Contrastes para la varianza
🎯 Objetivo
Aprender a realizar contrastes de hipótesis sobre la varianza poblacional. Cubriremos el contraste F para comparar dos varianzas y el contraste χ² para una única varianza.
¿Por Qué Contrastar Varianzas?
En muchas aplicaciones, no solo nos interesa la media sino también la variabilidad o consistencia:
- Producción: ¿Es el nuevo proceso más consistente (menor varianza)?
- Algoritmos: ¿La nueva implementación tiene resultados más estables?
- Medicina: ¿El tratamiento tiene efectos más predecibles?
Contraste F para Dos Varianzas
Supuestos
- Ambas poblaciones son Normales
- Los datos de cada grupo son independientes
- Las muestras son independientes entre sí
Hipótesis
Queremos comparar las varianzas de dos poblaciones:
(También son válidas hipótesis unilaterales)
Estadístico de Prueba
Donde \(s_1^2\) y \(s_2^2\) son las varianzas muestrales de ambos grupos.
Convención: Colocar la varianza mayor en el numerador, así F ≥ 1.
Bajo H₀, F sigue una distribución F de Snedecor con g.l. = (\(n_1 - 1\), \(n_2 - 1\)).
Valores Críticos (α = 0.05)
| Tipo de Contraste | Región de Rechazo |
|---|---|
| Bilateral: \(H_1: \sigma_1^2 \ne \sigma_2^2\) | \(F > F_{\alpha/2; n_1-1, n_2-1}\) |
| Unilateral derecha: \(H_1: \sigma_1^2 > \sigma_2^2\) | \(F > F_{\alpha; n_1-1, n_2-1}\) |
Ejemplo: Contraste F para Varianzas
Ejemplo 1: Contraste F para varianzas
Problema: Comparamos la variabilidad en el tiempo de respuesta de dos implementaciones de un algoritmo:
| Implementación | n | Varianza |
|---|---|---|
| 1 | 25 | \(s_1^2 = 12.5\) |
| 2 | 20 | \(s_2^2 = 6.8\) |
¿Hay diferencia significativa en la variabilidad (α = 0.05)?
Paso 1: Hipótesis
Paso 2: Estadístico F
Colocamos la mayor varianza en el numerador: $\(F = \frac{12.5}{6.8} \approx 1.838\)$
Paso 3: Valor crítico
g.l. = (24, 19); para bilateral, α = 0.05: \(F_{0.025; 24, 19} = 2.41\)
Paso 4: Comparar
Paso 5: Conclusión
No hay evidencia de diferencia significativa en variabilidad entre las dos implementaciones. Ambas tienen consistencia similar.
Contraste χ² para una Única Varianza
Supuestos
- La población es Normal
- Los datos son independientes
Hipótesis
Queremos contrastar si la varianza de una población es igual a un valor específico:
(También son válidas hipótesis unilaterales)
Estadístico de Prueba
Donde:
- \(s^2\) = varianza muestral
- \(\sigma_0^2\) = varianza bajo H₀
- \(n\) = tamaño muestral
Bajo H₀, χ² sigue una distribución chi-cuadrado con g.l. = n - 1.
Valores Críticos (α = 0.05)
| Tipo de Contraste | Región de Rechazo |
|---|---|
| Bilateral | \(\chi^2 < \chi^2_{\alpha/2; n-1}\) o \(\chi^2 > \chi^2_{1-\alpha/2; n-1}\) |
| Unilateral derecha | \(\chi^2 > \chi^2_{\alpha; n-1}\) |
| Unilateral izquierda | \(\chi^2 < \chi^2_{\alpha; n-1}\) |
Ejemplo: Contraste χ² para una Varianza
Ejemplo 2: Contraste χ² para una varianza
Problema: Un servidor debe garantizar que la varianza del tiempo de respuesta no supera 0.04 segundos². En una muestra de 30 mediciones:
- \(s^2 = 0.052\) segundos²
- Queremos saber si se cumple la garantía (α = 0.05, unilateral derecha)
Paso 1: Hipótesis
(H₀ = se cumple la garantía; H₁ = la varianza excede lo permitido)
Paso 2: Estadístico χ²
Paso 3: Valor crítico
g.l. = 29; para unilateral derecha, α = 0.05: \(\chi^2_{0.05; 29} = 42.56\)
Paso 4: Comparar
Paso 5: Conclusión
No hay evidencia de que la varianza supere lo permitido. El servidor cumple la garantía de consistencia (p ≈ 0.06).
Tabla Resumen: Contrastes de Varianza
| Contraste | Supuestos | Estadístico | Distribución | Hipótesis Típica |
|---|---|---|---|---|
| F (dos varianzas) | Normalidad | \(s_1^2 / s_2^2\) | F | \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2\) |
| χ² (una varianza) | Normalidad | \((n-1)s^2/\sigma_0^2\) | χ² | \(\sigma^2 = \sigma_0^2\) |
🧱 Admonition: Sensibilidad al Supuesto de Normalidad
⚠️ Importante
Los contrastes de varianza son muy sensibles al supuesto de normalidad. Si los datos no son aproximadamente normales, estos contrastes pueden dar resultados engañosos.
**Recomendación:** Antes de usar un contraste de varianza, verifica visualmente la distribución (histograma, Q-Q plot) o usa una prueba de normalidad.