Coordenadas y cambio de base

2. Coordenadas y cambio de base

Este capítulo explica cómo representar vectores mediante coordenadas relativas a una base y cómo pasar de las coordenadas en una base a las de otra mediante la matriz de cambio de base. Incluye procedimientos paso a paso y ejemplos resueltos.

1. Coordenadas relativas a una base

Sea \(V\) un espacio vectorial de dimensión \(n\) y sea \(B=\{u_1,\dots,u_n\}\) una base de \(V\). Para cada \(x\in V\) existen escalares únicos \(x_1,\dots,x_n\) tales que

\[ x = x_1 u_1 + \cdots + x_n u_n. \]

La columna

\[ [x]_B=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} \]

se llama el vector de coordenadas de \(x\) respecto a la base \(B\). La unicidad de las coordenadas es una propiedad esencial: dada una base, la representación es única.

Cómo calcularlas en la práctica: si los vectores \(u_i\) están en \(\mathbb{K}^n\), forme la matriz \(U\) que tiene como columnas los \(u_i\) y resuelva el sistema

\[ U\,[x]_B = x\quad(\text{o en forma }U\alpha=x), \]

es decir, encuentre el vector columna \(\alpha=[x]_B\) que satisface la ecuación. Si \(U\) es invertible (lo es cuando \(B\) es una base), entonces

\[ [x]_B = U^{-1} x. \]

2. Ejemplo sencillo en \(\mathbb{R}^2\)

Sea la base \(B=\{b_1=(1,1),\ b_2=(1,-1)\}\) y el vector \(x=(3,1)\). Queremos \([x]_B=(\alpha_1,\alpha_2)^T\) tal que

\[ \alpha_1(1,1)+\alpha_2(1,-1)=(3,1). \]

Esto da el sistema

\[ \begin{cases} \alpha_1+\alpha_2=3 \\\\ \alpha_1-\alpha_2=1 \end{cases} \]

Sumando ambas ecuaciones: \(2\alpha_1=4\Rightarrow\alpha_1=2\). Entonces \(\alpha_2=1\). Por tanto

\[ [x]_B=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}. \]

Alternativa matricial: \(U=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\), por tanto \([x]_B=U^{-1}x\).

3. Matriz de cambio de base

Sea \(B_1=\{u_1,\dots,u_n\}\) y \(B_2=\{v_1,\dots,v_n\}\) dos bases del mismo espacio \(V\). La matriz de cambio de base de \(B_2\) a \(B_1\) se define como la matriz \(P_{B_2\to B_1}\) cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de \(B_2\) expresadas en la base \(B_1\):

\[ P_{B_2\to B_1}=\begin{pmatrix}[v_1]_{B_1} & [v_2]_{B_1} & \cdots & [v_n]_{B_1}\end{pmatrix}. \]

Propiedad fundamental: para todo \(x\in V\) se tiene

\[ [x]_{B_1} = P_{B_2\to B_1}\,[x]_{B_2}. \]

Observa que \(P_{B_1\to B_2}=P_{B_2\to B_1}^{-1}\) y que \(P_{B_2\to B_1}\) es invertible (es una matriz de cambio entre dos bases).

4. Ejemplo de cambio de base en \(\mathbb{R}^2\)

Tomemos la base canónica \(E=\{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\}\) y la base \(B'=\{v_1=(1,1),v_2=(1,-1)\}\). Construimos

\[ P_{B'\to E}=\begin{pmatrix}[v_1]_E & [v_2]_E\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}. \]

Si \([x]_{B'}\) son las coordenadas de \(x\) en \(B'\), entonces las coordenadas canónicas vienen dadas por

\[ [x]_E = P_{B'\to E}\,[x]_{B'}. \]

Si queremos las coordenadas en \(B'\) a partir de las canónicas usamos la inversa:

\[ [x]_{B'} = P_{B'\to E}^{-1}[x]_E. \]

En el ejemplo anterior \(P_{B'\to E}=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\) y su inversa (fácil de calcular con la fórmula \(2\times2\)) es:

\[ \dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&1\end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} \]

5. Cómo construir \(P\) en la práctica (procedimiento)

Escribe los vectores de la base origen \(B_2\) en coordenadas canónicas (o en la base \(B_1\) si ya las conoces).
Forma la matriz cuyas columnas son esas coordenadas: esa es \(P_{B_2\to B_1}\).
Para pasar coordenadas: multiplica por \(P\) según la dirección indicada; para la dirección contraria multiplica por \(P^{-1}\).

6. Ejemplo en \(\mathbb{R}^3\) (breve)

Sean \(B_1\) la base canónica de \(\mathbb{R}^3\) y \(B_2=\{(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)\}\). Para construir \(P_{B_2\to B_1}\) simplemente tomamos las columnas:

\[ P_{B_2\to B_1}=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}. \]

Si \(x=(2,3,1)\) en coordenadas canónicas, para obtener \([x]_{B_2}\) resolvemos \(P_{B_2\to B_1}[x]_{B_2}=x\) (es decir \([x]_{B_2}=P^{-1}x\)).

7. Consejos y errores frecuentes

Recuerda el orden: las columnas de \(P_{B_2\to B_1}\) son los vectores de \(B_2\) expresados en la base \(B_1\).
Si trabajas desde la base canónica, las coordenadas de un vector son sus componentes habituales.
Comprobar siempre que la matriz \(P\) es invertible antes de usar \(P^{-1}\) (si \(B_2\) es base, \(P\) debe ser invertible).

8. Resumen y tabla de fórmulas

Resumen escueto:

Definición de coordenadas respecto a una base y su unicidad.
Cálculo de coordenadas resolviendo \(U\alpha=x\) o usando \(U^{-1}x\) cuando \(U\) es la matriz de la base.
Definición y construcción de la matriz de cambio de base \(P_{B_2\to B_1}\) (columnas = coordenadas de \(B_2\) en \(B_1\)).
Fórmula de transformación: \([x]_{B_1}=P_{B_2\to B_1}[x]_{B_2}\) y \([x]_{B_2}=P_{B_2\to B_1}^{-1}[x]_{B_1}\).

Tabla de fórmulas:

Término	Fórmula	Mini descripción
Coordenadas	\(x=\sum_i x_i u_i\), \([x]_B=(x_1,\dots,x_n)^T\)	Representación única de un vector respecto a \(B\).
Sistema matricial	\(U\,[x]_B=x\)	Resolver para obtener coordenadas cuando \(U\) tiene columnas de la base.
Cambio de base	\([x]_{B_1}=P_{B_2\to B_1}[x]_{B_2}\)	Transformación de coordenadas entre bases.
Construcción de \(P\)	\(P_{B_2\to B_1}=([v_1]_{B_1}\ \cdots\ [v_n]_{B_1})\)	Columnas: coordenadas de \(B_2\) en \(B_1\).
Inversa \(2\times2\)	\(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)	Útil para invertir matrices pequeñas.