Examen UD5 (medio)

Duración estimada: 50 minutos.

Instrucciones

• Responde marcando la opción correcta (a, b, c, d). Puede haber más de una correcta: marca todas las que correspondan.
• En las preguntas de cálculo se pide elegir la(s) opción(es) correcta(s); debajo de cada pregunta se incluye la solución desarrollada para estudiar.

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Pregunta 1

Para estimar una media con \(\sigma\) conocida, el IC al 95% se construye con:

\(\bar{x}\pm t_{0.975}\dfrac{s}{\sqrt{n}}\)

\(\bar{x}\pm Z_{0.975}\dfrac{s}{\sqrt{n}}\)

\(\bar{x}\pm Z_{0.975}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

\(\bar{x}\pm t_{0.95}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

Explicación: Con \(\sigma\) conocida se usa Z y el error estándar es \(\sigma/\sqrt{n}\).

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Pregunta 2

El método de máxima verosimilitud elige el estimador que:

Minimiza el ECM

Maximiza \(L(\theta|x)\)

Minimiza el sesgo

Minimiza la varianza

Explicación: MLE maximiza la función de verosimilitud respecto a \(\theta\).

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Pregunta 3

Para contrastar \(H_0: p=p_0\) con \(n\) grande, el estadístico correcto es:

\(T=\dfrac{\hat{p}-p_0}{S/\sqrt{n}}\)

\(Z=\dfrac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\)

\(\chi^2=\dfrac{(n-1)S^2}{p_0^2}\)

\(F=\dfrac{\hat{p}}{p_0}\)

Explicación: Para proporciones grandes se usa Z con varianza bajo \(H_0\).

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Pregunta 4

En un contraste bilateral con estadístico Z, se rechaza \(H_0\) si:

\(|Z|<Z_{\alpha/2}\)

\(|Z|>Z_{\alpha/2}\)

\(Z>Z_{\alpha}\)

\(Z<-Z_{\alpha}\)

Explicación: En dos colas se compara el valor absoluto con el cuantil \(Z_{\alpha/2}\).

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Pregunta 5

El intervalo para una proporción se basa en:

t de Student

Distribución Normal

Distribución \(\chi^2\)

Distribución F

Explicación: Para \(n\) grande la proporción se aproxima por Normal.

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Pregunta 6

Para \(H_0: \sigma^2=\sigma_0^2\), el estadístico es:

\(Z=\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\)

\(T=\dfrac{S^2-\sigma_0^2}{\sigma_0^2/\sqrt{n}}\)

\(\chi^2=\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\)

\(F=\dfrac{S}{\sigma_0}\)

Explicación: El contraste de varianza de una muestra usa \(\chi^2\) con g.l. \(n-1\).

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Pregunta 7

Si \(\sigma\) es desconocida y \(n\) pequeño, para la media se usa:

Z

t de Student

\(\chi^2\)

F

Explicación: Con \(\sigma\) desconocida y muestra pequeña se usa t con \(n-1\) g.l.

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Pregunta 8

La varianza del estimador de proporción \(\hat{p}\) es:

\(p(1-p)\)

\(\dfrac{p(1-p)}{n}\)

\(\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n-1}\)

\(\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}\)

Explicación: \(\hat{p}\) es media de Bernoullis, su varianza es \(p(1-p)/n\).

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Pregunta 9

Para contrastar dos varianzas se usa:

Z

t

\(\chi^2\)

F

Explicación: La razón de varianzas sigue F si las muestras son normales e independientes.

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Pregunta 10

Un error de tipo I es:

No rechazar \(H_0\) siendo falsa

Rechazar \(H_0\) siendo verdadera

Aumentar el tamaño muestral

Disminuir la potencia de la prueba

Explicación: Error tipo I = rechazar una hipótesis verdadera, con probabilidad \(\alpha\).

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Soluciones desarrolladas

Solución pregunta 1 — IC media con \(\sigma\) conocida

Se conoce \(\sigma\), por lo que el pivote es \(Z=\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\) y el IC al 95% es \(\bar{x}\pm Z_{0.975}\,\sigma/\sqrt{n}\). Las fórmulas con \(t\) se usan cuando \(\sigma\) es desconocida.

Solución pregunta 2 — Criterio MLE

La MLE define \(\hat{\theta}=\arg\max_{\theta} L(\theta|x)\) (o su log-verosimilitud). No exige minimizar sesgo ni ECM de forma directa.

Solución pregunta 3 — Estadístico de proporción

Bajo \(H_0: p=p_0\), \(\hat{p}\sim N\left(p_0,\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}\right)\) si \(n\) es grande. El estadístico estandarizado es \(Z=\dfrac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\).

Solución pregunta 4 — Regla en dos colas

Para dos colas con nivel \(\alpha\), la región crítica es \(|Z|>Z_{\alpha/2}\). Las reglas \(Z>Z_\alpha\) o \(Z<-Z_\alpha\) corresponden a pruebas unilaterales.

Solución pregunta 5 — IC de proporción

La proporción muestral es media de Bernoullis; con \(n\) grande su distribución se aproxima a Normal, de donde se deriva el IC \(\hat{p}\pm Z_{1-\alpha/2}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}\).

Solución pregunta 6 — Contraste de varianza

El estadístico \(\chi^2=\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\) sigue \(\chi^2_{n-1}\) bajo \(H_0\). Las otras opciones no corresponden a la distribución exacta de \(S^2\).

Solución pregunta 7 — Media con \(\sigma\) desconocida

Si \(\sigma\) no se conoce y \(n\) es pequeño, se sustituye por \(S\) y el pivote es \(T=\dfrac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}\). El Z es válido solo con \(\sigma\) conocida o \(n\) grande.

Solución pregunta 8 — Varianza de \(\hat{p}\)

\(\hat{p}=\dfrac{1}{n}\sum X_i\) con \(X_i\sim \text{Bernoulli}(p)\). Entonces \(\operatorname{Var}(\hat{p})=\dfrac{p(1-p)}{n}\). Las expresiones con \(\hat{p}\) son aproximaciones para IC pero la varianza exacta usa \(p\).

Solución pregunta 9 — Dos varianzas

Con muestras normales e independientes, \(F=\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)\). \(\chi^2\) se usa para una sola varianza; Z y t son para medias.

Solución pregunta 10 — Error tipo I

Error de tipo I = rechazar \(H_0\) siendo verdadera. Su probabilidad se fija en \(\alpha\); el error tipo II es no rechazar \(H_0\) siendo falsa.