Ejercicios — UD6

📋 Descripción

En esta sección encontrarás ejercicios prácticos sobre contrastes de hipótesis. Cada ejercicio incluye la solución paso a paso con explicaciones detalladas.

Actividad Propuesta

Resuelve los siguientes ejercicios aplicando los procedimientos aprendidos:

Contraste Z para una media (σ conocida)
Contraste t para una media (σ desconocida)
Contraste t para dos muestras independientes
Contraste t para muestras pareadas
Contraste F para varianzas
Contraste χ² para una varianza

✅ Soluciones Detalladas

Ejercicio 1: Contraste Z para una Media

Ejercicio 1

Enunciado:

Un algoritmo de reconocimiento facial tiene una tasa de reconocimiento conocida con desviación típica σ = 0.025. Se entrena con un nuevo conjunto de datos y se prueba en 60 imágenes, obteniendo:

$\bar{x} = 0.92$ (tasa de reconocimiento)
Hipótesis: ¿Ha mejorado respecto a la anterior (μ₀ = 0.88)?
α = 0.05 (unilateral derecha)

Solución:

Paso 1: Plantear hipótesis

\[H_0: \mu = 0.88 \quad \text{vs} \quad H_1: \mu > 0.88\]

Explicación: Buscamos evidencia de que el algoritmo ha mejorado (es mayor), por eso unilateral derecha.

Paso 2: Fijar nivel de significación

α = 0.05

Paso 3: Calcular el estadístico Z

\[Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{0.92 - 0.88}{0.025 / \sqrt{60}} = \frac{0.04}{0.00323} \approx 12.38\]

Paso 4: Determinar valor crítico

Para unilateral derecha, α = 0.05: $z_{0.05} = 1.645$

Paso 5: Tomar decisión

\[12.38 > 1.645 \Rightarrow \text{Rechazamos H}_0\]

Paso 6: Conclusión

La tasa de reconocimiento ha mejorado significativamente (p < 0.0001). El nuevo conjunto de datos permite entrenar un algoritmo más preciso.

Ejercicio 2: Contraste t para una Media

Ejercicio 2

Enunciado:

Se registra el tiempo de compilación de un proyecto en 12 ocasiones. Queremos verificar si el tiempo promedio es distinto a 3 minutos:

$\bar{x} = 2.87$ minutos
$s = 0.35$ minutos
$n = 12$
$\mu_0 = 3$ minutos
α = 0.05 (bilateral)

Solución:

Paso 1: Plantear hipótesis

\[H_0: \mu = 3 \quad \text{vs} \quad H_1: \mu \ne 3\]

Paso 2: Calcular estadístico t

\[t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{2.87 - 3}{0.35 / \sqrt{12}} = \frac{-0.13}{0.101} \approx -1.287\]

Paso 3: Grados de libertad

g.l. = n - 1 = 12 - 1 = 11

Paso 4: Valor crítico

Para bilateral, α = 0.05, g.l. = 11: $t_{11, 0.025} = 2.201$

Paso 5: Decisión

\[|-1.287| < 2.201 \Rightarrow \text{NO rechazamos H}_0\]

Paso 6: Conclusión

No hay evidencia de que el tiempo de compilación sea distinto a 3 minutos. Los datos son consistentes con un tiempo promedio de 3 minutos.

Ejercicio 3: Contraste t para Dos Muestras Independientes

Ejercicio 3

Enunciado:

Se comparan dos métodos de optimización de código en términos de tiempo de ejecución. Se prueban 15 funciones con cada método:

Método	n	Media (ms)	Desv. típica
A	15	45.2	8.3
B	15	38.7	7.5

¿Hay diferencia significativa (α = 0.05)?

Solución:

Paso 1: Hipótesis

\[H_0: \mu_A = \mu_B \quad \text{vs} \quad H_1: \mu_A \ne \mu_B\]

Paso 2: Varianza combinada

\[S_p^2 = \frac{(15-1)(8.3)^2 + (15-1)(7.5)^2}{15 + 15 - 2}$$ $$= \frac{14 \times 68.89 + 14 \times 56.25}{28} = \frac{964.46 + 787.5}{28} = \frac{1751.96}{28} \approx 62.57\]

\[S_p = \sqrt{62.57} \approx 7.91\]

Paso 3: Estadístico t

\[t = \frac{45.2 - 38.7}{7.91 \sqrt{1/15 + 1/15}} = \frac{6.5}{7.91 \times 0.365} = \frac{6.5}{2.887} \approx 2.25\]

Paso 4: Grados de libertad

g.l. = 15 + 15 - 2 = 28

Paso 5: Valor crítico

Para bilateral, α = 0.05, g.l. = 28: $t_{28, 0.025} \approx 2.048$

Paso 6: Decisión

\[2.25 > 2.048 \Rightarrow \text{Rechazamos H}_0\]

Paso 7: Conclusión

El Método A tiene un tiempo de ejecución significativamente mayor que el Método B (p ≈ 0.032). El Método B es significativamente más rápido.

Ejercicio 4: Contraste t para Muestras Pareadas

Ejercicio 4

Enunciado:

Se prueba un nuevo compilador en 10 proyectos, midiendo el tamaño del código generado antes y después:

Proyecto	Antes (KB)	Después (KB)	Diferencia
1	256	248	-8
2	312	295	-17
3	189	181	-8
4	428	410	-18
5	275	268	-7
6	341	330	-11
7	198	192	-6
8	467	445	-22
9	223	216	-7
10	352	335	-17

¿Ha reducido significativamente el tamaño del código (α = 0.05)?

Solución:

Paso 1: Hipótesis

\[H_0: \mu_d = 0 \quad \text{vs} \quad H_1: \mu_d < 0\]

(H₁: unilateral izquierda porque esperamos reducción)

Paso 2: Calcular media y desviación de diferencias

Diferencias: -8, -17, -8, -18, -7, -11, -6, -22, -7, -17

\[\bar{d} = \frac{-8-17-8-18-7-11-6-22-7-17}{10} = \frac{-121}{10} = -12.1\]

\[s_d = \sqrt{\frac{\sum(d_i - \bar{d})^2}{n-1}} \approx 5.83\]

Paso 3: Estadístico t

\[t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}} = \frac{-12.1}{5.83 / \sqrt{10}} = \frac{-12.1}{1.843} \approx -6.57\]

Paso 4: Grados de libertad

g.l. = n - 1 = 10 - 1 = 9

Paso 5: Valor crítico

Para unilateral izquierda, α = 0.05, g.l. = 9: $t_{9, 0.05} = -1.833$

Paso 6: Decisión

\[-6.57 < -1.833 \Rightarrow \text{Rechazamos H}_0\]

Paso 7: Conclusión

El nuevo compilador ha reducido significativamente el tamaño del código generado (p < 0.001). En promedio, reduce aproximadamente 12.1 KB por proyecto.

Ejercicio 5: Contraste F para Varianzas

Ejercicio 5

Enunciado:

Se comparan dos proveedores de semiconductores en términos de consistencia de rendimiento:

Proveedor	n	Varianza
X	18	$s_X^2 = 15.4$
Y	22	$s_Y^2 = 8.2$

¿Hay diferencia significativa en variabilidad (α = 0.05)?

Solución:

Paso 1: Hipótesis

\[H_0: \sigma_X^2 = \sigma_Y^2 \quad \text{vs} \quad H_1: \sigma_X^2 \ne \sigma_Y^2\]

Paso 2: Estadístico F

Colocamos la varianza mayor en el numerador:

\[F = \frac{s_X^2}{s_Y^2} = \frac{15.4}{8.2} \approx 1.878\]

Paso 3: Grados de libertad

g.l. = (17, 21)

Paso 4: Valor crítico

Para bilateral, α = 0.05, g.l. = (17, 21): $F_{0.025; 17, 21} \approx 2.37$

Paso 5: Decisión

\[1.878 < 2.37 \Rightarrow \text{NO rechazamos H}_0\]

Paso 6: Conclusión

No hay evidencia de diferencia significativa en variabilidad entre los proveedores. Ambos tienen consistencia similar en el rendimiento de los semiconductores.

Ejercicio 6: Contraste χ² para una Varianza

Ejercicio 6

Enunciado:

Un sistema de control de calidad requiere que la varianza en el peso de los componentes no supere 2.5 gramos². Se mide una muestra de 25 componentes:

$s^2 = 3.2$ gramos²
α = 0.05 (unilateral derecha)

¿Se cumple la especificación de calidad?

Solución:

Paso 1: Hipótesis

\[H_0: \sigma^2 = 2.5 \quad \text{vs} \quad H_1: \sigma^2 > 2.5\]

(H₀: especificación cumplida; H₁: varianza excesiva)

Paso 2: Estadístico χ²

\[\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{(25-1) \times 3.2}{2.5} = \frac{76.8}{2.5} = 30.72\]

Paso 3: Grados de libertad

g.l. = n - 1 = 25 - 1 = 24

Paso 4: Valor crítico

Para unilateral derecha, α = 0.05, g.l. = 24: $\chi^2_{0.05; 24} = 36.42$

Paso 5: Decisión

\[30.72 < 36.42 \Rightarrow \text{NO rechazamos H}_0\]

Paso 6: Conclusión

No hay evidencia de que la varianza supere la especificación (p ≈ 0.08). El sistema cumple con los requisitos de calidad especificados.

📊 Tabla Resumen: Errores Comunes y Cómo Evitarlos

Error Común	Problema	Solución
Confundir p-valor con probabilidad de H₀	"p = 0.02 significa 98% de que H₁ es verdadera"	El p-valor es P(datos \| H₀), no P(H₀ \| datos)
No especificar unilateral vs bilateral	Usar valores críticos incorrectos	Plantear siempre explícitamente H₁
Usar varianza en lugar de desv. típica	Distorsión en el cálculo del estadístico	Verificar siempre las fórmulas
Ignorar supuestos	Resultados no fiables	Comprobar normalidad antes de análisis
Múltiples contrastes sin corrección	Aumenta tasa de falsos positivos	Usar correcciones (Bonferroni) si necesario

🧠 Consejos Finales para Resolver Contrastes

✅ Checklist antes de reportar resultados

¿He planteado H₀ y H₁ de forma clara?
¿He indicado si es bilateral o unilateral?
¿He fijado α antes de analizar los datos?
¿He verificado los supuestos (normalidad, etc.)?
¿He calculado correctamente el estadístico?
¿He usado el valor crítico o p-valor correcto?
¿He interpretado el resultado en contexto (no solo "p < 0.05")?
¿He reportado también el tamaño del efecto?

Proyecto	Antes (KB)	Después (KB)	Diferencia
1	256	248	-8
2	312	295	-17
3	189	181	-8
4	428	410	-18
5	275	268	-7
6	341	330	-11
7	198	192	-6
8	467	445	-22
9	223	216	-7
10	352	335	-17

Proveedor	n	Varianza
X	18	\(s_X^2 = 15.4\)
Y	22	\(s_Y^2 = 8.2\)

Proyecto	Antes (KB)	Después (KB)	Diferencia
1	256	248	-8
2	312	295	-17
3	189	181	-8
4	428	410	-18
5	275	268	-7
6	341	330	-11
7	198	192	-6
8	467	445	-22
9	223	216	-7
10	352	335	-17

Ejercicios — UD6

📋 Descripción

Actividad Propuesta

✅ Soluciones Detalladas

Ejercicio 1: Contraste Z para una Media

Paso 1: Plantear hipótesis

Paso 2: Fijar nivel de significación

Paso 3: Calcular el estadístico Z

Paso 4: Determinar valor crítico

Paso 5: Tomar decisión

Paso 6: Conclusión

Ejercicio 2: Contraste t para una Media

Paso 1: Plantear hipótesis

Paso 2: Calcular estadístico t

Paso 3: Grados de libertad

Paso 4: Valor crítico

Paso 5: Decisión

Paso 6: Conclusión

Ejercicio 3: Contraste t para Dos Muestras Independientes

Paso 1: Hipótesis

Paso 2: Varianza combinada

Paso 3: Estadístico t

Paso 4: Grados de libertad

Paso 5: Valor crítico

Paso 6: Decisión

Paso 7: Conclusión

Ejercicio 4: Contraste t para Muestras Pareadas

Paso 1: Hipótesis

Paso 2: Calcular media y desviación de diferencias

Paso 3: Estadístico t

Paso 4: Grados de libertad

Paso 5: Valor crítico

Paso 6: Decisión

Paso 7: Conclusión

Ejercicio 5: Contraste F para Varianzas

Paso 1: Hipótesis

Paso 2: Estadístico F

Paso 3: Grados de libertad

Paso 4: Valor crítico

Paso 5: Decisión

Paso 6: Conclusión

Ejercicio 6: Contraste χ² para una Varianza

Paso 1: Hipótesis

Paso 2: Estadístico χ²

Paso 3: Grados de libertad

Paso 4: Valor crítico

Paso 5: Decisión

Paso 6: Conclusión

📊 Tabla Resumen: Errores Comunes y Cómo Evitarlos

🧠 Consejos Finales para Resolver Contrastes

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Proyecto	Antes (KB)	Después (KB)	Diferencia
1	256	248	-8
2	312	295	-17
3	189	181	-8
4	428	410	-18
5	275	268	-7
6	341	330	-11
7	198	192	-6
8	467	445	-22
9	223	216	-7
10	352	335	-17