Examen UD6 (medio)

Duración estimada: 90 minutos. Lee con atención y marca la(s) respuesta(s) correcta(s). Algunas preguntas pueden tener más de una respuesta válida.

Instrucciones

• Responde marcando la opción correcta (a, b, c, d). Puede haber más de una correcta: marca todas las que correspondan.
• En las preguntas de cálculo se pide elegir la(s) opción(es) correcta(s); debajo de cada pregunta se incluye la solución desarrollada para estudiar.

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Pregunta 1

Una investigadora quiere demostrar que un nuevo tratamiento es más efectivo que el actual. ¿Cuál debe ser su hipótesis alternativa?

\(H_1: \mu = \mu_0\) (el nuevo tratamiento tiene igual efectividad)

\(H_1: \mu > \mu_0\) (el nuevo tratamiento es más efectivo)

\(H_1: \mu < \mu_0\) (el nuevo tratamiento es menos efectivo)

\(H_1: \mu \ne \mu_0\) (el nuevo tratamiento difiere en efectividad)

Explicación: El investigador busca demostrar una mejora específica (aumento), no solo diferencia. Esto es un contraste unilateral derecha, donde H₁ es lo que se espera demostrar.

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Pregunta 2

¿Cuál es la diferencia fundamental entre la hipótesis nula (H₀) y la alternativa (H₁) en el enfoque frecuentista?

H₀ es siempre verdadera y H₁ es siempre falsa

H₀ es lo que asumimos por defecto ("no hay efecto"); H₁ es lo que esperamos demostrar

No hay diferencia; son equivalentes

H₀ contiene el símbolo ">" y H₁ contiene "="

Explicación: En el enfoque frecuentista, H₀ es la afirmación inicial que se asume cierta hasta que encontremos evidencia en contra. H₁ es lo que el investigador espera demostrar.

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Pregunta 3

Un desarrollador realiza un contraste para verificar que la precisión de un algoritmo no es menor que 0.90. ¿Cuál es el planteamiento correcto de las hipótesis?

\(H_0: \mu = 0.90\) ; \(H_1: \mu > 0.90\) (unilateral derecha)

\(H_0: \mu = 0.90\) ; \(H_1: \mu < 0.90\) (unilateral izquierda)

\(H_0: \mu > 0.90\) ; \(H_1: \mu \le 0.90\) (unilateral izquierda)

\(H_0: \mu \ne 0.90\) ; \(H_1: \mu = 0.90\) (bilateral)

Explicación: La frase "no es menor que 0.90" significa que esperamos que sea \(\ge 0.90\). Por tanto, H₀ es la igualdad (0.90) y H₁ es que supera ese valor (>0.90). Trampa pedagógica: nótese que "no menor" se traduce a "mayor o igual", pero en hipótesis la alternativa es estrictamente ">", no ">=".

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Pregunta 4

¿Qué es el Error Tipo I en un contraste de hipótesis?

Rechazar H₀ siendo verdadera (falso positivo)

No rechazar H₀ siendo falsa (falso negativo)

Aceptar H₀ siendo verdadera (decisión correcta)

Aceptar H₁ siendo falsa (decisión correcta)

Explicación: Error Tipo I es el "falso positivo": decimos que hay efecto cuando en realidad no lo hay. Se controla mediante el nivel de significación α.

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Pregunta 5

¿Qué es el Error Tipo II en un contraste de hipótesis?

Rechazar H₀ siendo verdadera

No rechazar H₀ siendo falsa (falso negativo)

Rechazar H₁ siendo verdadera

Calcular mal el estadístico de prueba

Explicación: Error Tipo II es el "falso negativo": no detectamos un efecto que realmente existe. Se denota β y está relacionado con la potencia mediante: Potencia = 1 - β.

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Pregunta 6

¿Cuál es la relación correcta entre el nivel de significación (α) y el Error Tipo I?

α es la probabilidad máxima de cometer Error Tipo I que estamos dispuestos a tolerar

α es la probabilidad segura de que no cometeremos Error Tipo I

α y Error Tipo I son conceptos completamente independientes

α mide la potencia del contraste

Explicación: El nivel de significación (α = 0.05 típicamente) es exactamente el umbral de control para la probabilidad de falsos positivos. Si repetimos el experimento muchas veces con H₀ verdadera, cometemos Error Tipo I en aproximadamente el α% de las ocasiones.

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Pregunta 7

¿Qué es la potencia de un contraste?

La probabilidad de cometer Error Tipo I

La probabilidad de no rechazar H₀ siendo verdadera

La probabilidad de rechazar H₀ cuando esta es falsa (detectar un efecto real)

El valor p-valor del estadístico

Explicación: Potencia = 1 - β, donde β es la probabilidad de Error Tipo II. Una potencia alta (p.ej. 0.80 u 0.90) significa que es probable detectar efectos reales.

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Pregunta 8

¿Cuál de los siguientes factores NO aumenta la potencia de un contraste?

Aumentar el tamaño muestral (n)

Aumentar el nivel de significación (α)

Aumentar la variabilidad de los datos (desviación típica)

Aumentar el tamaño del efecto (diferencia entre el verdadero valor y el hipotético)

Explicación: Mayor variabilidad hace más difícil detectar efectos (la dispersión "enmascarar" la señal). Los otros factores sí aumentan la potencia.

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Pregunta 9

Un investigador realiza un contraste y obtiene un p-valor de 0.12. Fijó α = 0.05. ¿Cuál es la decisión correcta?

Rechazar H₀ porque p-valor > α

NO rechazar H₀ porque p-valor ≥ α

La decisión depende de si el contraste es bilateral o unilateral

Rechazar H₁ porque p-valor > 0.10

Explicación: La regla es: si p-valor < α, rechazamos H₀. Aquí, 0.12 ≥ 0.05, así que no hay evidencia suficiente para rechazar H₀. Trampa pedagógica: Confundir p > α con "aceptamos H₀" (error común). Recordar que "no rechazar" ≠ "aceptar como verdadero".

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Pregunta 10

Interpreta correctamente: "Un test produce p-valor = 0.03 con α = 0.05". ¿Cuál es la afirmación más precisa?

Hay 97% de probabilidad de que H₀ sea verdadera

Si H₀ fuera verdadera, la probabilidad de observar datos tan extremos o más es del 3%

Hay 97% de probabilidad de que H₁ sea verdadera

El resultado es definitivamente correcto

Explicación: El p-valor es P(datos tan extremos | H₀ verdadera), NO P(H₀ verdadera | datos). Trampa pedagógica crítica: Esta es la interpretación más común (y errónea) del p-valor. Cuidado con confundir direcciones en el teorema de Bayes.

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Pregunta 11

Un desarrollador prueba dos algoritmos con muestras grandes (n₁ = 100, n₂ = 100). Los datos tienen distribución aproximadamente normal pero con varianzas desconocidas e iguales. ¿Cuál es el contraste más apropiado?

Contraste Z (porque n es grande)

Contraste t de Student para dos muestras independientes

Contraste F para varianzas

Contraste χ² para una varianza

Explicación: Aunque n es grande, como σ es desconocida usamos t, no Z. Con muestras grandes, la distribución t se aproxima a Z, pero el procedimiento formal es t. El contraste F se usa para contrastar varianzas, no medias.

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Pregunta 12

¿Cuándo usamos un contraste Z en lugar de un contraste t para la media?

Cuando σ (desviación típica poblacional) es conocida

Cuando la muestra es pequeña (n < 30)

Cuando queremos mayor potencia

Cuando sospechamos que los datos no son normales

Explicación: El contraste Z requiere que σ sea conocida (o que n sea muy grande y tengamos una buena estimación). Si σ es desconocida, usamos t incluso con n grande.

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Pregunta 13

¿Cuál es la diferencia clave entre un contraste t para dos muestras independientes y uno para muestras pareadas?

Muestras independientes: dos grupos distintos; Pareadas: medidas repetidas en los mismos sujetos

Muestras independientes usan Z; Pareadas usan t

Muestras independientes requieren igual varianza; Pareadas no

No hay diferencia, es solo terminología

Explicación: En muestras pareadas (antes/después, método 1 vs método 2 en el mismo sujeto), calculamos diferencias para cada par. En independientes, comparamos directamente las medias de dos grupos distintos. El procedimiento es completamente distinto.

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Pregunta 14

Se comparan los tiempos de respuesta de dos servidores con muestras de n₁ = 12 y n₂ = 15 mediciones. Las varianzas muestrales son \(s_1^2 = 25\) ms² y \(s_2^2 = 9\) ms². ¿Es razonable asumir varianzas iguales en el contraste t?

Sí, porque ambas muestras son menores a 30

Probablemente no, porque la razón \(s_1^2 / s_2^2 ≈ 2.78\) es relativamente grande

Sí, porque 25 y 9 son números manejables

No se puede decidir sin más información

Explicación: Una regla práctica es que si una varianza es más de 3-4 veces la otra, es dudoso asumir igualdad. Aquí, 25/9 ≈ 2.78, que está en la frontera. Sería prudente considerar una variante de Welch (varianzas desiguales).

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Pregunta 15

Un contraste para verificar si la consistencia (varianza) de dos procesos es igual da F = 0.45 con g.l. = (29, 24) y α = 0.05. ¿Cuál es la decisión?

Rechazar H₀ porque F < 1

NO rechazar H₀ porque F es menor que el valor crítico (típicamente F > 2.0 para rechazar)

Rechazar H₀ porque F está lejos de 1

Aceptar H₀ porque F = 0.45 es un número válido

Explicación: En un contraste F bilateral, típicamente rechazamos si F > F{α/2} (cola derecha) o F < F (cola izquierda, menos común). Un F = 0.45 (muy cercano a 0) sí sugeriría poca dispersión en el numerador, pero el valor crítico para rechazar a la izquierda es mucho menor (cerca de 0.3). Trampa pedagógica: Confundir "F < 1" con "rechazar"; necesitamos comparar con el valor crítico.

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Pregunta 16

Para contrastar si la varianza de un proceso es menor o igual a 0.04 mm², se usa H₀: σ² = 0.04 con n = 25 mediciones y s² = 0.062. El estadístico calculado es χ² ≈ 37.2. Con α = 0.05 (unilateral derecha) y valor crítico χ²_{0.05;24} = 36.42, ¿cuál es la conclusión?

No rechazar H₀ porque 37.2 > 36.42 ligeramente

Rechazar H₀ porque 37.2 > 36.42 (el proceso tiene varianza mayor que la permitida)

Rechazar H₁ porque la varianza observada es grande

Aceptar H₀ porque χ² > 0

Explicación: En un contraste χ² unilateral derecha, rechazamos si χ² > χ²_α. Aquí, 37.2 > 36.42, así que rechazamos H₀. Conclusión: la varianza del proceso excede el límite especificado 0.04. Este es un problema de control de calidad, donde detectamos que la variabilidad es intolerablemente alta.

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Pregunta 17

¿Cuál es la región crítica correcta para un contraste bilateral con H₀: μ = 100, α = 0.05, usando distribución normal?

Z > 1.645

Z < -1.645

|Z| > 1.96 (equivalente a Z > 1.96 o Z < -1.96)

-1.96 < Z < 1.96

Explicación: En bilateral, α = 0.05 se divide en dos colas: 0.025 cada una. Los valores críticos son ±1.96. Trampa pedagógica: Confundir bilateral (dos colas) con unilateral (una cola). En bilateral, usamos z{α/2}, no zα.

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Pregunta 18

Se realiza un contraste Z de media con los datos: \(\bar{x} = 52.3\), \(\mu_0 = 50\), \(\sigma = 4\), \(n = 64\). Calcula el estadístico Z.

Z ≈ 0.575

Z ≈ 4.6 (o 4.6 exactamente)

Z ≈ 2.3

Z ≈ 13.075

Explicación:

\[Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{52.3 - 50}{4/\sqrt{64}} = \frac{2.3}{4/8} = \frac{2.3}{0.5} = 4.6\]

Este Z = 4.6 es muy alto (z_{0.05} = 1.96), así que rechazaríamos H₀ en un test bilateral.

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Pregunta 19

Un contraste t de una muestra produce t = -1.50 con g.l. = 19 y α = 0.05 (bilateral). Valor crítico: t_{19, 0.025} = 2.093. ¿Cuál es la decisión?

Rechazar H₀ porque t < 0

NO rechazar H₀ porque |-1.50| < 2.093

Rechazar H₀ porque el signo es negativo

Rechazar H₁ porque t es pequeño

Explicación: En bilateral, la región crítica es |t| > 2.093. Aquí, |-1.50| = 1.50 < 2.093, así que no rechazamos H₀. El signo negativo no afecta la decisión en bilateral; solo importa la magnitud relativa al valor crítico.

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Soluciones desarrolladas

Solución pregunta 1 — Hipótesis alternativa para demostrar mejora

Enunciado: Una investigadora quiere demostrar que un nuevo tratamiento es más efectivo que el actual.

Razonamiento:

• El investigador espera una mejora específica (aumento en efectividad).
• Esto corresponde a un contraste unilateral derecha.
• H₀ (por defecto): no hay mejora, μ = μ₀
• H₁ (lo que se quiere demostrar): hay mejora, μ > μ₀

Respuesta correcta: \(H_1: \mu > \mu_0\)

Solución pregunta 2 — Diferencia entre H₀ y H₁

Concepto fundamental:

• H₀ (hipótesis nula): Es la afirmación que asumimos por defecto hasta tener evidencia en contra. Típicamente representa "no hay efecto" o "no hay cambio".
• H₁ (hipótesis alternativa): Es lo que el investigador espera demostrar. Representa el efecto o cambio que buscamos detectar.

Propiedades:

• H₀ siempre contiene "=" (p.ej. μ = μ₀)
• H₁ contiene "<", ">" o "≠" según el tipo de contraste

Respuesta correcta: H₀ es lo que asumimos por defecto; H₁ es lo que esperamos demostrar.

Solución pregunta 3 — Planteamiento de hipótesis: 'no menor que 0.90'

Análisis cuidadoso del enunciado:

• "No es menor que 0.90" = "es ≥ 0.90"
• El desarrollador quiere verificar/garantizar que la precisión no cae por debajo de 0.90
• Esto es un objetivo de control de calidad: asegurar un mínimo

Planteo correcto:

• H₀: μ = 0.90 (hipótesis de referencia)
• H₁: μ > 0.90 (buscamos evidencia de que supera el mínimo)
• Tipo: Unilateral derecha

Trampa pedagógica evitada:

• Confundir "no menor" con "menor o igual" en la alternativa
• En hipótesis, H₁ es estrictamente ">", no "≥"

Respuesta correcta: \(H_0: \mu = 0.90\) ; \(H_1: \mu > 0.90\) (unilateral derecha)

Solución pregunta 4 — Error Tipo I

Definición: $\(\text{Error Tipo I} = P(\text{Rechazar } H_0 \mid H_0 \text{ es verdadera})\)$

Es decir, decimos que hay un efecto cuando en realidad no lo hay.

Contexto:

• Se controla mediante el nivel de significación α.
• Típicamente α = 0.05 (permitimos 5% de falsos positivos a largo plazo).
• Si repetimos muchas veces un experimento con H₀ verdadera, cometemos Error Tipo I en aproximadamente el 5% de las ocasiones.

Alternativas incorrectas:

• "No rechazar H₀ siendo falsa" → Eso es Error Tipo II (β)
• "Aceptar H₀ siendo verdadera" → Decisión correcta, no error

Respuesta correcta: Rechazar H₀ siendo verdadera (falso positivo)

Solución pregunta 5 — Error Tipo II

Definición: $\(\text{Error Tipo II} = P(\text{No rechazar } H_0 \mid H_0 \text{ es falsa})\)$

Es decir, no detectamos un efecto que realmente existe.

Relación con la potencia: $\(\text{Potencia} = 1 - \beta\)$

• Si β = 0.20, la potencia = 0.80 (80% de probabilidad de detectar un efecto real)
• Una potencia baja (< 0.70) es preocupante: fácil pasamos por alto efectos reales

Respuesta correcta: No rechazar H₀ siendo falsa (falso negativo)

Solución pregunta 6 — Relación entre α y Error Tipo I

Concepto clave:

El nivel de significación (α) es la probabilidad máxima de cometer Error Tipo I que estamos dispuestos a tolerar.

Interpretación frecuentista:

• Fijamos α ANTES de analizar datos (típicamente 0.05 o 0.01)
• Si repetimos el experimento 1000 veces con H₀ verdadera:
• En ~950 ocasiones, NO rechazamos H₀ (decisión correcta)
• En ~50 ocasiones, rechazamos H₀ falsamente (Error Tipo I)

α NO es:

• La probabilidad de error en ESTE experimento específico
• Una garantía de que no cometeremos Error Tipo I
• Un control de Error Tipo II

Respuesta correcta: α es la probabilidad máxima de cometer Error Tipo I que toleramos.

Solución pregunta 7 — Potencia del contraste

Definición formal: $\(\text{Potencia} = P(\text{Rechazar } H_0 \mid H_0 \text{ es falsa}) = 1 - \beta\)$

donde β = probabilidad de Error Tipo II.

Interpretación práctica:

• Alta potencia (p.ej. 0.80 o 0.90): Si hay un efecto real, lo detectaremos con alta probabilidad
• Baja potencia (p.ej. 0.50): Es probable que pasemos por alto efectos reales

Relación con tamaño muestral:

• Potencia ↑ cuando aumenta n (más datos = más precisión)
• Potencia ↓ cuando aumenta la variabilidad de los datos

Respuesta correcta: Probabilidad de rechazar H₀ cuando es falsa.

Solución pregunta 8 — Factor que NO aumenta potencia

Factores que SÍ aumentan potencia:

1. ↑ Tamaño muestral (n) → Mejor estimación
2. ↑ Nivel de significación (α) → Región crítica más ancha, más fácil rechazar
3. ↑ Tamaño del efecto → Diferencia mayor entre verdadero valor e hipotético
4. ↓ Variabilidad (σ) → Datos menos dispersos, detectamos patrones mejor

Factor que NO aumenta (empeora) potencia:

• ↑ Variabilidad → Los datos son más "ruidosos", es más difícil detectar el efecto

Respuesta correcta: Aumentar la variabilidad de los datos.

Solución pregunta 9 — Decisión con p-valor = 0.12, α = 0.05

Regla de decisión fundamental: $\(\text{Si } p\text{-valor} < \alpha \Rightarrow \text{Rechazamos } H_0\)$ $\(\text{Si } p\text{-valor} \ge \alpha \Rightarrow \text{NO rechazamos } H_0\)$

Aplicación:

• p-valor = 0.12
• α = 0.05
• 0.12 ≥ 0.05 ✓

Conclusión: No hay evidencia suficiente para rechazar H₀. Los datos observados son consistentes con H₀ (si H₀ fuera verdadera, hay 12% de probabilidad de ver datos tan extremos o más).

Aclaración importante:

• "No rechazar H₀" ≠ "Aceptar H₀"
• "No rechazar H₀" ≠ "H₀ es verdadera"
• Solo significa: no hay evidencia suficiente en contra

Respuesta correcta: NO rechazar H₀ porque p-valor ≥ α.

Solución pregunta 10 — Interpretación correcta del p-valor

Definición precisa del p-valor: $\(p\text{-valor} = P(\text{datos tan extremos o más} \mid H_0 \text{ es verdadera})\)$

Es una probabilidad condicional: "¿Qué probabilidad hay de observar estos datos (o más extremos) SI H₀ fuera verdadera?"

Interpretación correcta (respuesta c): Si H₀ fuera verdadera, la probabilidad de observar un estadístico tan extremo o más es del 3%.

Interpretaciones INCORRECTAS (trampas comunes):

1. ❌ "Hay 97% de probabilidad de que H₀ sea verdadera"

2. Esto es P(H₀ | datos), no P(datos | H₀)

3. Es el error más común al interpretar p-valores

4. ❌ "Hay 97% de probabilidad de que H₁ sea verdadera"

5. Tampoco. El p-valor no nos dice sobre H₁

6. ❌ "El resultado es definitivamente correcto"

7. p-valor es un índice de rareza, no de certeza

Respuesta correcta: Si H₀ fuera verdadera, la probabilidad de observar datos tan extremos o más es del 3%.

Solución pregunta 11 — Contraste apropiado (dos algoritmos, n grande, σ desconocida)

Análisis de la situación:

• Dos grupos independientes (dos algoritmos)
• n₁ = 100, n₂ = 100 (muestras grandes)
• Distribución aproximadamente normal
• Varianzas desconocidas pero iguales

Opciones evaluadas:

1. ✗ Contraste Z: Aunque n es grande, σ es desconocida

2. Z requiere σ conocida (o n → ∞ con σ estimada)

3. Formalmente usamos t incluso con n grande

4. ✓ Contraste t de Student (dos muestras):

5. Aplicable cuando σ es desconocida

6. Con muestras grandes, distribución t ≈ N(0,1)
7. Pero el procedimiento formal es t, no Z

8. Usamos varianza combinada: \(S_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}\)

9. ✗ Contraste F: Se usa para contrastar si σ₁² = σ₂², no para medias

10. ✗ Contraste χ²: Se usa para una única varianza, no para comparar dos

Respuesta correcta: Contraste t de Student para dos muestras independientes.

Solución pregunta 12 — Cuándo usar contraste Z vs t

Criterio principal: ¿Se conoce σ (desv. típica poblacional)?

Conocemos σ	Usamos
Sí	Contraste Z
No	Contraste t

Contraste Z:

• Requiere σ conocida o estimada de forma muy fiable
• Distribución: Normal estándar N(0, 1)
• Ejemplo: proceso industrial donde conocemos σ histórica

Contraste t:

• Cuando σ es desconocida y estimamos con s muestral
• Distribución: t de Student con (n-1) g.l.
• Incluso con n > 30, si σ es desconocida usamos t
• Con n grande, t ≈ Z (colas convergen)

Alternativas incorrectas:

• "n < 30 → Z" ✗ (Falso, usamos t cuando σ desconocida)
• "Queremos mayor potencia → Z" ✗ (No podemos elegir; depende de los datos)
• "Datos no normales → Z" ✗ (TLC justifica normalidad con n grande, pero σ sigue desconocida)

Respuesta correcta: Cuando σ es conocida.

Solución pregunta 13 — Diferencia: muestras independientes vs pareadas

Muestras Independientes:

• Dos grupos distintos (p.ej. algoritmo A y algoritmo B)
• Cada grupo tiene sus propios sujetos/observaciones
• Comparamos \(\bar{x}_1\) vs \(\bar{x}_2\)
• Estadístico: \(t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{S_p\sqrt{1/n_1 + 1/n_2}}\)

Muestras Pareadas:

• Mismos sujetos medidos en dos ocasiones (antes/después, método 1/método 2)
• Calculamos diferencias \(d_i = x_{1i} - x_{2i}\) para cada sujeto
• Comparamos si la media de diferencias es significativa
• Estadístico: \(t = \frac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{n}}\) (solo una variable: las diferencias)

Por qué es importante:

• Muestras pareadas tiene más potencia porque controla variabilidad entre sujetos
• Muestras independientes es más general pero requiere muestras mayores para igual potencia

Respuesta correcta: Muestras independientes = grupos distintos; Pareadas = medidas repetidas en los mismos sujetos.

Solución pregunta 14 — Evaluación de igualdad de varianzas (F = 2.78)

Contexto:

• n₁ = 12, n₂ = 15
• \(s_1^2 = 25\) ms², \(s_2^2 = 9\) ms²
• Razón: \(F = s_1^2 / s_2^2 = 25/9 ≈ 2.78\)

Regla práctica para asumir igualdad de varianzas:

• Razón < 3: Probablemente razonable asumir igualdad
• Razón 3–4: Frontera, conviene ser cauto
• Razón > 4: Definitivamente dudar de igualdad

Cálculo formal (Test F):

Si ejecutamos un contraste F formal:

• Estadístico observado: F = 2.78
• Valor crítico aprox.: F_{0.025; 11, 14} ≈ 3.0
• Decisión: 2.78 < 3.0, así que no rechazamos igualdad de varianzas formalmente

Pero prácticamente, una razón de 2.78 está en la zona gris.

Alternativa de Welch: Si dudamos, podemos usar la variante de Welch que NO asume igualdad (resulta en g.l. ajustados).

Respuesta correcta: Probablemente no, porque la razón es relativamente grande.

Solución pregunta 15 — Contraste F de varianzas (F = 0.45)

Situación:

• H₀: σ₁² = σ₂²
• H₁: σ₁² ≠ σ₂² (bilateral)
• F = 0.45
• g.l. = (29, 24)
• α = 0.05

Región crítica para bilateral:

• Cola derecha: F > F_{α/2; 29, 24}
• Cola izquierda: F < F_{1-α/2; 29, 24} (menos común, pero posible)

Valor crítico típico:

• F_{0.025; 29, 24} ≈ 2.0 (tabla o software)
• F_{0.975; 29, 24} ≈ 0.4–0.5

Interpretación de F = 0.45:

• Es un valor muy bajo: sugiere que \(s_1^2 << s_2^2\)
• Es consistente con rechazar cola izquierda IF el valor crítico permite
• Pero tipicamente, como F_{1-α/2} es cercano a 0.3–0.4 y F = 0.45 > ese umbral, NO rechazamos

Trampa pedagógica:

• Confundir "F < 1" con "rechazamos"
• Necesitamos comparar con el valor crítico exacto, que depende de g.l.
• Un F = 0.45 es sospechoso (poca varianza en el numerador), pero no necesariamente en la región de rechazo

Respuesta correcta: NO rechazar H₀ porque F es menor que el valor crítico (típicamente F > 2.0 para rechazar en la cola derecha).

Solución pregunta 16 — Contraste χ² de varianza (control de calidad)

Problema de control de calidad:

• Especificación: σ² ≤ 0.04 mm²
• H₀: σ² = 0.04 (el proceso está en especificación)
• H₁: σ² > 0.04 (el proceso se ha descontrolado)
• Tipo: Unilateral derecha (nos preocupa exceso de variabilidad)

Datos:

• n = 25
• s² = 0.062
• α = 0.05

Estadístico χ²:

\[\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{(25-1) \times 0.062}{0.04} = \frac{24 \times 0.062}{0.04} = \frac{1.488}{0.04} = 37.2\]

Decisión:

• Valor crítico: χ²_{0.05; 24} = 36.42
• Estadístico: 37.2
• 37.2 > 36.42 ✓
• Rechazamos H₀

Conclusión: Hay evidencia significativa de que la varianza del proceso excede la especificación 0.04 mm². El proceso está fuera de control en términos de variabilidad y requiere ajuste.

Interpretación práctica:

• Los componentes producidos tienen variabilidad inaceptablemente alta
• Necesario investigar y ajustar el proceso de fabricación

Solución pregunta 17 — Región crítica bilateral

Contraste bilateral:

• H₀: μ = 100
• H₁: μ ≠ 100
• α = 0.05
• Distribución: N(0, 1)

División de α en dos colas:

\[\alpha = 0.05 \Rightarrow \alpha/2 = 0.025 \text{ cada cola}\]

Valores críticos:

• Función cuantil normal: P(Z ≤ z) = 0.025 → z ≈ -1.96
• P(Z ≥ z) = 0.025 → z ≈ +1.96

Región crítica: $\(|Z| > 1.96 \quad \text{o equivalentemente} \quad Z > 1.96 \text{ o } Z < -1.96\)$

Rechazo: Si el estadístico calculado cae en cualquiera de las dos colas extremas.

Trampa pedagógica:

• Confundir "bilateral" con "unilateral"
• En bilateral: z{α/2} = z = 1.96
• En unilateral derecha: z{α} = z = 1.645
• En unilateral izquierda: z{α} = z = -1.645

Respuesta correcta: |Z| > 1.96.

Solución pregunta 18 — Cálculo del estadístico Z

Datos:

• \(\bar{x} = 52.3\)
• \(\mu_0 = 50\) (bajo H₀)
• σ = 4 (desv. típica poblacional)
• n = 64

Fórmula del estadístico Z:

\[Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\]

Sustitución paso a paso:

\[Z = \frac{52.3 - 50}{4/\sqrt{64}} = \frac{2.3}{4/8} = \frac{2.3}{0.5} = 4.6\]

Interpretación:

• Z = 4.6 es un valor muy alto (lejos del centro 0)
• Valor crítico bilateral: z_{0.025} = 1.96
• Como |4.6| >> 1.96, rechazaríamos H₀
• Conclusión: hay diferencia significativa entre la media observada (52.3) y la hipotética (50)

Comprobación:

• Error estándar de la media: σ/√n = 4/8 = 0.5
• Diferencia observada: 52.3 - 50 = 2.3
• Número de errores estándar: 2.3 / 0.5 = 4.6

Respuesta correcta: Z ≈ 4.6.

Solución pregunta 19 — Decisión contraste t (t = -1.50, g.l. = 19)

Datos del contraste:

• Estadístico: t = -1.50
• Grados de libertad: g.l. = 19
• Tipo: Bilateral
• α = 0.05
• Valor crítico: t_{19, 0.025} = 2.093

Región crítica bilateral: $\(|t| > t_{α/2} \Rightarrow |t| > 2.093\)$

Evaluación:

• Estadístico observado: t = -1.50
• Valor absoluto: |-1.50| = 1.50
• Comparación: 1.50 < 2.093 ✓

Decisión: NO RECHAZAMOS H₀

Interpretación:

• No hay evidencia significativa para rechazar H₀
• La media muestral es consistente con el valor hipotético bajo H₀
• El signo negativo solo indica que \(\bar{x} < \mu_0\), pero la diferencia no es significativa

Aclaración sobre el signo:

• En bilateral, el signo del estadístico indica dirección, pero la decisión depende de magnitud absoluta
• Un t = -1.50 es equivalente a t = +1.50 en cuanto a magnitud de desvío

Respuesta correcta: NO rechazar H₀ porque |-1.50| < 2.093.