Resumen UD6

✨ Mapa Conceptual UD6

graph LR
    A["<b>UD6<br/>Contrastes de<br/>Hipótesis</b>"]

    A --> B["<b>Conceptos</b><br/>H₀, H₁, α,<br/>P-valor"]
    A --> C["<b>Errores</b><br/>Tipo I, Tipo II,<br/>Potencia"]
    A --> D["<b>Tests</b><br/>Z, t, F,<br/>χ²"]

    B --> B1["H₀: Status quo"]
    B --> B2["H₁: Afirmación"]
    B --> B3["α: 0.05 o 0.01"]

    C --> C1["Error I: α<br/>Falso +"]
    C --> C2["Error II: β<br/>Falso -"]
    C --> C3["Potencia: 1-β"]

    D --> D1["Z: σ conocida"]
    D --> D2["t: σ desconocida"]
    D --> D3["F: varianzas"]
    D --> D4["χ²: varianza"]

    style A fill:#ffcccc
    style B fill:#fff3e0
    style C fill:#ffe6cc
    style D fill:#ccffcc

🎯 Proceso Completo de Contraste

graph TD
    Start["Inicio: Problema"] --> Step1["1. Formular Hipótesis<br/>H₀ y H₁"]
    Step1 --> Step2["2. Elegir nivel α<br/>(0.05 o 0.01)"]
    Step2 --> Step3["3. Seleccionar test<br/>Z, t, F o χ²"]
    Step3 --> Step4["4. Calcular estadístico<br/>de prueba"]
    Step4 --> Step5["5. Calcular p-valor"]
    Step5 --> Decision{"6. Comparar<br/>p-valor vs α"}

    Decision -->|p < α| Rechazar["✅ Rechazar H₀<br/>Significativo"]
    Decision -->|p ≥ α| NoRechazar["❌ NO rechazar H₀<br/>Evidencia insuficiente"]

    Rechazar --> Conclusion1["Hay evidencia<br/>para H₁"]
    NoRechazar --> Conclusion2["NO hay evidencia<br/>suficiente"]

    style Rechazar fill:#ffcccc
    style NoRechazar fill:#ccffcc

🔀 Árbol de Decisión: Tipo de Hipótesis

graph TD
    Start["¿Tipo de contraste?"] --> Q1{"Dirección"}

    Q1 -->|Sin dirección| Bilateral["BILATERAL<br/>H₁: μ ≠ μ₀"]
    Q1 -->|Mayor| Derecha["UNILATERAL DERECHA<br/>H₁: μ > μ₀"]
    Q1 -->|Menor| Izquierda["UNILATERAL IZQUIERDA<br/>H₁: μ < μ₀"]

    Bilateral --> B1["Región crítica:<br/>Ambas colas"]
    Derecha --> D1["Región crítica:<br/>Cola derecha"]
    Izquierda --> I1["Región crítica:<br/>Cola izquierda"]

    B1 --> Ej1["Ej: ¿Es diferente?"]
    D1 --> Ej2["Ej: ¿Es mayor?"]
    I1 --> Ej3["Ej: ¿Es menor?"]

    style Bilateral fill:#ffe6cc
    style Derecha fill:#ffcccc
    style Izquierda fill:#cce5ff

⚠️ Matriz de Errores

graph TB
    subgraph " "
        R1["REALIDAD: H₀ Verdadera"]
        R2["REALIDAD: H₀ Falsa"]

        D1["DECISIÓN: Rechazar H₀"]
        D2["DECISIÓN: NO rechazar H₀"]
    end

    R1 -->|Rechazar| E1["❌ ERROR TIPO I<br/>Falso Positivo<br/>P = α"]
    R1 -->|No Rechazar| C1["✅ CORRECTO<br/>P = 1-α"]

    R2 -->|No Rechazar| E2["❌ ERROR TIPO II<br/>Falso Negativo<br/>P = β"]
    R2 -->|Rechazar| C2["✅ CORRECTO<br/>POTENCIA = 1-β"]

    style E1 fill:#ff6666
    style E2 fill:#ffcc66
    style C1 fill:#66ff66
    style C2 fill:#66ff66

Tabla Resumen de Errores

	H₀ Verdadera	H₀ Falsa
Rechazar H₀	❌ Error Tipo I (α)	✅ Correcto (Potencia 1-β)
NO Rechazar H₀	✅ Correcto (1-α)	❌ Error Tipo II (β)

Control de Errores

α: Se fija previamente (0.05 o 0.01)
β: Depende de n y tamaño del efecto
Potencia = 1-β: Detectar efecto cuando existe
Balance: ↓α → ↑β (para ↓ambos → ↑n)

🧪 Árbol: Elegir Test Apropiado

graph TD
    Start["¿Qué parámetro?"] --> Q1{"Tipo"}

    Q1 -->|Media μ| Q2{"¿σ conocida?"}
    Q1 -->|Proporción p| TP["Test Z proporción"]
    Q1 -->|Varianza σ²| Q3{"¿Cuántas?"}

    Q2 -->|SÍ| TZ["Test Z<br/>Z = (x̄-μ₀)/(σ/√n)"]
    Q2 -->|NO| Q4{"¿n ≥ 30?"}

    Q4 -->|SÍ| TZA["Test Z aprox<br/>(usar s)"]
    Q4 -->|NO| TT["Test t<br/>t = (x̄-μ₀)/(s/√n)"]

    Q3 -->|Una| TChi["Test χ²<br/>χ² = (n-1)s²/σ₀²"]
    Q3 -->|Dos| TF["Test F<br/>F = s₁²/s₂²"]

    style TZ fill:#ccffcc
    style TT fill:#ffffcc
    style TP fill:#ffcccc
    style TChi fill:#cce5ff
    style TF fill:#ffe6cc

🔑 Fórmulas Clave

Test Z para Media (σ conocida)

\[ Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1) \]

Condiciones: n ≥ 30 o población normal, σ conocida

Test t para Media (σ desconocida)

\[ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \sim t_{n-1} \]

Condiciones: n < 30, población normal, σ desconocida

Test t para Dos Medias

\[ t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t_{n_1+n_2-2} \]

Varianza combinada:

\[ s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \]

Test t Pareado

\[ t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}} \sim t_{n-1} \]

Donde \(\bar{d}\) = media de diferencias, \(s_d\) = desv. típica

Test F para Varianzas

\[ F = \frac{s_1^2}{s_2^2} \sim F_{n_1-1, n_2-1} \]

Convención: Varianza mayor en numerador

Test χ² para Varianza

\[ \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2_{n-1} \]

Uso: Contrastar H₀: σ² = σ₀²

📊 Interpretación del P-valor

graph LR
    P["P-valor"] --> E["Escala 0 a 1"]

    E --> R1["0.00-0.01<br/>Evidencia MUY FUERTE"]
    E --> R2["0.01-0.05<br/>Evidencia FUERTE"]
    E --> R3["0.05-0.10<br/>Evidencia DÉBIL"]
    E --> R4["0.10-1.00<br/>INSUFICIENTE"]

    style R1 fill:#ff4444
    style R2 fill:#ff8844
    style R3 fill:#ffcc44
    style R4 fill:#88ff88

"Si H₀ fuera cierta, la probabilidad de observar un resultado tan extremo o más es p-valor"

❌ Interpretación INCORRECTA

"P(H₀ es cierta) = p-valor" — ¡FALSO!
"P(H₁ es cierta) = 1 - p-valor" — ¡FALSO!

📚 Tabla de Contrastes

Contraste	Parámetro	Condiciones	Estadístico	Distribución
Z media	μ	σ conocida, n≥30	\(Z = \frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\)	N(0,1)
t media	μ	σ desc., normal	\(t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\)	\(t_{n-1}\)
t dos medias	μ₁-μ₂	Indep., normales	\(t = \frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}}\)	\(t_{n_1+n_2-2}\)
t pareado	μ_d	Pareadas	\(t = \frac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{n}}\)	\(t_{n-1}\)
F varianzas	σ₁²/σ₂²	Indep., normales	\(F = \frac{s_1^2}{s_2^2}\)	\(F_{n_1-1,n_2-1}\)
χ² varianza	σ²	Normal	\(\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\)	\(\chi^2_{n-1}\)

✅ Checklist para Contrastes

Pasos sistemáticos

1. Formular Hipótesis

[ ] Escribir H₀ (status quo)
[ ] Escribir H₁ (afirmación a probar)
[ ] Determinar: bilateral/unilateral

2. Nivel de Significación

[ ] Elegir α (0.05 o 0.01)

3. Identificar Test

[ ] ¿Qué parámetro?
[ ] ¿Se cumplen supuestos?
[ ] Elegir: Z, t, F o χ²

4. Calcular Estadístico

[ ] Obtener x̄, s, etc.
[ ] Calcular valor prueba

5. P-valor

[ ] Usar tabla o software
[ ] Considerar uni/bilateral

6. Decisión

[ ] Comparar p vs α
[ ] Si p < α → Rechazar H₀
[ ] Si p ≥ α → NO rechazar H₀

7. Conclusión

[ ] Expresar en contexto
[ ] Indicar nivel confianza
[ ] Mencionar limitaciones

🎓 Errores Comunes

❌ Evitar

"NO rechazar H₀" ≠ "Aceptar H₀"
Correcto: Evidencia insuficiente
Mal interpretar p-valor
❌ "P(H₀ cierta)"
✅ "P(datos | H₀ cierta)"
Test incorrecto
σ conocida → Z
σ desc. + n<30 → t
Verificar normalidad
Confundir uni/bilateral
"¿Diferente?" → Bilateral
"¿Mayor?" → Unilateral derecha
"¿Menor?" → Unilateral izquierda
Olvidar grados libertad
t: gl = n-1
t dos muestras: gl = n₁+n₂-2
F: gl = (n₁-1, n₂-1)

🚀 Ejemplo Completo

Problema: ¿El tiempo medio de ejecución es 45 ms? Muestra: n=15, \(\bar{x}=42.3\) ms, \(s=5.8\) ms. Usar α=0.05.

Solución:

Hipótesis:
H₀: μ = 45 ms
H₁: μ ≠ 45 ms (bilateral)
Nivel: α = 0.05
Test: t de Student (σ desc., n<30)
Estadístico:

\[ t = \frac{42.3 - 45}{5.8/\sqrt{15}} = \frac{-2.7}{1.498} \approx -1.80 \]

GL: n-1 = 14
Valor crítico: \(t_{0.025,14} = 2.145\)
Decisión: \(|t| = 1.80 < 2.145\) → NO rechazar H₀
Conclusión:

"Con α=0.05, NO hay evidencia suficiente para afirmar que el tiempo medio difiere de 45 ms."

📚 Para Profundizar

Introducción a contrastes — Conceptos básicos
Hipótesis nula/alternativa — Formulación
Errores y significación — Tipos I y II
P-valor — Interpretación detallada
Contrastes media — Tests Z y t
Contrastes varianza — Tests F y χ²
Ejercicios UD6 — Práctica con soluciones