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Ejercicio - Chi-cuadrado

Objetivo: Resolver un contraste de bondad de ajuste (chi-cuadrado) frente a una Poisson especificada y practicar cálculo de media y representación gráfica.

Enunciado del problema

Debido al uso de varias herramientas de IA generativa, se ha preguntado a 100 estudiantes cuántas herramientas utilizan cada día y se ha obtenido la siguiente distribución de frecuencias:

Tabla de datos

\(X_i\) (Herramientas) 0 1 2 3 4 5 6 o más
\(O_i\) (Frecuencia) 3 65 15 12 4 0 1

Tareas a realizar

  • a) Realizar la representación gráfica de los datos.
  • b) Calcular la media de la muestra.
  • c) Contrastar si los datos proceden de una distribución de Poisson con parámetro \(\lambda=2\).

Soluciones

✨ Observación inicial

En la categoría "6 o más" se agrupan todas las observaciones con 6 o más herramientas. Para los cálculos de media y del contraste se tomará, por simplicidad, el valor 6 como representante del grupo "6 o más". Esto es una aproximación habitual; si se conoce la distribución exacta en la cola, conviene usarla.

a) Representación gráfica

Objetivo: visualizar la distribución muestral.

Tabla con barras (escala: barra máxima = 30 caracteres para la categoría con mayor frecuencia).

b) Media muestral

Calculamos la media muestral aproximando "6 o más" por 6.

Sea \(n=100\). Entonces

\[ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_i x_i O_i = \frac{0\cdot3 + 1\cdot65 + 2\cdot15 + 3\cdot12 + 4\cdot4 + 5\cdot0 + 6\cdot1}{100}. \]

Calculamos el numerador:

\[ 0 + 65 + 30 + 36 + 16 + 0 + 6 = 153. \]

Por tanto

\[ \bar{x} = \frac{153}{100} = 1.53. \]

Resultado: la media muestral aproximada es \(\bar{x}=1.53\).

c) Contraste: ¿Poisson(\(\lambda=2\))?

Planteamiento:

  • Hipótesis nula \(H_0\): los datos provienen de una Poisson con \(\\lambda=2\).
  • Usaremos un contraste de bondad de ajuste chi-cuadrado. Agrupamos las categorías en: \(0,1,2,3,4,\\ge 5\) para asegurar esperados adecuados.

Probabilidades teóricas (Poisson \(\lambda=2\)):

\[ P(X=k)=e^{-2}\frac{2^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots \]

Calculamos las esperanzas teóricas \(E_k = n\,P(X=k)\) para \(k=0,1,2,3,4\) y la cola \(k\ge5\):

Usando \(e^{-2}\approx 0.1353352832\):

\[ \begin{aligned} P(0)&=e^{-2}=0.13533528,& E_0&=13.5335,\\ P(1)&=2e^{-2}=0.27067057,& E_1&=27.0671,\\ P(2)&=2e^{-2}=0.27067057,& E_2&=27.0671,\\ P(3)&=\frac{2^3}{3!}e^{-2}=0.18044704,& E_3&=18.0447,\\ P(4)&=\frac{2^4}{4!}e^{-2}=0.09022352,& E_4&=9.0224,\\ P(X\ge5)&=1-\sum_{k=0}^4 P(k)\approx 0.05265302,& E_{\ge5}&\approx5.2653. \end{aligned} \]

Tabla resumen (observadas \(O\), esperadas \(E\), contribución \(\dfrac{(O-E)^2}{E}\)):

Categoría \(O\) \(E\) (aprox.) \(\dfrac{(O-E)^2}{E}\) (aprox.)
0 3 13.5335 8.20
1 65 27.0671 53.13
2 15 27.0671 5.38
3 12 18.0447 2.03
4 4 9.0224 2.80
\(\ge5\) 1 5.2653 3.46
Total 100 100 74.98

El estadístico de prueba chi-cuadrado es

\[ \chi^2 = \sum_{\text{categorías}} \frac{(O-E)^2}{E} \approx 74.98. \]

Grados de libertad: \(g-1-m\), donde \(g\) = número de categorías (6) y \(m\) = número de parámetros estimados (0, porque \(\lambda\) está especificado). Así \(df=6-1-0=5\).

Comparación con la tabla: para \(\alpha=0.05\) la cuantía crítica \(\chi^2_{0.05,5}\approx 11.07\). Nuestro estadístico es mucho mayor (\(74.98\)), por lo que rechazamos \(H_0\).

Conclusión: con los datos observados hay evidencia muy fuerte para rechazar que la muestra provenga de una Poisson con \(\lambda=2\) (p-valor muy pequeño, \(p\ll0.001\)).

Comentario final: la mayor discrepancia está en la categoría 1 (observado 65 frente a ~27 esperado), lo que indica un sesgo hacia el uso de exactamente una herramienta por día en la muestra —la Poisson(2) no captura esa concentración.

Referencias relacionadas: UD6 — Contrastes de hipótesis

Ver cálculos detallados de las contribuciones Usando la identidad $\dfrac{(O-E)^2}{E}=\dfrac{O^2}{E}-2O+E$ se obtuvieron las contribuciones numéricas indicadas en la tabla anterior (redondeadas a 2 decimales).