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Intervalos de confianza

Objetivo

✨ Construir intervalos de confianza (IC) para media, proporción y varianza. Interpretar correctamente el nivel de confianza y estimar tamaños muestrales para diseño de estudios.

1) Interpretación correcta

Un IC al 95% genera, en el largo plazo, intervalos que contienen el parámetro en el 95% de los estudios repetidos. No significa que un intervalo ya calculado contenga el parámetro con probabilidad 0.95.

2) Fórmulas clave

  • Media, \(\sigma\) conocida:
\[ \bar{X} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}. \]
  • Media, \(\sigma\) desconocida:
\[ \bar{X} \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{S}{\sqrt{n}}. \]
  • Proporción (n grande):
\[ \hat{p} \pm z_{\alpha/2}\,\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}. \]
  • Varianza:
\[ \left[\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2,\,n-1}},\;\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1}}\right]. \]

3) Tamaño muestral (margen de error \(E\))

  • Media: \(n = \left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\).
  • Proporción: \(n = \hat{p}(1-\hat{p}) \left(\dfrac{z_{\alpha/2}}{E}\right)^2\) (conservador: \(\hat{p}=0.5\)).

4) Tablas de apoyo

📊 Tabla Normal estándar

Ver tabla Normal (PDF)

📊 Tabla t de Student

Ver tabla t (PDF)

📊 Tabla Chi-cuadrado

Ver tabla \(\chi^2\) (PDF)

5) Checklist práctico

  • Define el parámetro y el nivel de confianza.
  • Elige la distribución pivote (Z, t o \(\chi^2\)) según información disponible.
  • Sustituye datos, calcula el margen y arma \([L,U]\).
  • Para tamaño muestral, despeja \(n\) del margen de error deseado.

Errores comunes

  • Usar Z en lugar de t cuando \(\sigma\) es desconocida y \(n\) es pequeño.
  • Olvidar grados de libertad en \(t\) y \(\chi^2\).
  • Interpretar el IC como probabilidad sobre un intervalo ya calculado.

Ejercicios rápidos

Muestra \(n=18\), \(\bar{x}=72\), \(s=9\), \(\alpha=0.05\). Construye el IC para \(\mu\).

Ejercicio 1 — IC media con t

Paso 1: Identifica la información disponible

  • Tenemos \(n=18\) (muestra pequeña)
  • No se conoce la desviación típica poblacional \(\sigma\), solo la muestral \(s=9\)
  • Queremos NC = 95%, lo que significa \(\alpha=0.05\)
  • No se cumple: \(n < 30\) y \(\sigma\) desconocida

Conclusión: Usamos la distribución \(t\) de Student, no la Normal.

Paso 2: Determina el valor crítico \(t_{\alpha/2,n-1}\)

¿De dónde sale \(t_{0.975,17}\)?

  • Nivel de confianza: 95% → \(\alpha = 1 - 0.95 = 0.05\)
  • Cola superior: \(\alpha/2 = 0.05/2 = 0.025\) (el 2.5% en la cola derecha)
  • Acumulada hasta nuestro valor: \(1 - 0.025 = 0.975\)
  • Grados de libertad: \(n - 1 = 18 - 1 = 17\)

Buscamos en tabla \(t\) el valor que deja 0.975 de probabilidad acumulada con 17 g.l.

De la tabla: \(t_{0.975,17} \approx 2.11\)

Paso 3: Calcula el error estándar (margen de error)

\[\text{Margen} = t_{\alpha/2,n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 2.11 \cdot \frac{9}{\sqrt{18}}\]

Cálculos: - \(\sqrt{18} \approx 4.24\) - \(\frac{9}{4.24} \approx 2.12\) - \(2.11 \times 2.12 \approx 4.47\)

Paso 4: Construye el intervalo

\[\text{IC} = [\bar{x} - \text{margen}, \bar{x} + \text{margen}]\]
\[\text{IC} = [72 - 4.47, 72 + 4.47] = [67.53, 76.47] \approx [67.5, 76.5]\]

Interpretación: Con un 95% de confianza, el verdadero valor de la media poblacional \(\mu\) está entre 67.5 y 76.5.

\(n=400\), \(x=60\) éxitos. IC 95% para \(p\).

Ejercicio 2 — IC proporción

Paso 1: Identifica la información

  • \(n = 400\) (muestra grande, \(n > 30\))
  • Número de éxitos en la muestra: \(x = 60\)
  • Nivel de confianza: 95% → \(\alpha = 0.05\)

Paso 2: Calcula la proporción muestral

\[\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{60}{400} = 0.15\]

Paso 3: Obtén el valor crítico

Para proporciones con muestra grande usamos la distribución Normal estándar.

  • \(\alpha/2 = 0.05/2 = 0.025\)
  • Buscamos el valor de \(z\) que deja 0.975 de probabilidad acumulada
  • De la tabla Normal: \(z_{0.975} = 1.96\)

Paso 4: Calcula el error estándar

\[\text{Margen} = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.15 \times 0.85}{400}}\]

Cálculos: - \(0.15 \times 0.85 = 0.1275\) - \(\frac{0.1275}{400} = 0.000318...\) - \(\sqrt{0.000318} \approx 0.0178\) - \(1.96 \times 0.0178 \approx 0.035\)

Paso 5: Construye el intervalo

\[\text{IC} = [\hat{p} - \text{margen}, \hat{p} + \text{margen}] = [0.15 - 0.035, 0.15 + 0.035]\]
\[\text{IC} = [0.115, 0.185]\]

Interpretación: Con un 95% de confianza, la verdadera proporción poblacional \(p\) está entre el 11.5% y el 18.5%.

\(n=12\), \(s^2=5.1\), \(\alpha=0.05\). IC 95% para \(\sigma^2\).

Ejercicio 3 — IC varianza

Paso 1: Identifica la información

  • \(n = 12\) (tamaño muestral)
  • \(s^2 = 5.1\) (varianza muestral)
  • Nivel de confianza: 95% → \(\alpha = 0.05\)
  • Queremos estimar la varianza poblacional \(\sigma^2\)

Nota: Para varianza usamos la distribución \(\chi^2\) (Chi-cuadrado).

Paso 2: Calcula los grados de libertad

\[\text{g.l.} = n - 1 = 12 - 1 = 11\]

Paso 3: Obtén los valores críticos de Chi-cuadrado

¿Por qué buscamos dos valores?

La distribución \(\chi^2\) no es simétrica, así que tenemos dos colas desiguales: - Cola inferior: \(\alpha/2 = 0.025\) → acumulada = 0.025 - Cola superior: \(\alpha/2 = 0.025\) → acumulada = \(1 - 0.025 = 0.975\)

De la tabla \(\chi^2\) con 11 g.l.: - \(\chi^2_{0.025,11} \approx 3.816\) (percentil 2.5%) - \(\chi^2_{0.975,11} \approx 21.920\) (percentil 97.5%)

Paso 4: Aplica la fórmula del IC para varianza

\[\text{IC} = \left[\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,n-1}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}}\right]\]

Nota importante: El denominador menor (\(\chi^2_{0.025}\)) produce el límite superior, y el denominador mayor (\(\chi^2_{0.975}\)) produce el límite inferior. Es lo opuesto a la intuición con Z y t.

\[\text{IC} = \left[\frac{11 \times 5.1}{21.920}, \frac{11 \times 5.1}{3.816}\right]\]

Cálculos: - Numerador: \(11 \times 5.1 = 56.1\) - Límite inferior: \(\frac{56.1}{21.920} \approx 2.56\) - Límite superior: \(\frac{56.1}{3.816} \approx 14.71\)

\[\text{IC} = [2.56, 14.71]\]

Interpretación: Con un 95% de confianza, la verdadera varianza poblacional \(\sigma^2\) está entre 2.56 y 14.71.