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P-valor y regla de decisión

🎯 Objetivo

Entender qué es el p-valor, cómo interpretarlo y cómo usarlo para tomar decisiones en un contraste de hipótesis.

Definición: P-valor

Pregunta de exámen

El p-valor es la probabilidad, bajo H₀, de obtener un estadístico de prueba tan extremo o más extremo que el observado.

En otras palabras:

¿Qué tan raro o extremo es el resultado que hemos observado, asumiendo que H₀ es verdadera?

Un p-valor pequeño sugiere que los datos son inconsistentes con H₀, mientras que un p-valor grande sugiere que los datos son consistentes con H₀.

💡 Interpretación correcta

El p-valor NO es la probabilidad de que H₀ sea verdadera. Es la probabilidad de observar esos datos (o más extremos) si H₀ fuera verdadera.

Escala del P-valor

El p-valor varía entre 0 y 1, y podemos pensar en él como una medida de qué tan consistentes son nuestros datos con H₀:

  • p-valor ≈ 0: Datos muy inconsistentes con H₀ → Fuerte evidencia contra H₀
  • p-valor ≈ 0.5: Datos moderadamente consistentes con H₀
  • p-valor ≈ 1: Datos muy consistentes con H₀ → Débil evidencia contra H₀

Regla de Decisión General

Con P-valor

La decisión más común es comparar el p-valor con el nivel de significación (α):

\[ \begin{align} \text{Si } p\text{-valor} < \alpha &\Rightarrow \text{Rechazamos H}_0 \text{ (resultado significativo)} \\ \text{Si } p\text{-valor} \ge \alpha &\Rightarrow \text{NO rechazamos H}_0 \end{align} \]

⚠️ Lenguaje cuidadoso

  • Correcto: "Rechazamos H₀" o "No hay evidencia para mantener H₀"
  • Incorrecto: "Aceptamos H₀" o "Probamos que H₀ es verdadera"

No rechazar H₀ NO significa que sea verdadera; solo significa que no hay evidencia en contra.

Región Crítica y Región de No Rechazo

Alternativamente, podemos pensar en dos regiones sobre el eje de valores del estadístico de prueba:

  • Región Crítica: Valores del estadístico que llevan a rechazar H₀
  • Región de No Rechazo: Valores del estadístico que llevan a NO rechazar H₀

El umbral (valor crítico) depende de:

  1. El nivel de significación α
  2. El tipo de contraste (bilateral, unilateral)
  3. La distribución del estadístico de prueba

Interpretación Visual

Imaginemos un contraste bilateral con α = 0.05:

                  Región de No Rechazo
                        |
                        |
    Región Crítica       |       Región Crítica
   (cola izquierda)      |      (cola derecha)
   2.5% de área          |      2.5% de área
        |                |                |
  ------|----------------|----------------|------
        ↑                 ↑                 ↑
    Valor crítico    Valor central    Valor crítico
      negativo                         positivo

Si nuestro estadístico cae en las colas (región crítica), rechazamos H₀; si cae en el centro, no rechazamos.

Ejemplos de Interpretación

Ejemplo 1: P-valor = 0.03 y α = 0.05

\[0.03 < 0.05 \Rightarrow \text{Rechazamos H}_0\]

Interpretación: Si H₀ fuera verdadera, tendríamos solo un 3% de probabilidad de observar datos tan o más extremos que los que hemos visto. Esto es raro, así que rechazamos H₀.

El resultado es estadísticamente significativo al nivel 0.05.

Ejemplo 2: P-valor = 0.07 y α = 0.05

\[0.07 \ge 0.05 \Rightarrow \text{NO rechazamos H}_0\]

Interpretación: Si H₀ fuera verdadera, tendríamos un 7% de probabilidad de observar datos tan o más extremos. Esto no es tan raro, así que no hay evidencia suficiente para rechazar H₀.

No es estadísticamente significativo al nivel 0.05.

Ejemplo 3: Múltiples umbrales para el mismo p-valor = 0.03

Nivel α Comparación Decisión
α = 0.05 0.03 < 0.05 ✅ Rechazamos H₀
α = 0.01 0.03 ≥ 0.01 ❌ NO rechazamos H₀
α = 0.10 0.03 < 0.10 ✅ Rechazamos H₀

Un mismo p-valor puede llevar a decisiones distintas según el α elegido.

Proceso Completo: De lo Observado a la Decisión

Veamos cómo fluye el análisis:

Paso 1: Plantear H₀ y H₁, fijar α

Antes de ver los datos.

Paso 2: Recopilar datos y calcular el estadístico

Por ejemplo, \(\bar{x}\), \(t\), \(z\), etc.

Paso 3: Calcular el p-valor

Usando la distribución del estadístico bajo H₀.

Paso 4: Comparar p-valor con α

¿Es p-valor < α?

Paso 5: Conclusión

Rechazamos o no rechazamos H₀, y lo interpretamos en contexto.

🧱 Admonition: Errores Comunes en la Interpretación

❌ Trampas frecuentes

Trampa 1: "p-valor < 0.05 significa que hay 95% de probabilidad de que H₁ sea verdadera" - ❌ Falso. El p-valor es P(datos | H₀), no P(H₀ | datos).

Trampa 2: "p-valor > 0.05 significa que aceptamos H₀" - ❌ No rechazar ≠ aceptar. Simplemente no hay evidencia en contra.

Trampa 3: "p-valor = 0.051 es 'apenas no significativo'; p-valor = 0.049 es 'significativo'" - ❌ Estos valores son muy similares. El umbral 0.05 es convencional, no una línea rígida.

Significancia Práctica vs Significancia Estadística

Un resultado puede ser estadísticamente significativo (p-valor < α) pero no tener importancia práctica. Esto ocurre especialmente con muestras muy grandes.

Ejemplo: Un nuevo algoritmo es 0.1% más rápido que el anterior (diferencia estadísticamente significativa con n = 10000, pero quizá no vale la pena el cambio).

💡 Buen análisis

Siempre reporta:

  1. El p-valor (evidencia estadística)
  2. El tamaño del efecto (magnitud práctica)
  3. Los intervalos de confianza (rango del parámetro)

Esto da una visión más completa que solo "p < 0.05".

📊 Tabla: Resumen de Decisiones

P-valor α = 0.05 α = 0.01 Interpretación
0.001 ✅ Rechazar ✅ Rechazar Muy significativo
0.01 ✅ Rechazar ✅ Rechazar Muy significativo
0.03 ✅ Rechazar ❌ No rechazar Significativo (0.05)
0.08 ❌ No rechazar ❌ No rechazar No significativo
0.25 ❌ No rechazar ❌ No rechazar No significativo

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