}])^2\]
Comparar varianzas
  • Media muestral: Var(X̄) = σ²/n
  • Mediana muestral: Var(Md) ≈ (π/2)(σ²/n) ≈ 1.57(σ²/n)

X̄ es más eficiente (menor varianza).

3. Consistencia

Un estimador es consistente si converge al parámetro verdadero cuando \(n \to \infty\):

\[\hat{\theta}_n \xrightarrow{P} \theta \quad \text{cuando} \quad n \to \infty\]

Regla práctica: Si Var(\(\hat{\theta}\)) → 0 y sesgo → 0 cuando n → ∞, el estimador es consistente.

Media muestral
\[\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} \to 0 \quad \text{cuando} \quad n \to \infty\]

X̄ es consistente para μ.

4. Error Cuadrático Medio (ECM)

El ECM combina varianza y sesgo, permitiendo comparar estimadores aunque uno sea sesgado:

\[\text{ECM}(\hat{\theta}) = \text{Var}(\hat{\theta}) + [\text{Sesgo}(\hat{\theta})]^2\]

Interpretación: Mide desviación promedio cuadrada del estimador respecto al parámetro verdadero.

Comparar ECM

Estimador A: insesgado, Var = 10, Sesgo = 0 - ECM(A) = 10 + 0² = 10

Estimador B: sesgado, Var = 2, Sesgo = 2 - ECM(B) = 2 + 2² = 6

B es mejor globalmente a pesar de ser sesgado.

📊 Estimadores Comunes y sus Propiedades

Media Muestral

\[\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\]
Propiedad Valor
Parámetro estimado μ (media poblacional)
Insesgadez ✅ E[X̄] = μ
Varianza Var(X̄) = σ²/n
ECM σ²/n
Consistencia ✅ Var(X̄) → 0 cuando n → ∞
Cálculo de ECM

Datos: X_i ~ N(100, 15²), n = 25

\[\text{ECM}(\bar{X}) = \frac{15^2}{25} = \frac{225}{25} = 9\]

Desviación estándar: √9 = 3 (X̄ típicamente 100 ± 3)

Varianza Muestral

\[S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2\]
Propiedad Valor
Parámetro estimado σ² (varianza poblacional)
Insesgadez ✅ E[S²] = σ² (si población Normal)
Nota importante Si usas 1/n: sesgado, pero consistente
Consistencia ✅ Converge a σ² cuando n → ∞
Sesgo en divisor

Usar 1/n: \(E[S^2_{n}] = \frac{n-1}{n}\sigma^2\) (sesgo = -σ²/n)

Usar 1/(n-1): E[S²] = σ² (insesgado)

Proporción Muestral

\[\hat{p} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i, \quad X_i \sim \text{Ber}(p)\]
Propiedad Valor
Parámetro estimado p (probabilidad de éxito)
Insesgadez ✅ E[p̂] = p
Varianza Var(p̂) = p(1-p)/n
ECM p(1-p)/n
Consistencia ✅ Convergente por LGN
Encuesta electoral

Muestra: n=400, p̂=0.45 (45% votaría sí)

\[\text{Var}(\hat{p}) = \frac{0.45 \times 0.55}{400} = 0.000619\]
\[\text{DE}(\hat{p}) = \sqrt{0.000619} \approx 0.0249 \approx 2.5\%\]

⚠️ Trampas Comunes

Trampa 1: Confundir estimador con estimación

  • ❌ Incorrecto: "El estimador de μ es 52.5" (52.5 es estimación, no función)
  • ✅ Correcto: "El estimador es X̄; para estos datos, la estimación es 52.5"

Trampa 2: Usar 1/n en lugar de 1/(n-1) para varianza

  • ❌ Incorrecto: \(S^2 = \frac{1}{n}\sum(X_i-\bar{X})^2\) (sesgado)
  • ✅ Correcto: \(S^2 = \frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar{X})^2\) (insesgado)

Trampa 3: Asumir insesgadez implica eficiencia

  • ❌ Incorrecto: Todos los estimadores insesgados tienen la misma varianza
  • ✅ Correcto: Comparar varianzas; elegir de menor Var entre insesgados

Trampa 4: Confundir Var(X) con Var(X̄)

  • ❌ Incorrecto: Var(X̄) = σ² (varianza de dato individual)
  • ✅ Correcto: Var(X̄) = σ²/n (varianza de promedio)

Trampa 5: Ignorar sesgo en comparativas

  • ❌ Incorrecto: Elegir estimador solo por insesgadez
  • ✅ Correcto: Comparar ECM (combina varianza y sesgo)

💡 Checklist: Analizar un Estimador

Paso a Paso

  1. Identifica parámetro: ¿Qué población parameter estimar? (μ, σ², p, ...)
  2. Propón estimador: ¿Qué función de datos usar?
  3. Calcula E[θ̂]: Usando linealidad de esperanza
  4. Calcula Var(θ̂): Usando propiedades de varianza
  5. Sesgo: Sesgo = E[θ̂] - θ
  6. ECM: ECM = Var + Sesgo²
  7. Consistencia: ¿Var → 0 y Sesgo → 0 cuando n → ∞?
  8. Compara: Si hay alternativas, elige menor ECM
  9. Reporta: Estimador elegido, propiedades, ECM

📚 Ejercicios Rápidos

Estimador propuesto: \(\tilde{\mu}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n X_i\). Calcula sesgo para E[X] = μ.

Ejercicio 1 — Sesgo de estimador
\[E[\tilde{\mu}] = E\left[\frac{1}{n-1}\sum X_i\right] = \frac{n}{n-1}\mu\]
\[\text{Sesgo} = E[\tilde{\mu}] - \mu = \frac{n}{n-1}\mu - \mu = \frac{\mu}{n-1}\]

Para n grande, sesgo → 0 (consistente).

Estimador A: insesgado, Var(A) = 4/n. Estimador B: Var(B) = 1/n, Sesgo(B) = 1/n. Para n=25, ¿cuál tiene menor ECM?

Ejercicio 2 — Comparar ECM
\[\text{ECM}(A) = \frac{4}{25} + 0^2 = 0.16\]
\[\text{ECM}(B) = \frac{1}{25} + \left(\frac{1}{25}\right)^2 = 0.04 + 0.0016 = 0.0416\]

B gana (menor ECM) a pesar de ser sesgado.

Población: X ~ N(70, 12²), n=36. ¿Cuál es Var(X̄) y DE(X̄)?

Ejercicio 3 — Varianza de media muestral
\[\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{144}{36} = 4\]
\[\text{DE}(\bar{X}) = \sqrt{4} = 2\]

Interpretación: Media muestral típicamente ±2 unidades de media verdadera.

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